"За статью проголосовало 0 человек"

АППРОКСИМАЦИЯ  КРАЕВЫХ  ЗАДАЧ  ДЛЯ  ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО  ОПЕРАТОРА  МЕТОДОМ  КОНЕЧНЫХ  ЭЛЕМЕНТОВ

Хабибулина  Татьяна  Васильевна

студент  5  курса,  кафедра  информатики  и  вычислительной  техники

ПГУ  им.  Шолом-Алейхема,  РФ,  Еврейская  автономная  область,  г.  Биробиджан

E-mail:  Habik_tania@mail.ru

Бабинер  Елена  Станиславовна

научный  руководитель,  старший  преподаватель  кафедры  высшей  математики  и  методики  обучения  математике  ПГУ  им.  Шолом-Алейхема,  Еврейская  автономная  область,  г.  Биробиджан

Пусть  ограниченная  область  с  кусочно-гладкой  границей  .  Введем  обозначения:    и    —  пространства  Соболева,    множество  всех  финитных  в    функций  из  . 

Задача  Дирихле.  Рассмотрим  первую  краевую  задачу:

,                                               (1)

.                                                         (2)

Слабое  решение  задачи  (1),  (2)  реализует  минимум  функционала    на    [6,  с.  300],  где

.

Задача  Неймана.  Уравнение  (1)  и  краевые  условия:

.                                             (3)

Условия  (3)  относятся  к  естественными  краевыми  условиями  [4,  10].  Задача  Неймана  с  однородными  краевыми  условиями  (3)  порождает  не  положительный  оператор,  поэтому  имеет  единственное  решение  при  .  Слабое  решение  задачи  (1),  (3)  реализует  минимум  функционала    на    [5,  с.  320].

Задача  Синьорини.  Уравнение  (1)  и  краевые  условия  Синьорини  [1,  7]:

,  ,         на  ,                              (4)

где    производная  по  внешней  нормали  к  границе  .  Определим  множество  ,  которое  является  замкнутым  выпуклым  подмножеством    [2,  15]:

.                                           (5)

Слабое  решение  задачи  (1),  (4)  реализует  минимум  функционала    на    [6,  20].

Рассмотрим  аппроксимацию  этих  задач  на  трапециевидной  области  с  углом    методом  конечных  элементов  (МКЭ).  Триангуляция  области  с  шагами  ,  ,    (  количество  разбиений  по  ,    количество  разбиений  по  ),  виды  конечных  элементов  с  нумерацией  носителей  для  прямоугольной  (прямые  цифры),  треугольной  (наклонные  цифры)  частей  и  их  границы  соединения  представлены  на  рисунке  1.

Приближенное  решение    ищем  в  виде  линейной  комбинации:

,                                                 (6)

где:    кусочно-линейные  финитные  (базисные)  функции,  заданные  в  узлах  сетки.

Рисунок  1.  Триангуляция  области 

Вид  базисных  функций  для  прямоугольной  области  [4,  с.  184]: 

для  треугольной  части  области:

Для  границы  соединения  прямоугольной  и  треугольной  частей  области  вид  базисных  функций    определяется  следующим  образом:  для  носителей  1,  2  и  3  аналитическое  задание  совпадает  с  заданием  на  соответствующих  носителях  в  ,  а  для  носителей  4,  5  и  6  —  в  . 

Подставляем  линейную  комбинацию  (6)  в  функционал  ,  предварительно  введя  обозначения  ,  получаем:

                                 (9)

Матрица  называется  матрицей  жесткости.  Чтобы  показать  ее  вид,  ограничимся  для  примера  18  узлами  в  сетке,  то  есть  для    (прочерк  в  ячейке  матрицы  означает  отсутствие  узла  в  сетке  с  таким  номером)  (рис.  2).

Рисунок  2.  Матрица  жесткости

Элементы  представленной  матрицы  жесткости  рассчитываются  по  следующим  формулам:

При  численном  решении  задач  Дирихле  и  Неймана  в  соответствии  с  необходимым  и  достаточным  условием  существования  экстремума  выпуклого  функционала,  находим  вариацию  функционала  (9)  и  приравниваем  ее  к  нулю:

                                 (10)

Таким  образом,  получаем  систему  уравнений:

                                                 (11)

Система  (11)  в  развернутом  виде:

Для  задачи  Дирихле  система  (11)  имеет  вид:

                                                (12)

Развернутый  вид  системы  (12):

При  решении  систем  применяется  метод  Зейделя.

Для  отыскания  минимума  квадратичного  функционала    в  задаче  Синьорини  применяется  обобщение  метода  верхней  релаксации  [2,  с.  82]  с  оператором  проектирования  ,  где

.

Зная  ,  уточнение  приближения    проводится  по  следующей  схеме:

·     для  внутренних  узлов

·     для  граничных  узлов

где    —  параметр  релаксации,  подходящий  выбор  которого  ускоряет  сходимость  последовательности    к  точке  минимума  функционала.

Результаты  реализации  описанных  алгоритмов  на  трапециевидной  области  с  углом    представлены  в  таблице  1,  где    —  количество  итераций,    —  заданная  точность.

Таблица  1. 

Результаты  численного  решения

Рисунок  3.  График  решения  задачи  Дирихле

Рисунок  4.  График  решения  задачи  Неймана

Рисунок  5.  График  решения  задачи  Синьорини

Список  литературы:

1.Главачек  И.,  Гаслингер  Я.,  Нечас  И.,  Ловишек  Я.  Решение  вариационных  неравенств  в  механике.  М.:  Мир,  1986.  —  270  с.

2.Гловински  Р.,  Лионс  Ж.-Л.,  Тремольер  Р.  Численное  исследование  вариационных  неравенств.  М.:  Мир,  1979.  —  576  с

3.Дюво  Г.,  Лионс  Ж.-Л.  Неравенства  в  механике  и  физике.  М.:  Наука,  1980.  —  384  с.

4.Марчук  Г.И.,  Агошков  В.И.  Введение  в  проекционно-сеточные  методы.  М.:  Наука.  Главная  редакция  физико-математической  литературы,  1981.  —  416  с.

5.Михлин  С.Г.  Линейные  уравнения  в  частных  производных.  Учеб.  пособие  для  вузов.  М.,  «Высш.  школа»,  1977.  —  431  с.

6.Намм  Р.В.  Введение  в  теорию  и  методы  решения  вариационных  неравенств:  Учебное  пособие  Хабаровск:  Изд-во  Хабар.  гос.  тех.  ун-та,  1999.  —  71  с.