МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

С каждым годом интерес учащихся падает к одной из важнейших областей геометрии – стереометрии. Многие учащиеся отказываются учить теоремы и признаки, заменяют предметы математического цикла гуманитарными. В школах редко говорят об областях применения теорем, признаков и лемм, не приводят примеров из жизни, поэтому у учащихся часто возникают вопросы: «А для чего это нам нужно знать?» и «Где это в дальнейшем пригодится?». Нужно убедить учащихся, что предмет очень важен и его присутствие сложно не заметить. Создание шедевров архитектуры, произведений искусства, производство и конструирование сложных приборов и изобретений, научная деятельность – во всем этом присутствует стереометрия.

Для успешной сдачи единого государственного экзамена, необходимо иметь образное и логическое мышление. Задачи, представленные в школьном курсе, часто рассчитаны на узкий круг тем – нахождение объемов, площадей, применение некоторых распространенных теорем. Среди большого количества задач в учебных пособиях редко встречаются задания на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Понятие скрещивающихся прямых сложно воспринять в теоретическом плане, поэтому необходимо закреплять примерами из жизни и решить пару типичных задач (плинтус на потолке и плинтус на полу, различные подставки, мосты и т.д.). Существуют различные методы нахождения этого расстояния, что позволяет решить задание и проверить правильность своих рассуждений. Это и обусловило актуальность стереометрических задач на нахождение расстояний между скрещивающимися прямыми. В данной работе мы рассмотрим различные методы на нахождение расстояний между такими прямыми. Вначале вспомним основные определения и теоремы о скрещивающихся прямых.

Определение 1. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости [1, с. 15].

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой.

Теорема 1. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся [1, c. 15].

При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми часто возникают сложности, появление которых, скорее всего, обусловлены тем, что скрещивающиеся прямые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости. Рассмотрим первый способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми, построенный на основе следующего определения.

Определение 2. Расстоянием междускрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра [2, c. 15].

Задача 1. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна , а стороны оснований равны  и . Найдите расстояние прямыми и .

Вспомним, что усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Рисунок 1. Правильная четырехугольная усеченная пирамида

Решение. Проведем плоскость , прямаялежит в плоскости  (рис. 1). Прямаяперпендикулярна прямой  (так как прямые являются диагоналями квадрата). Также прямаяперпендикулярна прямой , которая является высотой усеченной пирамиды. Из выше сказанного получаем, что прямаяперпендикулярна плоскости  (прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости). Следовательно, прямая  перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости.лежит в плоскости , поэтому прямыеи  перпендикулярны. Проведем прямую перпендикулярно . лежит в плоскости , поэтому прямыеи  перпендикулярны.- искомое расстояние. Вычислим длину отрезка  . Рассмотрим трапецию  (рис. 2).

Рисунок 2. Сечение усеченной пирамиды

Прямаяравна прямой и равна. Найдем прямые и по теореме Пифагора:

;

Прямую найдем из соотношения, учитывая что:

;

Рассмотрим  и  , они подобны по двум углам, запишем соотношение сторон:

Искомое расстояние найдется из:

Ответ: расстояние между прямымии  равно

Встречаются задачи такие, что общий перпендикуляр сложно построить и непонятно как он пройдет, поэтому важно знать другие методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. Рассмотрим «метод проекций».

Определение 3. Расстоянием междускрещивающимися прямыми называется расстояние между их проекциями на плоскость, которая перпендикулярна одной из этих прямых [2, c. 16].

Алгоритм метода проекций:

1. Выбираем плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых.

2. Проектируем каждую прямую на эту плоскость.

3. Расстояние между проекциями будет расстояние между скрещивающимися прямыми.

Задача 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми и.

Рисунок 3. Правильная шестиугольная призма

Решение. Проведем плоскость, прямая лежит в плоскости. Прямая  перпендикулярна прямой  (так как прямые являются диагоналями квадрата). Прямая. Поэтому прямая  перпендикулярна любой прямой лежащей в плоскости

Так как расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между их проекциями на плоскость, которая перпендикулярна одной из этих прямых. Рассмотрим ортогональное проектирование на плоскость. При этом прямая  перейдет в точку , а прямая останется без изменения, так лежит в плоскости проектирования. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми и будет равно расстоянию от точки до прямой . Опустим из точки на прямую  перпендикуляр . Вычислим искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник, он равнобедренный, угол ,

Рисунок 4. Прямоугольный треугольник в сечении призмы

Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 4).

Найдем высоту прямоугольного треугольника

В данной статье мы рассмотрели два метода решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. В первой задаче находиться длина общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, т.е. отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного каждой из этих прямых, а во второй задаче находиться расстояние от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых, на перпендикулярную ей плоскость до проекции другой прямой на ту же плоскость. Каждый из рассмотренных способов позволяет решить самую главную часть задачи – построение отрезка, перпендикулярного обеим скрещивающимся прямым, между которыми нужно найти расстояние.

Встречаются такие задачи, что данный отрезок сложно построить и поэтому нужно уметь решать и другим методом, например векторным, так как в данном методе этот отрезок строится схематично. Таким образом, важно знать разные методы и уметь выбирать подходящий для конкретной задачи.

Список литературы:

1. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. В. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. Ганеева А.Р. Задачи С2 и С4 единого государственного экзамена по математике. Учебное пособие. - Елабуга: Изд-во Елабужского института КФУ, 2013. – 49 с.
3. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни / А. В. Погорелов. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 175 с.