ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК ОДНО ИЗ СРЕДСТВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В курсе математики 5-9 классов мы постоянно сталкивались с уравнениями относительно неизвестной переменной x. В основе решения многих практико-ориентированных сюжетных текстовых задач лежат уравнения различных видов: линейные, квадратные, дробно-рациональные и другие.

При изучении в 10-11 классах понятия производной функции появляется новый вид уравнений, содержащих функцию и ее производную. Так, например, задача о нахождении пути  по заданной скорости  сводится к решению уравнения . Уравнения, содержащие функцию и ее производную, называются дифференциальными уравнениями первого порядка [1, с. 267].

Решение многих физических, биологических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения вида

,                                                                                    (1)

где k – заданное число.

Решениями этого уравнения являются функции , где C – постоянная, определяемая дополнительными условиями задачи [1, с. 270]. Изменяя эти условия, мы будем получать различные значения параметра C.

Далее рассмотрим примеры задач, которые сводятся к решению уравнения вида (1).

1. Задача о размножении бактерий.

Пусть  – масса всех бактерий в момент размножения t, тогда  – скорость их размножения. Экспериментально доказано, что при благоприятных условиях скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, следовательно, можно составить уравнение

,                                                                             (2)

где k – положительное число, коэффициент пропорциональности, зависящий от вида бактерий и внешних условий.

Уравнение (2) является дифференциальным уравнением, описывающим закон размножения бактерий. Его решениями являются функции, представимые в виде:

.                                                                            (3)

Постоянную C можно найти, например, из условия, что в момент времени t = 0 масса бактерий была равна . Подставим эти значения в равенство (3), в результате, получим

 или

Значит,  – искомое решение уравнения (2), удовлетворяющее условию .

Таким образом, при благоприятных условиях увеличение бактерий с течением времени происходит по экспоненциальному закону.

Отметим, что равенство (3) содержит только одну неизвестную компоненту C, для нахождения которой потребовалось ровно одно дополнительное условие.

2. Задача о радиоактивном распаде.

Пусть  – количество ядер в образце в момент времени t, тогда  – скорость радиоактивного распада. Экспериментально показано, что скорость распада ядер радиоактивного вещества пропорциональна количеству ядер в образце, следовательно, имеем

,                                                                            (4)

где k – постоянная, зависящая от радиоактивности вещества. Знак «-» указывает на уменьшение  с увеличением времени t.

Решениями дифференциального уравнения (4) являются функции

.                                                                             (5)

Постоянную C можно найти, если нам известно количество ядер радиоактивного элемента  в момент времени t = 0. Подставляя эти значения в (5), получаем

, откуда .

Заключаем, что решением уравнения (5), удовлетворяющее условию , является функция, заданная формулой:

.                                                                           (6)

Скорость распада ядер радиоактивного вещества также характеризуется периодом полураспада, то есть промежутком времени T, в течение которого распадается половина ядер в образце. При t = T равенство (6) принимает вид:

.

Так как за промежуток времени T распадется половина ядер в образце, то, очевидно, что через время полураспада T оно станет равным: 

откуда находим, что  .

Логарифмируя последнее равенство, нетрудно найти коэффициент k:

Подставим найденное значение k в равенство (6) и преобразуем полученное выражение:

Таким образом, мы получили формулу радиоактивного распада, с которой сталкиваются абитуриенты, в том числе при решении заданий Единого государственного экзамена по математике [2]. Приведем пример такого задания: «В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону , где   – начальная масса изотопа, t – время, прошедшее от начального момента, T – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг».

Отметим, что с помощью уравнения (1) также описываются процессы изменения температуры тела в зависимости от времени, изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря, движения лодки с учетом сопротивления воды, разрушения клеток в звуковом поле и многие другие.

Список литературы:

1. Баврин, И.И. Математический анализ для педагогических вузов 2-е изд., испр. и доп. учебник и практикум для прикладного бакалавриата / И.И. Баврин. – Люберцы: Юрайт, 2016. – 327 c.
2. Показательные уравнения и неравенства / Сдам ГИА. Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика профильного уровня [Электронный ресурс]. – URL: https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=73. – Дата обращения: 20.05.2020.