МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ

Чавкина  Мария  Андреевна

E-mail:  maria16.04@mail.ru

Неменок  Алиса  Николаевна

студенты,  факультет  электроники  и  системотехники,  МГУЛ, 
РФ,  г.  Москва

E-mail:  alisa.nemenok95@list.ru

Афанасьев  Алексей  Викторович

научный  руководитель,  канд.  техн.  наук,  МГУЛ, 
РФ,  г.  Москва

Математическое  моделирование  –  формальное  описание  систем  и  явлений  с  помощью  математических  соотношений  или  алгоритмов,  целью  которого  это  является  изучение  реального  объекта,  процесса  или  системы,  в  том  числе  с  использованием  ЭВМ.

Построенная  математическая  модель  позволяет  исследователю  определить  связь  между  изучаемыми  процессами  или  явлениями,  используя  математический  аппарат,  позволяет  выделить  количественные  или  качественные  свойства  этих  процессов  и  т.д.

Чаще  всего  конечной  целью  построения  математических  моделей  является  формулирование  математической  задачи  (которая  может  быть  решена  с  помощью  математического  аппарата  или  средствами  ЭВМ)  решение  которой  дает  необходимый  конечный  результат,  интересующий  исследователя.

Цель  этой  статьи  –  показать  использование  математического  моделирования  в  различных  сферах  научной  деятельности  на  примере  различных  задач,  решаемых  с  помощью  относительного  экстремума.

Первая  задача  показывает  пример  построения  математической  модели  в  геометрии  (задача  Архимеда)

Задача  1.  Среди  всех  шаровых  сегментов  с  заданной  площадью  сферической  поверхности  найти  тот,  объем  которого  наибольший.

Построение  математической  модели:  Пусть  площадь  сферической  поверхности  равна  а.  По  формуле  площади    (где  R  –  радиус,  h  –  высота  сегмента).  Объем  шарового  сегмента  .  Таким  образом,  получаем  следующую  математическую  модель:

Найти  максимум  функции    при  условии,  что  .

Решение  математической  модели:  Составим  функцию  Лагранжа:

.

Составим  систему:

Подставим  R  и  h  во  второе  уравнение  системы,  получим:

Так  как  ,  то  очевидно,  что  ,  то  есть 

Получаем,  что  высота  и  радиус  равны  между  собой.

Ответ:  Шаровой  сегмент  –  полусфера.

Вторая  задача  –  построение  математической  модели  в  физике  (задача  Скеллиуса).

Задача  2.  Согласно  принципу  Ферма,  свет,  исходящий  из  точки  А  и  попадающий  в  точку  В,  распространяется  по  той  траектории,  для  прохождения  которой  требуется  минимум  времени.  Пусти  точки  А  и  В  расположены  в  различных  оптических  средах,  разделенных  плоскостью,  причем  скорость  распространения  света  в  первой  среде  равна  ,  а  во  второй  она  составляет  .  Вывести  закон  преломления  света.

Построение  математической  модели:  Пусть  АМ=а,  ВК=b,  ,  (Рис.  1) 

Рисунок  1.

тогда  .  Из  физики  мы  знаем,  что  скорость  .  Найдем  время  . 

.  Так  как  свет  распространяется  по  траектории,  на  которую  нужно  затратить  минимальное  количество  времени,  то  имеем  следующую  математическую  модель:

Найти  минимум  функции    при  условии,  что  .

Решение  математической  модели:  Составим  функцию  Лагранжа:

.

Составим  систему:

Из  системы  следует,  что  .

Ответ:  Закон  преломления  света  –  .

Теперь  покажем  применение  математического  моделирования  в  экономике.

Задача  3.  Сумму  А  рублей  распределить  между  тремя  получателями  так,  чтобы  одному  досталось  денег  в  два  раза  больше,  чем  другому,  а  сумма  квадратов  распределенных  частей  денег  была  наименьшей.

Составление  математической  модели:  Пусть  х  –  сумма  денег  для  первого  получателя,  у  –  сумма  денег  для  второго  получателя,  z  –  сумма  денег  для  третьего  получателя.  Так  всего  денег  А,  то  получаем  .  При  этом  нужно,  чтобы  сумма  квадратов  была  минимальной.  Получаем  следующую  модель:

Найти  минимум  функции    при  условии,  что  .

Решение  математической  модели:  Составим  функции  Лагранжа:

.

Составим  систему:

Из  системы  получаем 

Ответ:  ,  ,  .

Список  литературы:

1. Ашманов  С.А.  Теория  оптимизации  в  задачах  и  упражнениях.  /  С.А.  Ашманов,  А.В.  Тимохов  –  М.:  Наука,  1991.  –  447  с.
2. Красс  М.С.  Основы  математики  и  ее  приложения  в  экономическом  образовании.  /  М.С.  Красс,  Б.П.  Чупрынов  –  М.:  Дело.  2001.  –  688  с.