СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕМЫ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» В ВУЗЕ

IMPROVING THE METHODS OF TEACHING THE THEME "DIFFERENTIAL EQUATIONS" AT THE UNIVERSITY

Marina Batranina

senior lecturer of "Higher mathematics" "Orel State University named after I.S.Turgenev",

Russia, Orel

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассмотрены пути совершенствования методики преподавания темы «Дифференциальные уравнения», позволяющие преодолеть затруднения, связанные с определением типа дифференциальных уравнений и c их решением.

ABSTRACT

This article considers the ways of improvement of methods of teaching the theme "Differential equations", which allows to overcome difficulties connected with the definition of the type of differential equations and their solutions.

Ключевые слова: алгоритм; дифференциальное уравнение; процесс обучения.

Keywords: algorithm; the differential equation; training process.

Тема «Дифференциальные уравнения» является наиболее сложной для восприятия из всего курса математического анализа первого года обучения. В тоже время она является практически значимой, так как в различных прикладных задачах в качестве математических моделей реальных процессов выступают именно дифференциальные уравнения. Современные реалии таковы, что с каждым годом уровень школьной математической подготовки снижается. Современные студенты приходят в вуз совершенно не умея логически мыслить, рассуждать, анализировать. Количество аудиторных часов, отведенных на изучение курса, при этом продолжает уменьшаться. В этих условиях главной задачей современных педагогов становится выбор наиболее доступных и эффективных методов изложения материала, которые бы сохраняли при этом математическую строгость.

Одним из путей преодоления этих трудностей при изучении темы «Дифференциальные уравнения» является использование алгоритмического подхода.

Процесс решения каждого вида уравнений необходимо представить в виде четкой последовательности шагов – алгоритма, который студенты должны знать или, на первых порах, иметь перед глазами в виде справочного материала. В зависимости от уровня обучающихся справочным материалом можно разрешать пользоваться и на контрольных мероприятиях. На лекционных занятиях, посвященных изучению того или иного вида уравнений, целесообразно подчеркнуть, что процесс решения уравнений требует выполнения определенного алгоритма. Выбор того или иного алгоритма сопряжен с определением вида дифференциального уравнения. Практика показывает, что для студентов именно этот момент вызывает наибольшие затруднения. Главная причина состоит в том, что современные студенты не умеют абстрактно-логически мыслить. Для того чтобы упорядочить и структурировать мыслительную деятельность студентов, необходимо, помимо символьной формы записи уравнения, дать словесное описание отличительных признаков данного вида, дать как можно больше ориентиров, предложить последовательность мыслительных операций, следуя которой студенты смогли бы определить вид уравнения. На первой же лекции, посвященной дифференциальным уравнениям, целесообразно уделить внимание различным формам записи уравнений. При определении вида уравнения следует представить данное уравнение, по возможности, в явном виде. Анализ правой части уравнения при его явном задании, проведенный в определенном порядке, позволяет легко определить вид уравнения. Далее, как раз, следует четкая последовательность умозаключений, позволяющих это сделать. Ее можно сформулировать в виде правил, алгоритма, например, следующим образом:

1. Выразить ;
2. Если правая часть зависит только от независимой переменной , то это простейшее дифференциальное уравнение. Для того, чтобы найти решение, надо проинтегрировать правую часть. В противном случае надо продолжать исследование и перейти к пункту 3.
3. Если правую часть можно представить в виде произведения множителей, один из которых зависит только от , другой только от , то данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. В противном случае надо продолжать исследование и перейти к пункту 4.
4. Если правая часть уравнения – однородная функция нулевого порядка, то данное уравнение – однородное уравнение относительно переменных  и . В противном случае надо продолжать исследование и перейти к пункту 5.
5. Если правая часть имеет вид , то это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.  В противном случае надо продолжать исследование и перейти к пункту 6.
6. Если правая часть имеет вид , то это уравнение Бернулли. В противном случае надо продолжать исследование и перейти к пункту 7.
7. Если правая часть имеет вид , причем  , то это уравнение в полных дифференциалах.  

Данный алгоритм, при желании, можно представить схематично.

Как уже отмечалось выше, символьную форму записи обязательно следует сопровождать словесным описанием.

Необходимо обратить внимание студентов на то, что некоторые уравнения можно отнести одновременно к нескольким видам. 

Далее, как уже выше отмечалось, студентам предлагается алгоритм решения каждого вида уравнений в виде четкой последовательности операций, приводящей к правильному результату.

Изучение уравнений с разделяющимися переменными целесообразно начать с рассмотрения простейших дифференциальных уравнений вида  и уравнений с разделенными переменными вида  , так как именно к этим видам в дальнейшем мы будем сводить все остальные виды уравнений. На это сразу необходимо обратить внимание студентов. Далее, при изучении различных алгоритмов решения уравнения, введении подстановок, обязательно указывать к какому виду уравнений тот или иной шаг приводит. Тем самым мы отсылаем студента к уже известным им методам решения. С этой же целью я рекомендую требовать от студента подписывать вид уравнения, который получается на определенных этапах решения задачи. Это организует их мыслительную деятельность, помогает понять логическую взаимосвязь между отдельными шагами выполняемого алгоритма.

Изучение однородных уравнений необходимо начать с изучения однородных функций. Не лишним будет, при наличии времени, рассмотреть несколько примеров на выяснение вопроса об однородности функции, его порядка. При работе по определению вида уравнения у студента не должно остаться вопроса о том, как проверить функцию на однородность.

Решение линейных уравнений стоит начать с решения однородных линейных уравнений, обратив внимание на то, что они же одновременно являются и уравнениями с разделяющимися переменными. Можно вывести формулу решения однородного линейного уравнения и применять ее в дальнейшем при решении неоднородных линейных уравнений как методом И. Бернулли, так и методом Лагранжа.

Алгоритмизация процесса решения дифференциальных уравнений позволяет студентам четко представлять план решения, анализировать условие, учит их аналитически, структурированно мыслить, логически рассуждать. Такой подход способствует более прочному усвоению знаний, более четкому и осознанному применению теоретических знаний. Практика внедрения этих приемов в учебный процесс показала, что результаты у студентов значительно выше, чем у студентов, обучающихся по традиционным методикам.

Список литературы:

1. Асланов P.M. Методическая система обучения дифференциальным уравнениям в педвузе: Автореф. дис. д. пед. наук. – М., 1997. – 36 с.
2. Батранина М.А. Алгоритмизация процесса обучения теории вероятностей в вузе // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLI междунар. науч.-практ. конф. № 4(39). – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 139-145.