СРАВНЕНИЕ  РЕЗУЛЬТАТОВ  РАСЧЕТОВ  КРУГЛОЙ  ПЛАСТИНЫ  ПО  РАЗЛИЧНЫМ  ТЕОРИЯМ

Филиппова  Наталья  Олеговна

студент  3  курса,  кафедра  математического  моделирования  и  кибернетики  СыктГУ,  РФ,  г.  Сыктывкар

E-mail :  nataljafilipp5@gmail.com

Ермоленко  Андрей  Васильевич

научный  руководитель,  канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  СыктГУ,  РФ,  г.  Сыктывкар

На  основе  теории  изгиба  пластин  типа  Ка́рмана-Тимошенко-Нагди  [2,  3],  уточняющей  квазикирхгофовскую  теорию  К.Ф.  Черныха  [5]  за  счет  учета  поперечных  сдвигов  по  линейной  теории  и  вариаций  параметров  поперечного  обжатия,  решается  задача  о  расчете  напряженно-деформированного  состояния  круглой  нормально  нагруженной  жестко  защемленной  пластины.

Запишем  полевые  уравнения  типа  Кармана-Тимошенко-Нагди:

Здесь  I  —  тождественный  оператор,  —  оператор  Лапласа,  w  —  прогиб  пластины,  —  поперечная  внешняя  нагрузка,    —  цилиндрическая  жесткость,  Е  —  модуль  Юнга,    —  коэффициент  Пуассона,  h  —  толщина  пластины,

Для  того  чтобы  показать  роль  внесенных  изменений,  рассмотрим  следующую  задачу.  Пусть  имеется  круглая  пластина  радиуса  R,  толщиной  h,  жестко  закрепленная  по  контуру  таким  образом,  что  реализуется  осесимметричный  изгиб.  Пластина  испытывает  действие  равномерной  нормальной  нагрузки  интенсивности  q_n=const.  Требуется  определить  параметры  напряженно-деформированного  состояния  этой  пластины.

К  решению  поставленной  задачи  применим  уравнения  типа  Кармана-Тимошенко-Нагди  и  перейдем  к  полярным  координатам.  Учитывая  осесимметричность  задачи,  оператор  Лапласа  и  операторы  ,    (см.  (1))  можно  записать  в  виде  (см.,  например  [4])

Введем  переменную    где    и  перейдем  в  системе  уравнений  (1)  к  безразмерным  величинам.  В  результате  система  (1)  принимает  вид

Граничные  условия  жестко  защемленного  тангенциально  свободного  края  примем  в  виде

Функции  Грина  для  вычисления    и  функции  напряжений    совпадают  и  имеют  вид

Здесь    –  функция  Хевисайда,  определяемая  следующим  образом

Решение  системы  (5)  методом  функции  Грина  примет  вид

Для  решения  системы  (9)  применим  следующую  итерационную  схему:

где 

Итерационная  схема  (10)  предложена  для  решения  поставленной  задачи  в  рамках  теории  типа  Кармана-Тимошенко-Нагди.

Заметим,  что  при  некоторых  условиях  можно  получить  итерационные  схемы  и  для  других  теорий.  Так,  положив    и  не  учитывая  в  системе  (1)  третье  уравнение,  получим  решение  задачи  по  традиционной  теории  Кармана.  Чтобы  получить  решение  по  теории  типа  Кармана–Нагди  (учет  только  поперечного  обжатия),  необходимо  положить  и  также  не  учитывать  третье  уравнение  в  системе  (1).  И  наконец,  если  требуется  получить  решение  по  теории  типа  Кармана-Тимошенко  (учет  только  поперечных  сдвигов),  то  полагаем  ,  .

В  ходе  работы  на  основе  итерационной  схемы  (10)  с  использованием  конечно-разностной  аппроксимации  [1]  проводился  численный  эксперимент.

На  рисунке  1  показаны  результаты  расчета  для  стальной  пластины  по  5  теориям  со  следующими  геометрическими  и  физическими  параметрами: 

(а)  и    (б).

Рисунок  1.  Графики  прогибов

Посчитаем  погрешности  прогибов,  полученных  по  различным  теориям,  относительно  теории  Кармана.  Для  этого  воспользуемся  следующей  формулой:

Здесь    —  относительная  погрешность,    —  прогиб  пластины  по  теории  Кармана,,  i  =  KTN,  KT,  KN,  Kl  —  прогибы  по  теории  Кармана-Тимошенко-Нагди,  Кармана-Тимошенко,  Кармана—Нагди  и  по  классической  теории,  соответственно,    —  норма  функции  в  пространстве  квадратично  суммируемых  функций,  которая  с  использованием  метода  прямоугольников  принимает  вид 

Полученные  результаты  представлены  в  таблицах  1—2,  из  которых  видно,  что  при  рассмотрении  задачи  в  рамках  теории  упругости  значения  по  рассмотренным  теориям  практически  совпадают.  Однако  если  существенно  увеличить  нагрузку,  то,  как  и  ожидалось,  значения  прогиба  по  классической  теории  значительно  отличаются  от  значений  по  уточненным  теориям. 

Таблица  1.

Погрешность  прогибов  при 

Аналогично  сравним  полученные  значения  для  функции  напряжений  .  По  классической  теории 

На  рисунке  2  приведены  графики  функции  напряжения  при    (а)  и  при    (б).  Видим,  что  независимо  от  выбора  нагрузки  графики  различных  теорий  в  обоих  случаях  совпадают.  Это  подтверждают  и  аналитические  вычисления  (таблицы  3—4).

Таблица  2. 

Погрешность  прогибов  при 

Таблица  3.

Погрешность  функций  напряжения  при 

Таблица  4.

Погрешность  функций  напряжения  при 

Рисунок  2.  Графики  функции  напряжения

В  заключение  отметим,  что  при  расчете  пластин  в  рамках  теории  упругости  выбор  теории  не  сказывается  на  напряженно-деформированном  состоянии  при  решении  обычных  задач,  однако  выбор  теории  существенно  сказывается  на  решении  контактных  задач  со  свободной  границей  [4].

Список  литературы:

1.Власова  Е.А.,  Зарубин  В.С.,  Кувыркин  Г.Н.  Приближенные  методы  математической  физики.  М.:  Изд-во  МГТУ  им  Н.Э.  Баумана,  2001.  —  700  с.

2.Ермоленко  А.В.  Расчет  круглых  пластин  по  уточненным  теориям  //  Вестник  Сыктывкарского  университета.  Сер.  1:  Мат.  Мех.  Инф.  —  2006.  —  Вып.  6.  —  С.  79—86.

3.Михайловский  Е.И.,  Бадокин  К.В.,  Ермоленко  А.В.  Теория  изгиба  пластин  типа  Кармана  без  гипотез  Кирхгофа  //  Вестник  Сыктывкарского  университета.  Сер.1:  Мат.  Мех.  Инф.  —  1999.  —  Вып.  3.  —  С.  181—202.

4.Михайловский  Е.И.,  Ермоленко  А.В.,  Миронов  В.В.,  Тулубенская  Е.В.  Уточненные  нелинейные  уравнения  в  неклассических  задачах  механики  оболочек.  Сыктывкар:  Изд-во  Сыктывкарского  ун-та,  2009.  —  141  с.

5.Черных  К.Ф.  Нелинейная  теория  упругости  в  машиностроительных  расчетах.  Л.:  Машиностроение,  1986.  —  336  с.