ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПЛОСКИХ КРИВЫХ В СИСТЕМЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ GEOGEBRA

PLANE CURVES ABILITIES RESEARCH IN DYNAMIC GEOMETRY ENVIRONMENT GEOGEBRA

Natalia Andraphanova

candidate of Pedagogics, Associate Professor, Kuban State University,

Russia, Krasnodar

АННОТАЦИЯ

В статье представлены возможности системы динамической геометрии (СДГ) GeoGebra при проведении эмпирических исследований свойств плоских кривых на примере кривых-спиралей. Приведена классификация кривых-спиралей, заданных уравнениями в полярных координатах, задания исследовательской работы для построения и изучения свойств логарифмической спирали средствами СДГ GeoGebra.

ABSTRACT

In the article are presented capabilities of dynamic geometry environment (SDG) GeoGebra while empirical research of plane curves abilities on the example of curve-spirals. There it is introduced the classification of curve spirals which are given by the equations in polar coordinates, tasks of research work while construction and studying logarithmic spiral abilities by SDG means.

Ключевые слова: система динамической геометрии, GeoGebra, графика, моделирование, исследовательская деятельность школьников.

Keywords: dynamic geometry environment, GeoGebra, graphics, simulation, pupils’ research activity.

Кривые с древних времен привлекали к себе внимание ученых. Они использовались ими для описания различных природных явлений. В школьном курсе математики кривые представлены весьма скромно: в качестве кривых рассматриваются графики функций (парабола, гипербола). Между тем плоские кривые и их свойства представляют интересный учебный материал для исследовательской деятельности школьников, расширяют геометрические представления и знания об окружающем нас мире, способствуют формированию исследовательских умений.

Поскольку в школьном курсе математике плоские кривые рассматриваются в ограниченном количестве, то огромный интересный и познавательный материал о них может быть предложен в рамках элективного курса или кружковой работы.

Для построения кривых и открытия их свойств можно использовать систему динамической геометрии (СДГ) GeoGebra. Дидактические возможности СДГ позволяют строить эти замечательные кривые, изменяя параметры кривой, моделировать различные формы и исследовать их свойства [1, с. 57]. СДГ как компьютерный инструментарий моделирования является эффективным средством формирования исследовательских умений и навыков школьников, позволяя получать и анализировать информацию о свойствах исследуемого объекта [2, с. 22].

Одним из представителей плоских кривых являются кривые-спирали. Они занимают особое место среди кривых, так как очень распространены в природе: спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройство растений. Гёте рассматривал спирали, присутствующие в конфигурациях растений и животных, как символ жизни, знак развития, жизненной силы, данной нам природой.

Спираль (франц. spirale, лат. spira – виток) – это кривая, которая огибает некоторую центральную точку или ось, постепенно приближаясь или удаляясь от неё, в зависимости от направления обхода кривой. Виды спиралей приведены на рис. 1 [3, с. 38].

Рисунок 1 Виды спиралей, заданных уравнениями в полярных координатах

Алгебраические спирали − линии, полярные уравнения f(ρ, φ)=0 которых являются алгебраическими относительно ρ и φ. Алгебраические спирали определяются значением параметра a − коэффициента пропорциональности.

Линии, натуральные уравнения которых заданы в виде R=aS^m (уравнение выражает кривизну плоской кривой как функцию длины дуги), где R – радиус кривизны кривой, S – длина дуги, называются псевдоспиралями. Среди известных кривых, которые можно задать уравнением в полярных координатах, логарифмическая спираль (m=1).

Синусоидальные спирали − семейство плоских кривых, выражаемых в полярной системе уравнением  или .

Кривые, относящиеся к семейству синусоидальных спиралей, в действительности различные по своей природе. При рациональном значении m эти кривые являются алгебраическими линиями того или иного порядка, в зависимости от значения m.

Таблица 1.

Примеры синусоидальных спиралей

Так как кривые различные, то исследование этого семейства в целом представляет значительные трудности. Однако полярное уравнение кривой позволяет использовать стандартный алгоритм для ее графического представления и исследования свойства кривой.

Покажем возможности системы динамической геометрии GeoGebra при построении и исследовании свойств спиралей, заданных уравнениями в полярных координатах, на примере логарифмической спирали [4, с. 202].

Из истории. Логарифмическая спираль впервые упоминается в письме Р. Декарта к М. Мерсенну, французскому ученому, от 12 сентября 1638 г. Занимаясь одной задачей механики, Декарт рассмотрел линию, обладающую свойством, что угол между полярным радиусом и касательной в каждой точке кривой всегда один и тот же. Отсюда и название равноугольная. Он также показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов. Отсюда и второе название: логарифмическая спираль, которое дано П. Вариньоном в 1704 г.

Пусть прямая равномерно вращается около неподвижной точки О (полюса), а точка М движется вдоль луча, удаляясь от О со скоростью, пропорциональной расстоянию ОМ. Линия, описываемая такой точкой М, называется логарифмической спиралью. Уравнение логарифмической спирали в полярной системе имеет вид: , a>0 − радиус спирали, −∞<φ<+∞.

Натуральное уравнение логарифмической спирали имеет вид R=a·S, т. е. длина дуги логарифмической спирали, отсчитываемая от полюса, пропорциональна радиусу кривизны конца этой дуги. Радиус кривизны и длина дуги определяются соотношениями: , , где k=ctgα, α − угол, под которым логарифмическая спираль пересекает полярные радиусы всех своих точек (рис. 2).

Рисунок 2. Логарифмическая спираль

Свойства кривой:

·     по свойствам показательной функции при φ→−∞ значение ρ→0, т. е. полюс является асимптотической точкой, вокруг которой спираль описывает бесконечное число оборотов, никогда ее не достигая;

·     расстояние между витками с увеличением угла поворота растет по закону геометрической прогрессии (третье название кривой – геометрическая спираль), но их форма остается неизменной.

Из истории. Я. Бернулли назвал логарифмическую спираль spira mirabilis («удивительная спираль»), пораженный ее свойством оставаться неизменной при различных преобразованиях. Он завещал изобразить ее на своем надгробии с надписью “Eadem mutate resurgo” («измененная, возрождаюсь прежней»).

Логарифмическую спираль можно встретить в природе и в технике. В природе она появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков и розеткам подсолнечников (рис. 3).

Рисунок 3. Примеры логарифмической спирали

Алгоритм построения логарифмической спирали

Логарифмическая спираль в полярной системе имеет вид: , a>0 − радиус спирали, −∞<φ<+∞. Возникает вопрос: как построить эту кривую в декартовой системе координат?

Полярная система координат ставит в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел ρ и φ, которые называются полярными координатами точки. Первое число – это расстояние от фиксированной точки O (полюса) до точки M. Второе число − это направленный угол между лучами OP (полярной осью) и OM.

Расстояние ρ=OM называется полярным радиусом, а угол φ=ÐPOM − полярным углом (рис. 4). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и выбирается из множества [0; 2π). Любая точка, кроме полюса, в полярной системе имеет бесконечно много координат вида (ρ, φ+2πn), nZ.

Рисунок 4. Связь полярной и декартовой систем координат

Так как логарифмическая спираль представлена уравнением в полярных координатах, то вопрос о построении кривой в декартовой системе координат разрешается переводом полярных координат в декартовые координаты.

Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат OXY с полюсом O так, чтобы ось OX совпадала с полярной осью OP, то будут справедливы соотношения между полярными и прямоугольными координатами точки: x=ρ·cosφ, y=ρ·sinφ (рис. 4). Поэтому логарифмическая спираль в декартовой системе координат будет задаваться следующим образом:

Построить кривую в СДГ GeoGebra можно двумя способами:

·     используя в строке ввода команду Кривая [<Выражение>, <Выражение>, <Параметр>, <Начальное значение>, <Конечное значение>];

·     задавая с помощью полученных формул координаты точки кривой для построения траектории ее движения, используя инструменты След или Локус.

Задания для исследовательской работы с помощью команды Кривая

1.  Постройте логарифмическую спираль для начального значения кривой 0, конечного значения 12pi, значений коэффициентов a=0,2 и k=0,1.

1.1.Для задания значений коэффициентов a и k используйте инструмент Ползунок (рис. 5).

Рисунок 5. Задание значений коэффициентов a и k инструментом Ползунок

1.2. В строке ввода введите команду: Кривая [a e^(k j) cos(j), a e^(k j) sin(j),j,0,12pi] (рис. 6).

В панели объектов появится алгебраическое представление кривой:

Рисунок 6. Результат построения логарифмической спирали

1.3. Изменяйте, наблюдая за свойствами кривой, конечное значение последовательно на 8pi, 4pi. Каково назначение это параметра команды?

1.4. Заполните таблицу наблюдений для различных значений исходных данных. Сделайте вывод о назначении параметра Конечное значение команды Кривая.

Таблица 2.

Зависимость количества витков спирали от конечного значения команды

2.  Постройте логарифмическую спираль для конкретного значения k и различных значений коэффициента а, задав для него свойство Анимировать. Используя график, сделайте вывод о назначение коэффициента а кривой.

3.  Выберите конкретное значение коэффициента а и задайте свойство Анимировать для коэффициента k. Используя график, сделайте вывод о назначение коэффициента k кривой.

4.  Постройте логарифмическую спираль с помощью команды Кривая для значений коэффициентов a=5 и k=0,1.

4.1. В свойствах кривой установите Начальное значение 0, Конечное значение 4pi. Зафиксируйте результат в таблице наблюдений (рис. 7).

Таблица 3.

Зависимость количества витков спирали от параметров команды Кривая

4.2. Измените в свойствах кривой Начальное значение на -4pi (рис. 7). Заполните таблицу наблюдений. Сделайте вывод.

Рисунок 7. Логарифмическая спираль для различных значений j

5.  Постройте логарифмическую спираль, закрученную в другую сторону, учитывая следующие соотношения перевода полярных координат в декартовые координаты: x=ρ·cosφ, y=−ρ·sinφ. Для построения в строке ввода введите команду: Кривая [a e^(k j) cos(j), -a e^(k j) sin(j),j,0,12pi].

В панели объектов появится алгебраическое представление кривой:

Второй способ исследования логарифмической спирали основывается на построении кривой как траектории движения точки, координаты которой задаются с помощью формул, полученных при переводе из полярных координат в декартовые координаты. Сама кривая строится с помощью инструментов След или Локус. В этом случае получается динамический чертеж, так как инструмент След наглядно показывает, как выполняется построение кривой.

В сравнении с другими технологиями СДГ GeoGebra представляет собой инновационную технологию изучения геометрического материала с качественно новыми дидактическими возможностями [5, с. 117]. Они позволяют развивать навыки экспериментальной, исследовательской деятельности школьников, для организации которой можно использовать интересный, познавательный материал в рамках элективного курса или кружковой работы.

Список литературы:

1. Андрафанова Н.В., Закира И.А., Назарян Д.С. Инновационные технологии в преподавании геометрии. Личность, семья и общество: вопросы педагогики и психологии. 2014. № 47. С. 55–65.

2. Андрафанова Н.В., Закира И.А. Поддержка исследовательской деятельности школьников средствами ИГС. Проблемы и перспективы развития образования в России. – 2014 г. – № 30 – С. 21−26.

3. Андрафанова Н.В. Построение кривых, заданных уравнениями в полярных координатах. Информатика в школе. 2013. № 7 (90). С. 37–43.

4. Савелов А.А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. – М.: «Либроком», 2010.

5. Andraphanova N.V. Geometrical similarity transformations in Dynamic Geometry Environment GeoGebra. European Journal of Contemporary Education. – 2015. – № 2 (12). – С. 116–128.