КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АБЕРРАЦИЙ В КУРСЕ «ОПТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА»

При рассмотрении теории аберраций в курсе оптической физики важно чтобы студенты четко представляли относительность границ параксиальной и непараксиальной оптики, а также умели визуально различать различные виды аберраций.

В этом случае компьютерное моделирование аберраций играет важнейшую роль. Множество работ посвящены разным аспектам компьютерного моделирования аберраций.

Именно появлению и анализу аберраций в простейшей оптической системе посвящена данная работа.

Проведен на основе компьютерного моделирования сравнительный анализ различных аберраций в количественном и визуальном виде. Сравнивались аберрации в простейшей линзе с изменяющимися числом Аббе и апертурной диафрагмой.

Таблица 1.

Сравнения хроматических аберраций положения для трех значений числа Аббе.

Используя формулу для изменения оптической силы линзы Ф в зависимости от показателей преломления на границе видимой части спектра n_λ1 ≈ n_λ0 + Δn, n_λ2 ≈ n_λ0 - Δn и обратных величин радиусов образующих линзу поверхностей ρ

которая для нашей модели преобразуется в следующее выражение

ΔФ = (n_λ0 – 1)/V·R поскольку Ф = 1/F, где F – фокусное расстояние системы, то 1/F_λ1 - 1/F_λ2 = (F_λ2- F_λ1)/ F_λ1· F_λ2 = (n_λ0 – 1)/V·R отсюда

Расписав составляющие и учитывая что F = R/(n – 1),  n_λ1 ≈  n_λ0 + Δn,  n_λ2 ≈  n_λ0 - Δn  а Δn²  << n² и n Δn  получим

Эта формула хорошо коррелирует с экспериментальными результатами.

Для получения стигматического изображения необходима гомоцентричность пучка, которая возникает при выполнении условия Лагранжа-Гельмгольца.

В нашем случае односторонней сферической линзы фокусное расстояние линзы F=R/(n_ср – 1). Синус угла приблизительно равен углу при углах порядка 3-5⁰. Отсюда следует, что для оптической системы  созданной нами условие Лагранжа-Гельмгольца выглядит следующим образом:

R)·tgψ /(n_ср – 1) ≈ R)·Sinψ /(n_ср – 1) ≈ 2π·ψR/360·(n_ср – 1) = L/2

Отсюда

L = 4π·ψR/360·(n_ср – 1)

Где: L – апертурная диафрагма, R- радиус линзы, ψ – угол при котором выполняется условие Лагранжа-Гельмгольца (ψ ≈ 3⁰), n_ср = 1.7 (показатель преломления стекла LAF3).

Таблица 2.

Сравнения RGB изображений для различных апертурных диафрагм.

Волновые аберрации – это отклонение реального волнового фронта от идеального, измеренное вдоль луча в количестве длин волн:

Из выражения следует, что волновая аберрация пропорциональна отклонениям оптических длин лучей пучка. Поэтому влияние волновой аберрации на качество изображения не зависит от типа изображения, а определяется тем, сколько длин волн она составляет.

При оценке качества изображения за исходную модель аберрационных свойств оптической системы берут волновую аберрацию. Однако, если аберрации велики, то более целесообразно использовать для оценки качества изображения поперечные аберрации.

Таблица 3.

Графики количественной оценки волновых аберраций для рассмотренных выше случаев.

Учитывая, что при волновых аберрациях меньше длины волны аберрации считаются, незначительными получаем хорошую количественную оценку условия Лагранжа-Гельмгольца.

Теоритически апланатической оптической системой называется такая, которая на выходе дает стигматическое изображение. Таким образом в этой системе должны отсутствовать все виды аберраций.

Это идеализация наподобие понятия материальной точки или инерциальной системы.  В реальности апланатической можно назвать оптическую систему дающую при достаточно большой апертурной диафрагме, широком спектре излучения приемлемое для дальнейшего использования качество изображения.

Простейшей апланатической системой можно считать систему, состоящую из двух сферических линз с общей оптической осью. Для создания апланатической линзы в качестве стекол используют кроны и флинты, отличающиеся разными числами Аббе.

Создадим простейшую апланатическую линзу. Апертурная диафрагма составляет 28.6мм.

Спектр излучения пропускаемый через линзу практически охватывает всю видимую область спектра λ₁ = 0,486μм, λ₂ = 0,588μм, λ₃ = 0,656μм.

В качестве стекол для линз:

1.  Возьмем ВАК1 представитель кронов n_λ0 = 1,57 V = 57,5.

Кро́н  — тип бесцветных оптических стёкол, отличающихся большими (более 50) значениями коэффициента средней дисперсии, называемого также числом Аббе.

2. А также SF5 – флинт n_λ0 = 1,67 V = 32,2.

Флинт — тип бесцветных оптических стёкол, отличающихся малыми (менее 50) значениями коэффициента средней дисперсии, называемого также числом Аббе.

Рисунок 1. Ход лучей в оптической системе.

Волновые аберрации в созданной системе (рис. 2) несмотря на большую апертурную диафрагму значительно меньше чем в простой линзе со значительно меньшей апертурной диафрагмой. В простейшей линзе при диафрагме 15 мм максимальные волновые аберрации достигали величины 50 λ, то в «апланатической» линзе с диафрагмой 28,5 мм они не превышают 1 λ.

Рисунок 2. Аберрации в «апланатической» линзе при L=28.5мм.

Хроматические аберрации (рис. 3) как видно значительно меньше, чем в простой линзе. В простейшей линзе хроматические аберрации достигали 1300 μм, то в «апланатической» не больше 170 μм, причем нулевое смещение фокуса совпадает длиной волны соответствующей максимальной чувствительности глаза человека.

Рисунок 3. Хроматические аберрации в «апланатической» линзе.

RGB анализ (рис. 4) дает результат лучше, чем у простой линзы при апертурной диафрагме L=15мм и чуть хуже чем для апертурной диафрагмы L=1мм.

Рисунок 4. RGB анализ для «апланатической» линзы.

Таким образом разработанная оптическая система с определенной натяжкой может быть отнесена к апланатической.

Список литературы:

1. Грамматин А.П., Романова Г.Э., Цыганок Е.А. Компьютерное моделирование при изучении дисциплин, связанных с расчетом оптических систем// Оптический журнал. 2012. Т. 79. № 5. с. 65–68.

2. Грамматин А.П., Цыганок Е.А. Апохроматические системы из обычных стекол // Оптический журнал. 2012. Т. 79. № 4. С. 9–12.