ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ

Рассмотрим любую экономическую деятельность. Математика служит средством максимально четкой и понятной формулировки экономических понятий и экономических проблем. Поэтому современный экономист должен мастерски владеть количественными методами анализа.

Экономическая теория — особая дисциплина, которая изучает выбор потребителя в условиях ограниченности ресурсов для максимального удовлетворения потребностей. Ведь как известно, главная проблема экономики — это удовлетворение неограниченных потребностей с помощью ограниченных ресурсов.

В задачах по экономической теории различных школ очень часто требуется найти значение таких показателей, как производительность труда, максимальная прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких переменных, нахождение которых сводится к вычислению производной.

Подробнее остановимся на производительности труда. Как известно в основе экономического процесса лежит прежде всего производство, сам процесс производства по- разному трактовался в экономической теории в историческом контексте. Классики экономической науки сделали вывод о том, что «производство — это преобразования продуктов природы для удовлетворения потребностей человека»[1,c.87], а с точки зрения неоклассиков, производство - это любое производство товаров или услуг.

С какой бы стороны не рассматривать производство - это прежде всего сложный процесс, который включает в себя множество стадий. В широком смысле производство включает в себя весь экономический цикл. Главная задача производства — это максимальное удовлетворение потребностей человека, поэтому любое производство должно быть эффективным. А как раз производительность труда является одним из самых широко применяемых методов для нахождения эффективности труда. Производительность труда является важным макроэкономическим показателем на сегодняшний день, поэтому необходим его точный расчёт. Он является динамичным и подвижным показателем, который отражает не только результативность и рентабельностью производства, но и косвенно отражает уровень технического прогресса, применение новых технологий, квалификацию рабочего персонала, затраты времени на единицу производства единицы товара, внедрение научных разработок.

Анализ показателя позволяет работодателю найти ошибки в общей организации производства, улучшить процесс планирования, под которым понимается один из методов управления предприятием, подразумевающим процесс проработки объекта планирования на заданный промежуток будущего времени с определенным набором ресурсов и желаемой эффективностью.

Производительность труда – это, прежде всего трудовой показатель, необходимый  при расчёте производственной программы. Производственная программа – это комплексный план производства и реализации продукции, характеризующий годовой объем, номенклатуру, качество и сроки выпуска требуемых рынком товаров и услуг.

Производительность труда измеряется количеством продукта, выпущенного работником за единицу времени. Одним из методов нахождения производительности труда является математическое нахождение производной.

Начнем с того, что в математике: «производная-основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции»[2,c.168]. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

Теперь попытаемся дать определение понятию «производная» при помощи математических символов и формул:

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция.

Производной функции называется такое число A, что функцию в окрестности U(x₀)можно представить в виде F(x₀ +h)=f(x₀)+Ah+o(h) если A существует.

На основании вывода математического определения понятия «производная» попробуем выявить экономический смысл данного понятия. Мы задались вопросом: «Почему у экономиста возникает ассоциация «маржинализм» если спросить его о понятии «производной»?».

Начнем в истории происхождения этого слова:"Marginal" в переводе с английского языка означает "находящийся на самом краю", "предельный", "граничный". «К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность и другие»[3,c.216].

Теперь имея научно-теоретическую подкрепленность отразим взаимоотношение «производной» и «производительности труда» рассмотрев задачу и соответственно решив ее:

Объем продукции, произведенной цехом, может быть описан уравнением: u= - t3+5t2+120t+10, где 1≤t≤8 — рабочее время (ч).

Вычислите производительность труда и скорость ее изменения в момент t=1 и t=4.

Производительность труда найдем по формуле:

z(t)=lim = u'(t) dt – 0

z(t) = u'(t)= -3t2+10t+120 (eд./ч).

Скорость изменения производительности труда вычислим как производную: z'(t) = -6t+10 (ед./ч 2 )

Тогда в заданные моменты времени имеем:

z(1) =128 (ед./ч 2 ),

z'(1)= 4 (ед./ч 2 );

 z(4) = 112 (ед./ч 2 ),

z'(4) = -14 (ед./ч 2 )

Из вычислений можно сделать вывод, что производительность труда к концу рабочего дня снижается.

При этом изменение знака в z'(t) свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня смещаются ее снижением в последующие часы.

Так как данный показатель, как отмечалось выше, измеряется в динамике, то уместно вычислить производительность труда во время определенного периода работы, затем следует сделать выводы о том, почему производительность падает с течением времени или повышается.

Найдем производительность труда в течение 5 часов, если объём производства, выражается следующей функцией:

y (t) = -2t³ + 10t²+50t-16, t- время (ч)

1. Найдем производную:

y’ (t) = -6t² + 20t+50

2. Найдём значение производной в течение каждого часа,

y’ (1) = -6*1² + 20*1+50=64

y’ (2) = -6*2² + 20*2+50 =66

y’ (3) = -6*3² + 20*3+50 =56

y’ (4) = -6*4² + 20*4+50=34

y’ (5) = -6*5² + 20*5+50 =0

3. Сделаем анализ полученного результата:

после второго часа работы производительность труда начинает падать. Такой результат является следствием усталости работников, ухудшением условий в помещении множество других факторов, влияющих на производительность труда.

Таким образом, важно не только получить ответ при помощи производной, для экономистов важен анализ полученного результата и соотнесения его с реальностью.

Итак, мы дали математическое определение понятия «производная», раскрыли экономический смысл данного понятия, на научно-теоретическом уровне показали взаимосвязь таких понятий, как «производная» и «производительность труда», на практическом уровне (при помощи составления и последующего решения задачи) отразили взаимоотношение «производной» и «производительности труда».

Список литературы:

1. Булатов А. С. «Производственные возможности. Предельные величины» 3-е изд., перераб. и доп. - Юрист, 2010.
2. Иванов С.И. "Экономика. Основы экономической теории" - Вита-Пресс, 2011.
3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. "Высшая математика для экономистов" - Юнити-М, 2009.
4. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие/ кол. авторов; под ред. С.И. Макарова.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: КНОРУС, 2007. – 240с.