ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЕКЦИОННОГО ОДНОТОЧЕЧНОГО РЕКУРРЕНТНОГО АЛГОРИТМА ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ С ПОМОЩЬЮ SCILAB

Одним из основных направлений развития современной теории адаптивного управления различного рода производственными и технологическими объектами является ее направление, связанное с созданием и исследованием класса адаптивных систем управления с подстраиваемыми математическими моделями управляемых объектов.

Важнейшими элементами систем данного класса, являются алгоритмы подстройки (идентификации) математических моделей управляемых объектов по мере поступления в систему измеренных значений входных и выходных переменных.

Включение подобных алгоритмов в систему управления позволяет оперативно отслеживать изменения зависимостей между переменными управляемых объектов и тем самым обеспечивает адекватность описания данных зависимостей подстраиваемыми математическими моделями.

При разработке автоматизированных систем управления технологическими процессами довольно часто зависимость значений выхода объекта от значений его входов может быть адекватно описана следующим уравнением (математической моделью):

                                                                 (1)

где:   – оценка значения выхода объекта в момент времени ;

– вектор значений на входе модели;

– вектор оценки параметров на -ом такте.

Наиболее популярным рекуррентным алгоритмом оценивания параметров модели объекта является одноточечный оптимальный алгоритм, основанный на использовании проекционного рекуррентного алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений, предложенного Качмажем. Аналитически данный алгоритм представляется следующей рекуррентной формулой:

,     t = 1,2,3…n                             (2)

где:   – n-мерный вектор оценок параметров объекта, вычисленный на предшествующем (t-1)-м такте оценивания;

 – n-мерный вектор оценок, вычисляемых на текущем t-м такте оценивания;

– n-мерный вектор измеренных значений входных воздействий в момент времени t;

 – n-мерный вектор значений на выходе объекта в момент времени t [1].

Алгоритм обладает следующими достоинствами:

• прост в вычислительном отношении;
• является малоинерционным;
• является рекуррентным;
• последовательность оценок, вычисленных с его помощью, является монотонно по Евклидовой норме, сходящейся к истинным значениям оцениваемых параметров.

Реализация алгоритма выполнена с помощью пакета Scilab. Для исследования алгоритма сгенерирован массив входных данных в соответствии с равномерным законом распределения. Для используемой модели (1) заданы «эталонные» параметры. На вход модели подан массив сгенерированных значений. На их основе получен массив выходных данных.

Имея данные снятые с выхода объекта управления, полученные на основе заранее известных параметров модели, проведем обратную процедуру, т.е. оценку параметров согласно (2).

Ниже приведены графики зависимости скорости сходимости векторов оценок от количества итераций алгоритма.

Рисунок 1. Графики скорости сходимости вектора оценок (а) и векторов каждой из оценок параметров (б) от количества итераций алгоритма

Ниже приведены графики, полученные при исследовании сходимости Евклидовой нормы вектора оценок при разных значениях заданной точности вычисления оценок.

Рисунок 2. Графики скоростей сходимости вектора оценок (а) и векторов каждой из оценок параметров (б) от количества итераций алгоритма при заданной точности 95 %

Рисунок 3. Графики скоростей сходимости вектора оценок (а) и векторов каждой из оценок параметров (б) от количества итераций алгоритма при заданной точности 99 %

Рисунок 4. Графики скоростей сходимости вектора оценок (а) и векторов каждой из оценок параметров (б) от количества итераций алгоритма при заданной точности 99,9 %

Далее исследуем алгоритм на сходимость в случае, если изменения на входе отсутствуют в течении n (в приведенном примере n = 14; ) итераций.

Рисунок 5. Графики скоростей сходимости вектора оценок (а) и векторов каждой из оценок параметров (б) от количества итераций алгоритма при отсутствии изменений на входе модели

Исследуем алгоритм на сходимость при наличии «шума», наложенного на выход модели.

Рисунок 6. Графики скоростей сходимости вектора оценок (а) и векторов каждой из оценок параметров (б) от количества итераций алгоритма при зашумленности выходного сигнала модели в 2 %

Рисунок 7. Графики скоростей сходимости вектора оценок (а) и векторов каждой из оценок параметров (б) от количества итераций алгоритма при зашумленности выходного сигнала модели в 10 %

В результате анализа полученных графиков можно сформулировать следующие особенности использования алгоритма:

• для получения большей точности необходимо увеличивать число итераций алгоритма (рисунки 2-4);
• при отсутствии изменений входных значений алгоритм перестает сходится (рисунок 5);
• чем больше соотношение «шум-сигнал» на выходе модели, тем больше итераций требуется для сходимости алгоритма (рисунки 6-7).

Список литературы:

1. Карелин А. Е. Синтез, исследование и применение рекуррентных алгоритмов оценивания параметров математических моделей объектов в автоматизированных системах управления: дис. … канд. техн. наук. – Т., 2007. – С. 39 – 42.