РЕШЕНИЕ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ КООРДИНАТНЫМ МЕТОДОМ

Стереометрическая задача профильного уровня единого государственного экзамена по математике является задачей из раздела стереометрии. При решении подобных задач нужно обладать хорошими и основательными знания по геометрии. В данной работе рассмотрен координатный метод решения стереометрических задач на нахождение расстояния от точки до плоскости. Применение метода координат избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Геометрия профильного уровня единого государственного экзамена по математике – одна из сложных тем для школьников. Если при решении задач по алгебре и началам анализа существуют шаблоны и алгоритмы решений, то в геометрии такого нет. В стереометрии используются различные методы решения задач. Метод, рассмотренный в данной статье – это метод координат или координатный метод. Данный метод является базовым методом для решения многих геометрических задач.

Суть данного метода состоит в следующем: если мы зададим фигуры уравнениями и выразим в координатах различные геометрические соотношения, то сможем решить геометрическую задачу посредством алгебры. Используя данный метод, мы можем не прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений. Решение задач во многом алгоритмизировано. Это весьма эффективный и универсальный способ для нахождения расстояния от точки до плоскости в пространстве. Поэтому его можно успешно применять при решении стереометрических задач единого государственного экзамена.

В элементарной геометрии учащимся приходится искать особый путь решения для каждой задачи, а в методе координат задачи решаются по определенному алгоритму, который легко приспосабливается к любой задаче.

Определение. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Данное определение требует построения перпендикуляра, но встречаются задачи, в которых сложно построить перпендикуляр в пространственном исполнении чертежа. Поэтому важно знать другие методы решения таких задач, например, «метод координат».

Для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости нам необходимо найти координаты точки, и координаты нормали данной плоскости. После чего воспользоваться следующей формулой:

где  а плоскость  задана уравнение .

Алгоритм решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости:

1. На рисунке изображаем указанные в задаче условия, строим сечение.

2. Вписываем фигуру в систему координат.

3. Находим координаты трех точек плоскости и данной точки.

4. Составляем уравнение плоскости.

5. Находим координаты вектора нормали плоскости.

6. Подставляем в формулу «расстояние от точки до плоскости»

Для того, чтобы убедиться в выше сказанных суждениях рассмотрим стереометрическую задачу из второй части единого государственного экзамена по математике на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Задача. В правильной треугольной призме  сторона основания  равна 6, а боковое ребро  равно 3. На ребре  отмечена точка  так, что  Точки  и  – середины ребер  и  соответственно. Плоскость  параллельна прямой  и содержит точки  и . Найдите расстояние от точки до плоскости

Решение.

1. Построим сечение призмы плоскости  Проведем  Проведем , проведем  Проведем Трапеция  искомое сечение (рис.1). Сечение параллельно  по признаку параллельности прямой и плоскости.

2. Введем пространственную систему координат с началом координат в точке

Рисунок 1. Треугольная призма

3. Для геометрического способа необходимы следующие координаты точек.

4. Заметим, что плоскость сечения перпендикулярна

Отсюда следует . Найдем уравнение плоскости

5. Найдем свободный член  в уравнении плоскости, подставив координаты  точки

6. Используя формулу для нахождения расстояния между точкой и плоскостью, рассчитаем для полученных данных:

Ответ: 0,75

В данной статье мы рассмотрели координатный метод решения стереометрической задачи и убедились, что данный метод позволяет алгоритмизировать процесс решения задачи. Метод координат и традиционный метод являются друг для друга альтернативными и дают возможность проверить полученные результаты двумя способами.

Список литературы:

1. Атанасян Л.С. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. -М. Просвещение, 2009. – 225 с.
2. Ганеева А.Р. Задачи С2 и С4 единого государственного экзамена по математике. Учебное пособие. – Елабуга: Изд-во Елабужского института КФУ, 2013. – 100 с.
3. Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Геометрия в таблицах. -М.: Просвещение, 2014. – 127 с.