ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

Терешко Оксана Александровна

студентка 5 курса, кафедра математики и методики преподавания математики БГПУ им. Танка М., г. Минск

Е-mail: oksana_12.07.1989@mail.ru

Пирютко Ольга Николаевна

научный руководитель, канд. пед. наук, доцент БГПУ им. Танка М.г Минск

Действующие учебники и учебные пособия по математике в большей мере ориентированы на учащихся с учебными математическими

способностями – это способности к быстрому и успешному овладению соответствующими математическими знаниями, умениями и приемами.

При формировании знаний у учащихся следует также учитывать общие психолого-физиологические закономерности формирования знаний, а также особенности учащихся с различными уровнями и способами усвоения знаний.

Выделим следующие особенности усвоения знаний:

1. 

• Учащиеся могут усваивать второстепенные частные признаки, свойства при изучении понятия, правила, алгоритма, теоремы, затем эти знания (неверные) закрепляются и переносятся в различные условия.
• У учащихся очень постепенно осуществляется анализ.
• После реализации этапа анализа синтез не осуществляется вообще, а реализуется только после многократного применения системы трех приемов анализа и синтеза.

2.  Учащиеся с выраженными способностями к познавательной деятельности. К таким способностям относятся: способность к обобщению, логика рассуждений, сообразительность и находчивость, математическая память, способность к абстрагированию, гибкость мышления, опора на наглядность, наличие пространственных представлений и их аналитической модели, способность переходить с прямого на обратный ход мыслей, стремление к экономии мысленных сил, быстрое свертывание процесса рассуждения, пониженная утомляемость в процессе занятия математикой.

Выходом в данной ситуации является дополнение традиционных учебников созданием электронных учебных пособий (ЭУП) по различным темам школьного курса математики.

Рассмотрим создание ЭУП по теме «Классификация текстовых задач по методам их решения» (5-6 класс).

Краткая структура электронного учебного пособия:

ЭУП содержит описание десяти методов решения текстовых задач. Эти методы решения текстовых задач охватывают все типы текстовых задач, которые рассматриваются в 5 – 6 классах. Прием обучению каждому методу содержит описание методики и применение ее к решению задач учащимися по трем уровням.

В основу ЭУП положена разработанная классификация текстовых задач, которая содержит методы, ориентированные на возможность применения обобщенных приемов к решению задач каждого класса.

Прием – это базисная категория методики, соотносимая с конкретными действиями, совокупность которых составляет суть формируемой деятельности. Под приемом обучения понимают методически определенной действие учителя, направленное на решение конкретной задачи. Кабанова-Меллер Е. Н. различает понятия «прием учебной работы» и «прием умственной деятельности». К приемам учебной работы (решение задачи, исследование функций, составление графиков) она относит совокупность способов, которые могут быть объективно выражены в виде перечня действий, входящих в состав приема. Эти действия могут быть выражены в форме указаний выполнения задания, рекомендаций, правил. Приемы умственной работы (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, систематизация) – это способы, отражающие психологическую структуру познавательной деятельности и определяющие механизм решения конкретных учебных задач.

В психологии выделяют следующие приемы, с помощью которых осуществляется умственная деятельность: анализ, синтез, сравнение, сопоставление, обобщение, абстрагирование.

Остановимся на приеме обобщения.«Под обобщением обычно понимают нахождение общего в заданных предметах или явлениях. Этим общим могут быть признаки или части, элементы и т. п. Нахождение общего включает в себя сопоставление предметов, вычленение общих признаков в каждом из предметов и объединение последних по этим признакам» [1, с. 59].

Прием деятельности называется обобщенным, если он получен на основе анализа менее общих (частных) приемов путем выделения общего (инвариантного) содержания деятельности по решению конкретных (частных) учебных задач.

К обобщенным приемам при решении текстовых задач относятся:

1. приемы умственной деятельности (общие для всех видов деятельности: анализ, синтез, сравнение, сопоставление, обобщение, абстрагирование).
2. обобщенные приемы поиска решения задачи, такие, как прием определения величин, о которых идет речь в задаче, установление зависимостей между величинами, использование «фокус – примера» и пр.
3. обобщенные приемы в процессе овладения конкретными методами решения задач определенного класса: уравнивание, сведение к одной величине и т. д.

«Правильное обобщение может осуществляться разными приемами, и в зависимости от этого обобщение делится на разные виды. Два известных приема обобщения: от частного к общему и от общего к частному. Различия между ними определяется разными направлениями хода мысли. Первый прием заключается в том, что учащийся сопоставляет заданные предметы и объединяет предметы по этим признакам. В этом случае ему заранее неизвестно, какой признак является общим. Второй прием требует иного хода мысли, поскольку школьник заранее знает, какой общий признак надо найти. Этот прием обобщения включает в себя вспоминание и формулировку общего признака, сопоставление, вычленение этого известного признака и объединение предметов по этому признаку» [1, с. 59].

При решении текстовых задач используются следующие обобщенные приемы поиска решения задач:

1.  Синтетический прием.

Данный прием основывается на расчленении исходной задачи на ряд простых задач. При этом решение каждой простой задачи может быть немедленно выполнено.

Решение задачи оформляется в виде таблицы:

2.  Аналитический прием.

Этот прием предполагает составление последовательного ряда простых задач, исходя из искомого, из того, что нужно узнать в задаче, и, подбирая такие данные для решения, при помощи которых можно найти искомое одним действием.

Решение задачи оформляется в виде таблицы:

В исследованиях Осинской В. Н. обобщенные приемы умственной деятельности подразделяет на две группы - алгоритмического типа и эвристического типа. Первые приемы мышления соответствуют законам формальной логики. К ним относятся, например, алгоритмы решения типовых задач. Такие приемы служат фундаментом знаний, на основе которых учащийся может выполнять новые задания, осваивать новые приемы умственной деятельности. Формирование таких приемов должно сочетаться со специальным обучением приемам эвристического типа. Эвристические приемы стимулируют поиск вариантов решений новых учебных задач, развивают творческую деятельность и научно-образное мышление. К таким приемам относятся: выделение главного, существенного в учебном материале, обобщение, классификация, сравнение, конкретизация, абстрагирование, различные виды анализа, кодирования, аналогий» [2, с. 19].

Алгоритмические приемы обеспечивают правильное решение задач известных учащимся типов; они учат школьников логике рассуждений, служат фоном, который возможно использовать при поисках решения проблем. Эвристические приемы позволяют действовать в условиях неопределенности, в принципиально новых ситуациях, облегчая поиск решения новых проблем.

При разработке данного ЭУП учитывалось, что переработка информации связана с различными способами кодирования информации:

1.  словесно-символический. Необходимо использовать при обучении упражнения на перевод информации из словесной формы в символическую и наоборот.

В ЭУП словесной формой является алгоритм, который на примере конкретной задачи реализуется в символьную форму в виде анимации фреймов. При необходимости учащийся может воспользоваться как алгоритмом, так и еще раз проанализировать решение задачи, реализованной с помощью анимации.

2.  визуальный. Целесообразно применять следующие виды работ:

• создание моделей или других наглядных характеристик изучаемых объектов;
• выделение составных элементов наглядного или мысленного образа, использование компьютерных технологий;

В ЭУП используются анимация, презентации, которые являются моделями сюжета задач, с помощью которых реализуется алгоритм решения.

3.  предметно-практический. Способ кодирования, который используется на применение житейского опыта учащихся.

Рассмотрим следующую задачу.

Задача: В двух корзинах 80 боровиков. В первой корзине на 10 боровиков меньше, чем во второй. Сколько боровиков в каждой корзине?

Учащиеся знакомы с понятиями «корзина», «боровики» из жизни. Поэтому при реализации задачи с помощью анимации, целесообразно использовать картинки (корзины с грибами), отражающие ее сюжет.

4.  сенсорно-эмоциональный. Использование примеров, направленных на эмоциональную реакцию, на изученный материал. Рассмотрение задач о ситуациях, в которых учащиеся могут проявить познавательную активность, фантазию, изобретательность.

При формировании приемов решения задач с помощью метода «Исключение одного искомого из двух заменой его другим» рассмотрена следующая задача из рассказа Чехова А. П. «Репетитор».

Задача:купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное – 3 руб.?

Учащимся предлагается инсценировать сюжет предложенной задачи. Целью инсценировки сюжета задачи является составление алгоритма решения задач данного класса. В результате сама задача станет метафорой при изучении данного метода. В ЭУП прилагается вариант сценария реализации алгоритма решения задач данного класса, через фрагмента рассказа Чехова А. П. «Репетитор».

Для каждого метода решения текстовых задач предлагается его краткое описание. После чего рассматривается решение задачи с помощью данного метода. Это реализуется с помощью видео ролика, где решение задачи представлено в форме «вопрос-ответ», которые сопровождаются графической иллюстрацией. После иллюстрации задачи предлагается алгоритм решения задач данного класса.

Рассмотрим на примере метода решения текстовых задач «Сравнение чисел по сумме и разности».

Алгоритм:

1. Выяснить о каких величинах идет речь в задаче.
2. Указать, значения каких величин необходимо найти в задаче.
3. Назвать зависимость между величинами в задаче.
4. Назвать сумму и разность значений величин.
5. Уравниванием величин найти удвоенное значение меньшей величины (от суммы величин отнять разность величин).
6. Зная удвоенное значение, найти значение меньшей величины (удвоенное значение разделить на два).
7. Используя разность величин и значение меньшей величины, найти значение большей величины.

Первые три пункта алгоритма являются обобщенными приемами поиска решения задачи. Данные обобщенные приемы являются одинаковыми для всех классов задач.

Остальные четыре пункта, в рассматриваемом случае, являются обобщенными приемами в процессе овладения конкретным методам («Сравнение чисел по сумме и разности») решения задач определенного класса.

Далее учащиеся самостоятельно применяют алгоритм, содержащий указанные обобщенные приемы общего и частного вида. Это осуществляется с помощью дифференцированного обучения по трем уровням.

Первый уровень:учащейся самостоятельно применяет алгоритм к решению задачи. Этот уровень предназначен для учащихся с выраженными способностями к познавательной деятельности.

Учащимся предлагается следующая задача: Бабушка Аня осенью с дачного участка собрала 51 кг моркови и капусты. Капусты было на 15 кг больше, чем моркови. Сколько килограммов моркови и сколько килограммов капусты собрала бабушка?

Учащийся на первом уровне самостоятельно решает задачу, сверяется с ответом. Если задача решена правильно – переходит к освоению следующего метода решения текстовых задач, если нет – переходит ко второму уровню.

Второй уровень: учащемуся предлагается определить, принадлежит ли задача к данному классу. В случае положительного ответа, задача может быть решена с применением алгоритма пошагово. Данный уровень рассчитан на учащихся, у которых сформирован обобщенный прием умственной деятельности – анализ.

Учащимся предлагается определить, относится ли следующая задача к классу задач, решаемых методом «Сравнение чисел по сумме и разности».

Задача:Бабушка Аня осенью с дачного участка собрала 51 кг моркови и капусты. Капусты было на 15 кг больше, чем моркови. Сколько килограммов моркови и сколько килограммов капусты собрала бабушка?

В случае отрицательного ответа, учащимся необходимо проанализировать краткое описание класса задач, решаемых данным методом, а также решеную задачу, с целью: выделить, что является главным для данного метода решения текстовых задач.

При положительном ответе, решение задачи осуществляется в виде диалога с учащимися. Задаются вопросы, которые соответствуют пунктам алгоритма решения задач данного класса.

1.  Выяснить о каких величинах идет речь в задаче

(учащийся мысленно отвечает на этот вопрос, а затем сверяется с ответом).

О количестве моркови и капусты, которые собрала бабушка, вместе и в отдельности.

2.  Указать, значения каких величин необходимо найти в задаче.

Сколько килограммов моркови и сколько килограммов капусты собрала бабушка.

3.  Назвать зависимость между величинами в задаче.

В задаче говорится о сумме и разности величин.

4.  Назвать сумму и разность значений величин.

Сумма – 51 кг, разность – 15 кг.

5.  Уравниванием величин найти удвоенное значение меньшей величины (от суммы величин отнять разность величин).

51 – 15 = 36 (кг) – удвоенное количество моркови.

6.  Зная удвоенное значение, найти значение меньшей величины (удвоенное значение разделить на два).

36 : 2 = 18 (кг) – моркови.

7.  Используя разность величин и значение меньшей величины, найти значение большей величины.

18 + 15 = 33 (кг) – капусты.

Ответ : 18 кг, 33 кг.

При возникновении затруднений необходимо вернуться к решенной задаче и проанализировать ее решение. Сравнить: чему равна сумма в решенной задаче, а чему в данной? Чему равна разность в решенной задаче, а чему в данной? Как находили значения неизвестных величин в решенной задаче? Аналогично найти значения неизвестных величин в данной задаче.

Сравнение – это прием умственной деятельности учащихся, предполагающий установление сходства или различие между объектами изучения.

Сравнение связанно в учебном познании со всеми основными приемами умственной деятельности, особенно с выделением главного и обобщенного. Выделяют две формы сравнения: сопоставление и противопоставление.

Сопоставление – форма сравнения, направленная на выделение существенных свойств, общих для ряда объектов.

Противопоставление – форма сравнения, направленная на выяснение отличий в предметах и явлениях при выделении существенных признаков и свойств.

Третий уровень: учащемуся необходимо из списка предложенных задач выбрать те, которые относятся к данному классу. Если задачи выбраны правильно, то выясняется возможность применения алгоритма. Этот уровень предназначен для учащихся, у которых сформирован обобщенный прием умственной деятельности – синтез.

Учащимся предлагается список задач, из которых необходимо выбрать те, которые могут быть решены с помощью метода «Сравнение чисел по сумме и разности».

Задача 1:Для холодной засолки 12 кг грибов берут 600 г соли. Сколько понадобится соли, чтобы засолить 40 кг грибов?

Задача 2: После того как из корзины с грибами взяли 10 грибов, а затем в нее положили 14 грибов, в корзине стало 85 грибов. Сколько грибов было в корзине первоначально?

Задача 3:В двух рулонах 1080 м ткани. В одном из них в 3 раза больше ткани, чем в другом. Сколько метров ткани в каждом рулоне?

Задача 4:В швейное ателье поступило 480 м джинсовой ткани и драпа. Джинсовой ткани поступило на 140 м больше, чем драпа. Сколько метров джинсовой ткани поступило в ателье?

Задача 5: Пешеход шел 3 ч со скорость 4 км/ч и 4 ч со скоростью 5 км/ч. Найдите расстояние, пройденное пешеходом.

Задача 6:Урожайность сахарной свеклы составила 435 ц/га, содержание в ней сахара – 18 %. Сколько сахара будет получено из свеклы, собранной с поля площадью 80 га?

Задача 7: Масса одного яблока 175 г, и она на 35 г меньше массы груши. Какова масса двух фруктов?

Задача 8:Модель телебашни состоит из двух блоков. Нижний блок на 130 см короче верхнего. Какова высота верхнего и нижнего блоков, если высота башни 4 м 70 см?

При правильном выборе, решение задачи осуществляется в виде диалога с учащимися. Задаются вопросы, которые соответствуют пунктам алгоритма решения задач данного класса. Если при выборе задач возникли затруднения, учащиеся переходят к обобщению своих знаний. В форме диалога учащимся задаются следующие вопросы: «Как найти сумму значений двух величин?», «Как найти разность значений двух величин?», «Какую зависимость между величинами определяем, когда находим разность значений двух величин?», «Значение какой величины станет известно, если к сумме прибавляем разность значений двух величин?», «Значение какой величины станет известно, если из суммы вычитаем разность значений двух величин? ». После обобщения знаний учащимся предлагается заново пройти 3-й уровень.

При обучении по данному ЭУП у учащихся реализуются следующие обобщенные приемы:

1.  Мыслительной деятельности:

1.  Выделение главного.

После изучения краткого описания класса задач, которые можно соотнести с методом их решения, а также анализа задачи, которая реализована видео роликом, учащиеся выделят главные составляющие данного метода решения текстовых задач. Например, для метода «Сравнение чисел по сумме и разности» такими составляющими будут наличие суммы и разности значений величин, рассматриваемых в задаче.

2.  Анализ и синтез.

Осуществляются при изучении алгоритма, при выполнении практических заданий.

3.  Сравнение.

При выполнении практических заданий по уровням, когда учащимся необходимо отнести задачу к конкретному типу по методу решения или из предложенного списка задач выбрать задачи, которые решаются рассмотренным методам решения текстовых задач, выполняется сравнение. Например, для метода «Сравнение чисел по сумме и разности» учащиеся сравнивают условие задачи, с уже рассмотренной задачей. Затем определяют, известна ли сумма и разность значений величин. Если да, то задача относится к классу задач, которые решаются методам «Сравнение чисел по сумме и разности».

4.  Классификация.

После изучения всех методов решения текстовых задач у учащихся будет сформирована классификация текстовых задач по методам их решения.

2.  Поиска решения задачи.

При решении текстовых задач, прежде чем решать задачу каким-либо методам, учащиеся сначала определяют, к какому классу задач относится данная задача. Для этого необходимо определить:

1. О каких величинах идет речь в задаче.
2. Значения, каких величин необходимо найти в задаче.
3. Зависимости между величинами в задаче.

3.  Овладения конкретными методами решения задач определенного класса.

После того как учащиеся определили к какому классу задач относится рассматриваемая задача, необходимо применить метод решения задач данного класса.

ЭУП целесообразно использовать для самостоятельного обучения учащихся. Таким образом, у учащихся будет сформирована самостоятельность, четкость и последовательность в действиях при решении текстовых задач. При выполнении практической части выбор уровня учащимся, при индивидуальном изучении, осуществляется самостоятельно или с помощью родителей. Если ЭУП используется в процессе обучения учителем, то уровень определяет он. Учащийся переходит с уровня на уровень по мере того, как он может самостоятельно применить алгоритм. При необходимости каждый из уровней может быть пройден еще раз. В результате, каждый учащийся для изучения всего материала использует столько времени, сколько ему необходимо, вследствие его особенностей усвоения знаний.

Список литературы:

1. Кабанова - Меллер Е. Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся: М. Просвещение, 1968 – 288 с.
2. Осинская, В. Н. Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики в 9–10 классах: М. Просвещение,1980 – 143 с.