ОБ  ОДНОЙ  ФУНКЦИИ  КАРЛЕМАНА  ДЛЯ  РАСТУЩИХ  ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ  ФУНКЦИЙ

Жураева  Умидахон  Юнусалиевна

студент  3-курса  механико-математического  факултета,  СамГУ,  г.  Самарканд

E-mail:  umida_9202@mail.ru

Ашурова  Зебинисо  Рахимовна 

научный  руководитель,  канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  СамГУ,  г.  Самарканд

Пусть  R^m  —  m  —  мерное  четное  вещественное  евклидово  пространство,   D  —  неограниченная  область  лежащая  в  слое   с  границей      имеет  ограниченные  частные  производные  первого  порядка.

Задача  Коши. 

Пусть: 

где:  F_i(y), G_i(y) заданные  на    непрерывные  функции,    —  внешняя  нормаль  к .Требуется  восстановить  u(y)  в  D.

При  произвольных  начальных  данных  задача  неразрешима.  Если  часть  границы  и  начальные  данные  аналитичны  и  аналитически  продолжим  во  внутрь  области,  то  продолжение  существует  и  единственно,  но  не  устойчиво.  По  этому  оно  относиться  к  числу  некорректно  поставленных  задач.  Первый  результат  в  этом  направление  в  1926  году  получил  Карлеман,  для  класса  ограниченных  функций.  Еще  в  1943  году  Тихонов  указал  на  практическую  важность  неустойчивых  задач  и  показал,  что  если  сузить  класс  возможных  решений  до  компакта,  то  задача  становится  устойчивой  [3,  с.  243],  [4,  с.  514—673].

Карлеманом  было  предложено  идея  введения  в  интегральную  формулу  Коши  дополнительной  функции,  зависящей  от  положительного  параметра  и  позволяющей  путем  предельного  перехода,  погасит  влияние  интегралов  по  части  границы,  где  значение  продолжаемой  функции  не  заданы.

Основываясь  на  исследованиях,  М.М.  Лаврентьев  ввел  важное  понятие  функцию  Карлемана  и  с  ее  помощью  построил  регуляризацию  задачи.  С  помощью  метода  М.М.  Лаврентьева  Ш.  Ярмухамедов  получил  регуляризацию  и  разрешимость  задачи  Коши  для  уравнения  Лапласа  в  ограниченных  областях  [5,  с.  162—164].  В  Н.Ю.  Жураева  2009  получила  регуляризацию  и  разрешимость  задачи  Коши  для  полигармонических  уравнений  порядка  n  в  некоторых  неограниченных  областях  (при  произвольных  нечетных  m  и  четных  m когда 2n<m)  [1,  с.  18—20],  [2,  с.  65—67],  [6,  с.  44—49].  В  этой  работе  построена  функция  Карлемана  для  данной  области  D. 

Определение  1.  Функция  ,  зависящая  от  параметра    определенная  ,  называется  функцией  Карлемана  для  точки    и  части  ,  если  она  удовлетворяет  следующим  условиям:

1.  Функция,    представима  в  виде:

 где: 

и    регулярная  по  переменному  y  и  непрерывно  дифференцируема  на  ,  решения  полигармонического  уравнения.

2.  При  фиксированном    функция    удовлетворяет

где:  постоянная C(X) зависит  от  x  и  внешняя  нормаль  к,  когда    . 

Будем  предполагать,  что  решение  u(y)  задачи  (1)—(2)  существует  и  непрерывно  дифференцируемо,  2n-1  раз  вплоть  до  конечных  точек  границы  и  удовлетворяет  определенному  условию  роста  (класс  корректности),  который  обеспечивает  единственность  решения.

Функции    ,   с  условием  ,  определим: 

Теорема  1.  Для  функции    имеет  место: 

  регулярная  по  переменному y и  непрерывно  дифференцируема  на  .

Доказательство.  Обозначая

и    имея  виду  свойств  гиперболических  функций,  получим: 

тогда  имеет ^J₁ следующий  вид:

Если 

и

тогда:

Отсюда  следует  утверждение  теоремы.

Лемма  1.  Если    гармоническая  функция  в  R^m  по  переменной y  включая  и  точку  X,  то  справедливо  равенство:

функция  тоже  является  гармонической  функцией  в  R^m  по  переменному  y  включая  и  точку  X.

Следствие  1.  При  условиях  леммы  1  справедливы  равенства и гармоническая  функция  в R^m   по  переменной  y.

Теорема  2.  Функция  ,  определяемая  при  помощи  формулы  (3)  является  полигармонической  функцией  порядка  n  по  y  при  s  >  0.

Теорема  3.  При  фиксированном    функция    удовлетворяет:

где:  постоянная  C(X) зависит  от  x  и  -внешняя  нормаль .  

Следствие  2.  Функция  ,  определяемая  при  помощи  формулы  (3)  является  функцией  Карлемана  для  точки    и  части  .

Теорема  4.  Пусть  функция  u(x)  решение  задачи  (1)-(2),  имеющий  непрерывные  частные  производные  порядка  2n-1  вплоть  до  конечных  точек  границы  .  Если  для  любого    выполнено  условия  роста 

и  для  любого    выполнено  условие  роста 

Тогда  для  любого    справедливо  интегральное  представление

Список  литературы:

1.Жураева  Н.Ю.  Об  интегральном  представлении  полигармонических  функций.  Ташкент.  ДАН  РУз  №  3,  2008  г.  с.  18—20.

2.Жураева  Н.Ю.  Задача  Коши  для  растущих  полигармонических  функций.  Международная  конференция  «Обратные  и  некорректные  задачи  математической  физики»  посвященная  75-летию  академика  М.М.  Лаврентьева.  Новосибирск.  2007.  с.  65—67.

3.Лаврентьев  М.М.  О  некоторых  некорректных  задачах  математической  физики.  Новосибирск,  1962,  с.  243.

4.Соболев  С.Л.  Введение  в  теорию  кубатурных  формул.  М.  Наука  1974.c.  514—673.

5.Ярмухамедов  Ш.  Задача  Коши  для  полигармонического  уравнения.  Доклады  РАН  2003  том  388  с.  162—165.

6.Juraeva  N.Yu.  Об  интегральном  представлении  полигармонических  функций.  «The  second  International  Conference  on  Control  and  Optimization  with  Industrial  Applications»  Baku,  Azerbaijan,  2—4  June,  2008.  с.  44—49.