Русакова  Анастасия  Андреевна

студент  2  курса,  кафедра  «Математика»  ВПИ  (филиал)  ВолгГТУ,  г.  Волжский

Солодкова  Марина  Владимировна

студент  2  курса,  кафедра  «Математика»  ВПИ  (филиал)  ВолгГТУ,  г.  Волжский

Тимошенко  Марина  Андреевна

студент  2  курса,  кафедра  «Математика»  ВПИ  (филиал)  ВолгГТУ,  г.  Волжский

Агишева  Джамиля  Калимулловна

научный  руководитель,  ст.  преподаватель  кафедры  «Математика»  ВПИ  (филиал)  ВолгГТУ,  г.  Волжский

E-mail:  mathemat@volpi.ru

«Элементы  математической  статистики  включают  следующие  теоретические  вопросы:  генеральная  совокупность  и  выборка,  статистическое  распределение  выборки,  числовые  характеристики  выборки,  оценка  неизвестных  параметров,  распределения  функций  нормальных  случайных  величин,  доверительные  интервалы  параметров  нормального  распределения,  проверка  статистических  гипотез,  построение  теоретического  закона  распределения  случайной  величины  по  опытным  данным»  [1].

Пусть  в  результате  проведения  опыта  получена  выборочная  совокупность  (табл.  1).

Таблица  1.

Данная  выборочная  совокупность

Разобьём  всю  вариацию  объёмом  n=100  на  k=10  частичных  интервалов  равной  длины  и  посчитаем  частоты  попадания  наблюдаемых  значений  в  частичные  интервалы.

Длину  интервала  находим  по  формуле:

 .

«За  начало  первого  интервала  рекомендуется  брать  величину  »  [3,  с.  217].  Таким  образом,  находим:

.

Получим  последовательность  интервалов:  (1,55;  1,65],  (1,65;  1,75],  (1,75;  1,85],  (1,85;  1,95],  (1,95;  2,05],  (2,05;  2,15],  (2,15;  2,25],  (2,25;  2,35],  (2,35;  2,45],  (2,45;  2,55].

«Перечень  вариант  и  соответствующих  им  частот  называется  статистическим  распределением  выборки»  [1,  с.  72].  Составим  вариационный  ряд  частот  и  относительных  частот  (табл.  2).

Таблица  2.

Вариационный  ряд

Отметим,  что    —  объём  выборки; 

.

Статистическое  распределение  выборки  является  оценкой  неизвестного  распределения.  В  частности,  относительные  частоты    являются  статистическими  аналогами  вероятностей  полной  группы  несовместных  событий.

Вторым  этапом  обработки  статистических  данных  является  визуализация  данного  распределения.

1.  Полигон  относительных  частот  вариационного  ряда  —  ломаная  линия,  соединяющая  точки  .  График  полигона  представлен  на  рис.  1.

Полигон  относительных  частот  является  статистическим  аналогом  многоугольника  распределения  дискретной  случайной  величины  Х.

2.  Гистограмма  относительных  частот  изображается  только  для  интервального  ряда  и  имеет  вид  ступенчатой  фигуры  (рис.  2).  На  каждом  частичном  интервале  строим  прямоугольник  высотой  .

Гистограмма  относительных  частот  является  статистическим  аналогом  дифференциальной  функции  распределения  (плотности)    непрерывной  случайной  величины  Х.

Рисунок  1.  Полигон  относительных  частот

Рисунок  2.  Гистограмма  относительных  частот

3.  Построим  эмпирическую  функцию  распределения: 

.

График  этой  функции  для  непрерывной  случайной  величины  непрерывен,  значения  функции  совпадают  с  накопленными  частотами.

Эмпирическая  функция  распределения    является  статистическим  аналогом  интегральной  функции  распределения    случайной  величины  Х.

Рисунок  3.  Эмпирическая  функция  распределения 

Найдём  далее  числовые  характеристики  выборки. 

Выборочные  характеристики  —  это  функции  наблюдений,  приближённо  оценивающие  соответствующие  числовые  характеристики  случайной  величины.

Для  нахождения  выборочной  средней  ,  выборочной  дисперсии  ,  выборочного  среднего  квадратического  отклонения    (статистические  аналоги  соответствующих  числовых  характеристик  случайной  величины)  заполним  вспомогательную  таблицу  3.

Таблица  2.

Вариационный  ряд

Находим  выборочное  среднее:

выборочную  дисперсию:

 выборочное  среднее  квадратическое  отклонение:

исправленную  выборочную  дисперсию:

исправленное  выборочное  среднее  квадратическое  отклонение:

Точечной  оценкой  математического  ожидания  a  является  средняя  выборочная  ,  тогда  полагаем  ;  точечной  оценкой  генерального  среднего  квадратического  отклонения  a  является  исправленное  выборочное  среднее  квадратическое  отклонение,  т.  е.  .

«Статистической  называется  гипотеза  о  виде  неизвестного  распределения»  [2,  с.  88].  По  виду  полигона,  гистограммы  и  эмпирической  функции  распределения  можно  выдвинуть  гипотезу  о  нормальном  распределении  данной  вариации.

В  рассматриваемой  выборке  по  виду  графиков  полигона  (рис.  1),  гистограммы  (рис.  2)  и  эмпирической  функции  F*(x) (рис.  3)  выдвигаем  основную  (нулевую)  гипотезу  H₀:  «Генеральная  совокупность  распределена  по  нормальному  закону  с  параметрами  »  и  альтернативную  гипотезу  H₁:  «Генеральная  совокупность  не  распределена  по  нормальному  закону».

Проверим  соответствие  гипотезы  H₀  опытным  данным  по  критерию  согласия  x²  Пирсона.  Для  этого  необходимо  вычислить  теоретические  интервальные  вероятности  p_t  и  выравнивающие  частоты  .

Рассчитаем  значения  p_t  с  помощью  функции  Ф(x).

Для  дальнейших  расчётов  заполним  вспомогательную  таблицу  3.

Таблица  3.

Расчёт  значения 

Наблюдаемое  значение  критерия  согласия  Пирсона  .

Далее  находим  число  степеней  свободы  k=10-3=7  («число  групп  выборки  минус  один  —  это  число  степеней  свободы  распределения  x²  Пирсона,  и  минус  ещё  два,  так  как  нормальное  распределение  характеризуется  двумя  параметрами  —  математическим  ожиданием  и  дисперсией»  [2,  с.  91]).

По  таблице  критических  точек  распределения  x²,  по  уровню  значимости  a=0,05  и  числу  степеней  свободы  7  найдём  критическое  значение    [3,  с.  286].

Т.  к.  ,  то  нет  оснований  отвергнуть  проверяемую  нулевую  гипотезу.  Т.  е.  принимаем  предположение,  что  статистические  данные  распределены  по  нормальному  закону  с  параметрами  a=2,05  и  .

Т.  к.    неизвестно,  то  доверительный  интервал  для  генеральной  средней    имеет  вид:

,

где:  величина    определяется  по  формуле:  .

Табличное  значение    находим  по  уровню  надёжности    и .

Таким  образом,  получаем  доверительный  интервал  для  :

Это  означает,  что  в  99  %  случаев  истинное  значение  генеральной  средней    находится  в  промежутке  (-0,16;4,26).

Доверительный  интервал  для  генерального  среднего  квадратического  отклонения  определяется  следующим  образом:

.

Табличная  величина  .  Отсюда  получаем:

 Это  означает,  что  в  99  %  истинное  значение  генерального  среднего  квадратического  отклонения    находится  промежутке  (0,016;  0,024).

Список  литературы:

1.Агишева  Д.К.,  Зотова  С.А.,  Матвеева  Т.А.,  Светличная  В.Б.  Математическая  статистика  (учебное  пособие)  //  Успехи  современного  естествознания.  —  2010,  —  №  2  [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL:  www.rae.ru/use/?section=content&op=show_article&article_id=7784948  (дата  обращения  06.03.2013).

2.Красс  М.С.  Математика  в  экономике.  Математические  методы  и  модели:  учебник  /  М.С.  Красс,  Б.П.  Чупрынов.  —  М.:  Финансы  и  статистика,  2007.  —  544  с.:  ил.

3.Письменный  Д.Т.  Конспект  лекций  по  теории  вероятностей,  математической  статистике  и  случайным  процессам  /  Дмитрий  Письменный.  —  3-е  изд.  —  М.:  Айрис-пресс,  2008.  —  288  с.  —  (Высшее  образование).