ИСПОЛЬЗОВАНИЕ «МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ» ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

При решении стереометрических задач, где ключевым моментом является построение правильного чертежа, ученику необходимо иметь знания в области планиметрии и стереометрии. В рамках данной статьи рассмотрим решение задач «методом проекций» на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Для решения стереометрических задач ученик должен иметь теоретическую базу, с которой может ознакомиться в учебниках по геометрии 10-11 классов [1; 2].

Вспомним по данной теме определение и теорему.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Перечислим основные этапы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми «методом проекций»:

1. Выбираем плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых.

2. Проектируем ортогонально каждую прямую на эту плоскость.

3. Расстояние между проекциями будет расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Решим стереометрическую задачу данным методом.

Задача. В правильной шестиугольной призме  c высотой h и стороной основания a найти: а) расстояние между прямыми ; б) расстояние между прямыми .

Решение.

а) (рис. 1). Прямая  перпендикулярна прямым  и , поэтому прямая  перпендикулярна плоскости .

Рисунок 1. Чертеж для решения задачи под пунктом а)

Рассмотрим ортогональную проекцию на плоскость . При которой, прямая  переходит в точку , а прямая  останется без изменения. Следовательно, расстояние между прямыми  равно расстоянию от точки  до прямой  (рис. 2).

Рисунок 2. Плоскость проектирования для задачи под пунктом а)

Из точки  на прямую  опустим перпендикуляр . Длина отрезка  является искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми . Зная длины катетов  ,  прямоугольного треугольника   найдем длину гипотенузы.

Далее найдем высоту  прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла треугольника.

Итак, пункт а) имеет ответ:

Перейдем к решению пункта б) задачи.

Решение.

б) (рис. 3). Прямая  перпендикулярна прямым  и , поэтому прямая  перпендикулярна плоскости . Рассмотрим ортогональную проекцию на плоскость . При которой, прямая  переходит в точку , а прямая  перейдет в прямую

Рисунок 3. Чертеж для решения задачи под пунктом б)

Следовательно, расстояние между прямыми  равно расстоянию от точки  до прямой  (рис. 4).

Рисунок 4. Плоскость проектирования для задачи под пунктом б)

Из точки  на прямую  опустим перпендикуляр . Длина отрезка  является искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми .

В правильном шестиугольнике  малую диагональ найдем из равнобедренного треугольника  по теореме косинусов:

.

Зная длины катетов  ,  прямоугольного треугольника   найдем длину гипотенузы.

Далее найдем высоту  прямоугольного треугольника, проведенную из вершины прямого угла треугольника.

Список литературы:

1. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. В. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни / А. В. Погорелов. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 175 с.
3. Ганеева А.Р. Задачи С2 и С4 единого государственного экзамена по математике. Учебное пособие. – Елабуга: Изд-во Елабужского института КФУ, 2013. – 100 с.