ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ  АСПЕКТЫ  ТРУДНОГО  УСВОЕНИЯ  ВУЗОВСКОГО  КУРСА  МЕТЕМАТИКИ

Конькова  Мария  Ивановна

ассистент,  НИЯУ  МИФИ  СарФТИ,  г.  Саров

E-mail: 

Современные  требования  к  качеству  математической  подготовки  школьников  весьма  велики.  В  результате  «чисто  информационного»  школьного  обучения  математике  представления  о  природе  математического  знания  оказывается  у  последней  черты.  Так,  например,  знания  многих  учащихся  средних  школ  все  еще  страдают  формализмом.  Во  многих  случаях  они  крайне  непрочны.  Это  в  большей  мере  характерно  и  для  учащихся  высшей  школы.  Заучивание  фактов  зачастую  преобладает  над  пониманием  и  умением  применять  методы  высшей  математики.  Самостоятельное  мышление  развивается  совершенно  недостаточно.  Приобретенные  знания  забываются  очень  быстро.

Какие  же  проблемы  возникают  в  процессе  обучения  математике  в  вузах?  Как  показала  практика,  первая,  студенты  не  могут  оперировать  основными  понятиями  и  теоремами,  правильно  их  использовать  на  практике,  вторая,  у  них  возникает  вопрос  «зачем  нам  нужна  эта  высшая  математика».  Рассмотрим  каждую  из  них  в  отдельности.

Первая  причина  трудного  усвоения  вузовского  курса  математики,  в  частности  математического  анализа,  заключается  в  непонимание  содержания  материала.  Психологи  (Г.С.  Костюк,  Н.А.  Менчинская,  Л.П.  Доблаев)  отмечают,  что  понять  материал  –  это  значит  «раскрыть  реально  существующие,  существенные  связи  предметов  и  явлений».[3,  с.56]  Таким  образом,  понять  материал  –  это  значит  сформировать  понятия,  то  есть  раскрыть  их  существенные  свойства  во  взаимных  связях.  По  мнению  О.А.  Сотниковой  процесс  понимания  зависит  от  следующих  факторов[8,  с.  56]:

1)«от  объективного  содержания  того,  что  нужно  понять,  сложности  тех  связей,  которые  при  этом  нужно  осознать».  Так,  например,  изучение  действий  над  комплексными  числами  имеет  явную  связь  со  школьными  знаниями  (раскрытие  скобок,  умножение  на  сопряженный  множитель,  теорема  Пифагора).  Содержание  такой  темы,  как  «Теория  пределов»  более  формализовано,  включает  понятия  высокого  уровня  абстракции  (по  сравнению  со  школьным  курсом); 

2)«от  того,  как  осознается  учащимися  поставленная  перед  ними  задача,  от  этого  зависит  направление  работы  их  мысли,  характер  тех  умственных  процессов,  которые  при  этом  активизируются».  Обучение  математическим  дисциплинам  тем  и  затруднено,  что  студентами  не  принимаются  цели  их  изучения;

3)«от  того,  как  цель  «понять»  согласуется  с  другими  целями  учебной  работы  (запомнить,  сконструировать  и  так  далее)».  Так,  если  при  изучении  математического  текста  ставится  задача  –  воспроизвести  чисто  формально  его  завтра  на  экзамене  (зачете,  практическом  занятии),  то  активизируется  работа  памяти,  которая  в  этом  случае  кратковременна,  и  понимание  материала  характеризуется  лишь  воспроизведением.  Если  же  ставится  цель  применить  текст  к  решению  задачи,  то  активизируются  рычаги  управления  умственными  действиями,  интуиция,  направленные  на  извлечение  информации  для  решения  предоставленной  задачи.

Таким  образом,  понимание  теоретического  материала  характеризуется  теми  умственными  действиями,  которые  студент  может  производить  с  использованием  содержательных  компонентов  материала.  А  потому  степень  понимания  теоретического  материала  характеризуется  таким  уровнем  оперирования  полученными  знаниями,  который  обеспечивает  переформулировку  теоретических  знаний,  установление  логических  связей  между  понятиями,  конструирование  верных  суждений,  приведение  примеров  и  контрпримеров  использования  определений  и  теорем. 

Школьный  курс  математики  существенно  отличается  от  вузовского  курса.  В  вузовском  курсе  математики  определения  основных  понятий  и  теорем  более  высокого  уровня  абстракции  по  отношению  к  школьным.  В  школе  математические  понятия  в  основном  представляют  результат  абстрагирования  от  реальных  вещей  и  явлений  (число,  множество,  функция  и  так  далее).  В  вузовском  же  курсе  понятия  это  и  есть  результат  абстракции  этих  понятий  (последовательность  –  результат  абстрагирования  понятия  функции).  Но  даже  те  понятия,  которые  были  известны  в  школе,  в  вузе  изучаются  на  другом  содержательном  уровне:  изменяется  способ  их  введения  (в  школе  используется  конкретно  -  индуктивный  способ,  в  вузе  –  абстрактно-дедуктивный).  Изменяется  уровень  формализации  используемых  определений,  изменяются  цели  изучения  понятий,  а,  следовательно,  требования  к  их  усвоению.  Например,  в  школе  понятие  производной  вводится  неявно,  отрабатывались  способы  нахождения  производных  по  средствам  правил  дифференцирования  и  таблицы  производных,  которая  вводилась  чисто  формально  и  заучивалась  учащимися  наизусть.  В  вузовском  курсе  математики  это  понятие  вводится  на  более  высоком  уровне,  правила  дифференцирования  и  таблица  производных  выводятся  через  определение  производной  функции,  применение  производной  в  геометрии  и  физике.

В  курсе  высшей  математики  имеют  большое  как  теоретическое,  так  и  практическое  значение  теоремы  существования.  Роль  теорем  существования  не  только  в  том,  что  они  часто  содержат  алгоритм  решения  какого  –  либо  рода  задач,  но  и  в  том,  что  методы,  используемые  при  доказательстве  таких  теорем,  служат  источником  развития  логического  мышления  учащихся.  В  школе  же  теорем  существования  в  явном  виде  нет,  а  те  теоремы,  которые  несут  смысл  теорем  существования,  не  дают  возможности  использовать  их  так,  как  теоремы  вузовского  курса.

Сравнительный  анализ  определений  и  теорем  школьного  и  вузовского  курсов  математики  позволяет  сделать  вывод,  что  усвоение  понятий  и  теорем  будет  более  результативным,  если  будет  основываться  на  «усилении  интуитивного  компонента  наряду  с  логическим,  при  том  в  их  диалектическом  сочетании»  [5,  с.34].

Наиболее  спорными  вопросами  об  определениях  понятий  школьной  и  вузовской  математики  возникают  в  связи  с  поиском  «дидактически  целесообразного»  [5,  с.34]  соотношения  формального  и  интуитивного  в  выборе  определений.  Конечно,  для  установления  такого  соотношения  необходимо  выделить  логические  и  интуитивные  компоненты  в  математическом  мышлении  учащихся,  а  также  определить  их  значение  в  познавательной  деятельности.  В  процессе  обучения  учитель  контролирует  уровень  логической  подготовленности  учащихся,  но  мера  развития  их  интуиции  ему  менее  известна,  так  как  не  является  объектом  пристального  внимания  и  контроля,  как  логика.  Хотя  для  формирования  математической  культуры  и,  математического  мышления,  в  частности,  интуитивный  компонент  является  не  менее  важным,  чем  логический.  Так,  например  Кудрявцев  Л.  Д.  [1,  с.26]  пишет,  что  знания  и  интуиция  являются  основными  составляющими  математической  культуры.  Американский  математик  Клайн  М.[2,  с.45]  на  анализе  исторического  материала  убедительно  показал  огромную  роль  интуиции  в  познании  математических  истин,  в  творческой  деятельности  ученых  –  математиков.  По  поводу  логики  и  интуиции  в  математике  кратко  и  выразительно  высказал  Пуанкаре  А.[6,  с.  31]:  «…логика  и  интуиция  играют  каждая  свою  необходимую  роль.  Обе  они  неизбежны.  Логика,  которая  одна  может  дать  достоверность,  есть  орудие  доказательства;  интуиция  есть  орудие  изобретательства».  Так  как  одной  из  главных  задач  обучения  математике  является  развитие  математического  творчества  учащихся,  активизация  их  познавательной  деятельности,  то  формированию  интуитивного  и  эвристического  методов  рассуждений  должно  уделяться  особое  внимание.

Маликов  Т.  С.  [5,  с.  35],  анализируя  свой  педагогический  опыт,  показывает,  что  «объективные  факторы  оказывают  большее  влияние  на  формирование  математического  понятия  в  сознании  учащихся,  чем  более  или  менее  длительная  направленная  непосредственная  «обработка»  понятий».  Таким  образом,  при  введении  определений  математических  понятий  в  качестве  одного  из  главных  факторов  необходимо  учитывать  правильное  интуитивное  восприятие,  которое  должно  сформироваться  в  процессе  их  изучения.  Для  достижения  положительных  результатов  в  преподавании  необходимо  более  целенаправленно  изучать  развитие  интуитивных  представлений  учащихся.

Таким  образом,  решая  вопрос  о  формальном  определении  математических  понятий  и  теорем,  следует  учитывать  не  только  локальные  преимущества  (простота  и  строгость  изложения),  но  и  «отдаленные  результаты»,  необходимо  иметь  ясное  представление  о  том,  в  какой  степени  принятые  формальные  определения  отражаются  на  изучении  теории:  способствуют  ли  они  или,  наоборот,  препятствуют  выработке  у  учащихся  адекватных  представлений  о  соответствующем  математическом  понятии;  не  уводят  ли  они  в  сторону  от  основных  целей  изучения  соответствующего  фрагмента  теории  или  теории  в  целом,  смещая  в  преподавании  акценты  от  прикладного  к  логическому;  удобны  ли  соответствующая  им  терминология  и  символика,  и  согласуется  ли  они  с  терминологией  и  символикой,  принятой  в  математике.

Вторая  причина  трудного  усвоения  студентами  курса  высшей  математики  состоит  в  том,  что  первокурсники,  бывшие  выпускники  средней  школы,  в  течение  некоторого  времени  находятся  в  так  называемом  периоде  адаптации.  Методы  преподавания  в  вузе  отличаются  от  школьных.  В  вузовской  методике  усвоение  материала  происходит  по  средствам  познавательной  самостоятельности  студентов.  По  мнению  психологов  (С.Л.  Рубинштейн,  А.Н.  Леонтьев,  Г.С.  Костюк),  «для  того,  чтобы  учащийся  по-настоящему  включился  в  работу,  нужно  сделать  поставленные  в  ходе  учебные  задачи  не  только  понятными  им,  то  есть,  чтобы  они  приняли  значимость  для  учащегося».[4,  c.  68]  Обучение  тем  продуктивнее,  чем  лучше  осуществлена  мотивация  учения,  так  как  «понимание  материала  всегда  характеризуется  определенной  направленностью»  и  зависит  от  того,  «как  осознается  учащимися  поставленная  перед  ним  задача».[7,с.  132]  Это  определяет  «характер  тех  умственных  процессов,  которые  при  этом  активируются»,  поскольку  сознательное  усвоение  материала  требует  «ясного  понимания  того,  зачем  надо  учиться».[3,  с.94]

В  реальной  практике  можно  столкнуться  с  ситуацией,  когда  студенты  (чаще  первокурсники)  задают  вопрос:  зачем  нам  нужна  эта  высшая  математика?  Сформулированная  выше  цель  ими  не  осознается  и  не  принимается.

Если  идти  к  цели  от  мотива,  то  мотивом  учения  может  быть  выполнение  обязанностей  перед  родителями,  перед  самим  собой,  стремление  испытать  свои  силы  и  способности.  Они  могут  быть  эффективными,  но  не  всегда.  Выпускники  средней  школы  приходят  в  вузы  получать  профессиональное  образование,  правда,  некоторые  из  них  вносят  больше  формального  смысла  (получение  диплома),  чем  содержательного.  Но  речь  не  о  таких  студентах.  Основным  мотивом  принятия  указанной  цели  должна  выступать  потребность  в  знаниях  для  будущей  профессии.

Итак,  математическая  подготовка  студентов  не  отвечает  современным  требованиям.  Не  все  выпускники  умеют:  правильно  применить  полученные  знания,  выходить  за  рамки  узкого  круга  стандартных  примеров  практического  применения  того  или  иного  математического  понятия  или  утверждения,  выделить  главное  в  рассматриваемом  вопросе,  обобщить  и  систематизировать  некоторую  совокупность  отдельных  фактов,  то  есть,  знания  студентов  часто  формальны. 

Проведенный  анализ  проблем  трудного  усвоения  вузовского  курса  математики  позволяет  сделать  вывод  о  том,  что  теоретические  знания  должны  усваиваться  на  уровне  действенности.  Для  этого  следует  изменить  подход  к  изучению  теоретических  знаний  в  процессе  математической  подготовке,  а,  именно  учитывать  особенности  усвоения  материала,  той  мыслительной  деятельности,  которая  при  этом  активизируется.

Список  литературы:

1.Кудрявцев  Л.  Д.  Современная  математика  и  её  преподавание/  Л.Д.  Кудрявцев.  –  М.,  1967.  –  68с.

2.Клайн  М.  Математика.  Утрата  определенности/  М.  Клайн  –  М.,  1989.  -  126с.

3.Костюк  Г.С.  Избранные  психологические  труды./  Под  ред.  Л.Н.  Прокопенко.  –  М.:  Педагогика,  1988.  –  321с.

4.Леонтьев  А.  Н.  Избранные  психологические  произведения.  В  2  т./  Под  ред.  В.В.  Давыдова  –  М.:  Педагогика,  1983.  -  162с.

5.Маликов  Т.С.  Логический  и  интуитивный  компоненты  в  определениях  математических  понятий/  Т.С.  Маликов  –  МШ  –  №  1,  1987.  -  63с.

6.Пуанкаре  А.  О  науке/  А.  Пуанкаре  –  М.:  Наука,  1983.  –  69с.

7.Рубинштейн  С.Л.  Основы  общей  психологии/  С.Л.  Рубинштейн  Т.2.  –  М.:  Педагогика,  1989.  –  163с.

8.Сотникова  О.А.  Изучение  высшей  алгебры:  начальный  этап/  О.А.  Сотникова.  –  Архангельск,  2002.  –  135с.