ПРИМЕРЫ  ПОСТРОЕНИЯ  МАТЕМАТИЧЕСКИХ  МОДЕЛЕЙ  ПО  РАЗДЕЛУ  «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ  ФУНКЦИЙ»

Мигалин  Никита  Вадимович

студент  1  курса,  СТПТ,  РФ,  г.  Самара

E-mail:  xanter_445@mail.ru

Исаев  Николай  Владимирович

студент  1  курса,  СТПТ,  РФ,  г.  Самара

E-mail: 

Попова  Светлана  Владимировна

научный  руководитель,  преподаватель  высшей  категории  СТПТ,  РФ,  г.  Самара

E-mail:  umnica2006@mail.ru

Равномерные  и  неравномерные  процессы.  Процессы,  происходящие  в  окружающем  нас  мире,  характеризуются  взаимосвязанностью  величин,  которые  эти  процессы  определяют.  Математически  данная  взаимосвязь  представлена  понятием  «функциональная  зависимость».  Например,  путь  S,  пройденный  движущимся  телом,  является  функцией  от  времени  t,  которое  тело  прошло  с  начала  падения:  S=f(t).  Чтобы  упростить  задачу,  сначала  рассматривают  приближенную  модель  явления,  при  этом  движущееся  тело  заменяется  понятием  «материальная  точка».  Данный  способ  позволяет  не  учитывать  при  решении  задачи  его  форму  и  размеры.  Если  предположить,  что  при  падении  сопротивление  воздуха  отсутствует,  то  закон  примет  сравнительно  простой  вид:  S=,  где  g  ускорение  силы  тяжести  на  поверхности  Земли.  Но  эту  упрощённую  формулу  нельзя  применить  ко  многим  практически  важным  процессам.  Например,  по  ней  нельзя  рассчитать  процесс  падения  парашютиста  (поскольку  здесь  существенную  роль  играет  сопротивление  воздуха),  процесс  возвращения  посланной  к  Луне  межпланетной  станции  (по  причине  силы  притяжения  от  расстояния  до  Земли)  и  т.  д.,  где  g  ускорение  силы  тяжести  на  поверхности  Земли.  Таким  образом,  реально  протекающие  процессы  слишком  сложны  для  того,  чтобы  непосредственно  применять  к  ним  математические  методы,  так  как  слишком  упрощённые  схемы  явлений  дают  результаты  весьма  неточные.  Поэтому  принято  строить  для  каждого  процесса  несколько  математических  моделей,  позволяющих  с  большей  точностью  описывать  изучаемое  явление.  При  решении  получаемые  ответы  сравниваются  с  результатами  экспериментов.  Таким  образом,  можно  сделать  выбор  модели,  дающей  наиболее  близкие  к  истине  ответы  и  в  то  же  время  достаточно  простой  для  построения.

Предположение  о  равномерности  изучаемого  процесса  введено  при  построении  математических  моделей  вышеописанного  характера.  Так,  почти  во  всех  учебных  задачах  на  движение  скорость  движущихся  тел  считается  постоянной  величиной.  Если  некоторая  величина  y  меняется  равномерно  и  в  момент  времени  она  имела  значение  ,  а  в  момент  времени  —значение    то  её  значение  в  произвольный  момент  времени    выражается  формулой  .

Следующими  по  сложности  после  процессов  с  постоянной  скоростью  являются  процессы,  для  которых  постоянно  ускорение,  сюда  относится,  в  частности,  свободное  падение  тела  вблизи  земной  поверхности.  В  этом  случае  скорость    изменяется  равномерно  —  в  момент  времени    она  равна  ,  где  —  начальная  скорость  (т.  е.  скорость  в  момент  времени  ),    —  ускорение.  Закон  изменения  самой  величины  у  за  промежуток  времени    выражается  интегралом  .  Значит,  в  нашем  примере  имеем:

т.  е.  ,  где  .

В  разобранных  примерах  скорость  была  либо  постоянна,  либо  изменялась  равномерно,  но  она  не  зависела  от  значения  самой  меняющейся  величины.  Однако  часто  значение  скорости  изменения  величины  связано  со  значением  величины.  Например,  чем  больше  величина  вклада  в  сберкассе,  тем  больше  прирост  за  год;  чем  больше  стадо  коров,  тем  больше  приплода  будет  за  год.  Во  многих  случаях  можно  в  первом  приближении  принять,  что  скорость  изменения  величины  в  момент  времени  t  пропорциональна  значению  этой  величины  в  тот  же  момент  времени.  Теперь,  мы  подошли  к  следующей  математической  модели.

Скорость  изменения  о  величины  у  в  каждый  момент  времени  пропорциональна  значению  этой  величины  в  тот  же  момент  времени.  Найти  значение    в  момент  времени  ,  если  при    значение  этой  величины  равнялось  .

Решение.  По  условию  задачи  имеем:.  Так  как    то  получаем  дифференциальное  уравнение:  (1).  Данному  уравнению  удовлетворяют  функции  вида  .  По  условию  если  ,  то  .  Значит,  ,  т.  е.    Таким  образом,  значение  у  выражается  формулой  (2).  Если  значение  коэффициента  пропорциональности    не  дано,  а  известно,  что  при,  значение  величины  равнялось  ,  то  ,  и  потому 

Это  значение  отличается  от  значения  ,полученного  выше  в  предположении,  что  скорость  изменения  у  постоянна.

Если  задать  любые  числа    и  у,  то  всегда  найдется  одно  я  только  одно  решение  дифференциального  уравнения  (1),  принимающее  при  ,  значение  ,  а  именно  решение  ,  или,  иначе,    .Таким  образом,  уравнение  (1)  вместе  с  начальным  условием    определяет  однозначное  решение.  Если  заметить,  что  процессы  разобранного  вида  можно  приближенно  свести  к  процессам,  у  которых  скорость  постоянна.  Для  этого  разобьём  отрезок    на    равных  частей  и  будем  считать,  что  скорость  изменения  величины    постоянна  на  каждом  из  этих  отрезков.  На  отрезке  [0;  ]  находим  эту  скорость  по  формуле  ,  учитывая,  что  при    имеем  .  Получаем,  что  .  Это  позволяет  найти  приближенное  значение    в  точке  —  оно  равно  ,т.  е.  .  Вновь  используя  формулу  (1),  находим  приближённое  значение  скорости  при    —  оно  равно    Но  тогда  в  момент  времени  значение  равно  Таким  же  путем  устанавливаем,  что  значение    при    равно  .  В  частности,  это  значение  при  ,  т.  e.  в  момент  времени  ,  равно  .  Описанный  метод  является  лишь  приближённым,  поскольку  мы  считаем  скорость  изменения    постоянной  на  каждом  из  отрезков  .  Но  при  увеличении  числа  этих  отрезков  длина  каждого  из  них  уменьшается,  а  потому  делаемая  на  каждом  шагу  ошибка  становится  все  меньше. 

Процессы  показательного  роста.  Покажем  этот  процесс  на  следующих  примерах  задач  [1]. 

Пример  1.  При  радиоактивном  распаде  мгновенная  скорость  распада  в  каждый  момент  времени    пропорциональна  наличному  количеству  вещества  (чем  больше  имеется  атомов  вещества,  тем  больше  их  распадается).  Найдем  закон  радиоактивного  распада.

Решение.  Обозначим  массу  вещества  в  момент  времени    через  ,  ,  а  мгновенную  скорость  распада  через  .  Из  условия  следует,  что  ,  где    —  коэффициент  пропорциональности;  знак  «минус»  поставлен  потому,  что  вещество  распадается  и  его  количество  уменьшается,  т.  е.  скорость  изменения  количества  вещества  отрицательна.  Поскольку    —  скорость  изменения  массы  вещества,  т.  е,  скорость  изменения  функции,  ,  а  потому  равенство    можно  переписать  в  виде:  .  Это  уравнение  вида  (1).  Его  решение  имеет,  как  было  отмечено  выше,  вид:  ,  где  —  первоначальная  масса  вещества  (при  ).  Найдём,  за  какой  промежуток  времени    масса  вещества  уменьшится  вдвое.  Для  этого  надо  решить  показательное  уравнение  .  Из  него  находим,  что  ,  и  потому  ,  т.  е  .

Найденное  значение    называют  периодом  полураспада  данного  радиоактивного  вещества.  Этот  период  зависит  не  от  начального  количества  этого  вещества,  а  лишь  от  вида  атомного  ядра.  Например,  период  полураспада  радия  —  226  равен  1620  годам,  а  урана-238  —  4,5  млрд.  лет.  В  физике  закон  радиоактивного  распада  обычно  выражают  через  период  полураспада  :

Итак,  получаем  следующий  закон  радиоактивного  распада: 

Пример  2.  Пусть  колония  живых  организмов  находится  в  благоприятных  условиях,  благодаря  чему  рождаемость  выше,  чем  смертность,  причем  пространство,  занимаемое  колонией,  и  пищевые  ресурсы  будем  считать  неограниченными.  Предположим  также,  что  хищников,  питающихся  организмами  данной  колонии,  нет.  Найдем  закон  изменения  численности  организмов  в  зависимости  от  времени,  если  в  момент  времени    их  число  равнялось  .

Решение.  Заметим,  что  число  организмов  всегда  выражается  целым  числом.  Поэтому  оно  является  разрывной  функцией  от  времени,  и.  казалось  бы,  к  данному  вопросу  нельзя  применить  модель,  основанную  на  понятии  производной.  Но  при  достаточно  большом  числе  организмов  в  колонии  эту  разрывную  функцию  можно  с  достаточной  точностью  приблизить  непрерывной  и  даже  дифференцируемой  функцией  и  изучать  соответствующую  модель  явления.  Если  в  результате  расчётов  окажется,  что,  например,  число  организмов  в  колонии  равно  125,76,  то  это  означает,  что  на  самом  деле  число  организмов  примерно  равно  125  или  126.  Сделанная  при  этом  ошибка  куда  меньше,  чем  ошибка,  связанная  с  неточностью  выбранной  модели,  недостаточной  определенностью  значений  коэффициентов  и  начальных  условий  и  других  привходящих  обстоятельств.

Будем  считать,  что  скорость  изменения  численности  организмов  пропорциональна  этой  численности  и    —  коэффициент  пропорциональности.  Так  как    то  численность  у  организмов  в  колонии  в  момент  времени    удовлетворяет  уравнению  .  Из  формулы  (2)  получаем,  что  число  организмов  в  колонии  выражается  законом  .

Поскольку  при    функция    стремится  к  бесконечности  при  ,  то  и  число  экземпляров  данного  вида  будет  стремиться  к  бесконечности.  Например,  расчеты  демонстрируют,  что  потомство  одной  пары  мух  за  два  года  при  беспрепятственном  размножении  имело  бы  массу,  превосходящую  массу  Земля.  В  действительности  столь  быстрый  рост,  естественно,  ее  наблюдаются,  хотя  известны  случая,  когда  некоторые  виды  животных  и  растений,  попав  в  благоприятные  условия,  размножались  настолько  быстро,  что  становились  бедствием  (кролики  в  Австралии,  водяной  гиацинт  в  реках  США  и  т.  д.).

Мы  рассмотрели  два  примера  процессов,  математической  моделью  которых  служит  уравнение  вида  .  Поскольку  решение  этого  уравнения  имеет  вид  ,  т.  е.  решение  уравнения  —  показательная  функция,  то  уравнение    называется  уравнением  показательного  роста.  Рассмотренные  в  настоящем  пункте  процессы  (и  аналогичные  им)  называются  процессами  показательного  роста.

Процессы  выравнивания.  Наряду  с  процессами  показательного  роста,  когда  скорость  изменения  величины  пропорциональна  значению  этой  величины,  встречаются  процессы,  в  которых  эта  скорость  пропорциональна  разности  между  значением  величины  н  некоторым  стандартным  значением  ,  причем  коэффициент  пропорциональности  отрицателен.  В  этом  случае  имеем:,  где  .  Полученное  равенство  можно  записать  в  виде:  (3)

Чтобы  найти  из  этого  уравнения,  введем  новую  искомую  функцию  .  Так  как  ,  то  уравнение  (3)  можно  переписать  в  виде  .  Решение  последнего  уравнения  имеет  вид:.  Поскольку  ,  ,  то  получаем,  что  .  Здесь  —  начальное  значение  искомой  величины  .

Если  ,  то  функция    стремится  к  нулю.  Поэтому  с  течением  времени  значение    приближается  к  числу  .  Процессы  описанного  вида  называются  процессами  выравнивания.

Пример  3.  При  определённых  условиях  можно  принять,  что  скорость  изменения  температуры  нагретого  тела  пропорциональна  разности  между  температурой  тела  и  температурой  окружающей  среды  и  имеет  знак,  противоположный  знаку  этой  разности.  Найдем  зависимость  температуры    остывающего  тела  от  времени  .

Решение.  Из  условия  задачи  следует,  что

,

где:  —температура  тела  в  момент  времени  t,

—температура  окружающей  среды.  Это  уравнение  процесса  выравнивания  (аа.  уравнение  (3)).  Воспользовавшись  формулой  (4),  получим:

,

где—  начальная  температура  тела  (точнее  говоря,  в  задаче  речь  идет  не  о  температуре  тела,  а  о  температуре  его  поверхности).

С  течением  времени  температура  тела  приближается  к  температуре  окружающей  среды  ,  причём  этот  процесс  выравнивания  идет  тем  быстрее,  чем  больше  значение  коэффициента  k.

Пример  4.  Скорость,  с  которой  протекает  разложение  сахарозы  на  фруктозу  и  глюкозу,  пропорциональна  молярной  концентрации  раствора  сахарозы  (моль/л).  Найдем  зависимость  количества  молей  сахарозы  от  времени. 

Решение.  Обозначим  через  а  начальную  концентрацию  раствора  и  через  у  количество  молей  сахарозы,  прореагировавших  в  I  л  раствора  к  моменту  времени  I.  Тогда  концентрация  раствора  равна  (а—у).  Из  него  следует,  что  .  Это  уравнение  процесса  выравнивания,  значит  (см.  равенство  (4),  находим,  что  .

В  начальный  момент  времени  при    имеем  .  Значит,  и  полученное  решение  уравнения  мы  можем  переписать  в  виде:  .  Отсюда  видно,  что  количество  прореагировавшего  вещества  с  течением  времени  стремится  к  .

Список  литературы:

1.Избранные  вопросы  математики:  10  кл.  Факультативный  курс  /  сост.  С.И.  Шварцбурд  М.:  Просвещение,  1980.

2.Избранные  вопросы  математики:  10  класс.  Факультативный  курс/  А.М.  Абрамов,  Н.Я.  Виленкин  и  др.  М.:  Просвещение,  1980.  —  191  с.