О  НЕКОТОРЫХ  МЕТОДАХ  ЧИСЛЕННОГО  РЕШЕНИЯ  ОБЫКНОВЕННЫХ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  УРАВНЕНИЙ  ПЕРВОГО  ПОРЯДКА  С  ПОСЛЕДУЮЩЕЙ  РАЗРАБОТКОЙ  ПРОГРАММЫ  ДЛЯ  ПК

Прокопчук  Алексей  Николаевич

студент  4  курса  факультета  естественных  наук,  математики  и  технологий

Забайкальского  государственного  университета,  г.  Чита

E-mail:  alexei.prokopchuk@mail.ru

Беломестнова  Вера  Ревокатовна

научный  руководитель,  канд.  пед.  наук,  доцент  кафедры  фундаментальной  и  прикладной  математики,  теории  и  методики  обучения  математике  Забайкальского  государственного  университета,  г.  Чита

Пусть  требуется  решить  дифференциальное  уравнение  первого  порядка 

,  удовлетворяющее  начальному  условию    в  некотором  промежутке  .  Для  решения  уравнения  будем  пользоваться  одним  из  следующих  численных  методов.

Метод  Эйлера.

Назовем  величину  шагом  интегрирования.  Эта  величина  выбирается  малой.  Метод  Эйлера  состоит  в  том,  что  в  коротком  промежутке    функцию    приближенно  заменяют  постоянной  величиной  ,  которая  определена,  если  величина  выбрана,  а  уже  определена.  Тогда,  имеет  место  равенство: 

  (1)

позволяющее  последовательно  определять  величины    если  заданы    и  и  выбраны  узлы  [3,  c.  35].

Метод  Рунге-Кутта

Пусть    —  целое  положительное  число  и    —  положительные  числа.  Пусть  числа  (  и    удовлетворяют  условиям: 

Один  этап  метода  Рунге-Кутта  (переход  от  к  )  таков:

1.  Вычисляются  одно  за  другим  следующие  чисел:

2.  Вычисляется  сумма  произведений:

  (3)

3.  Вычисляется    по  формуле:

Числа    при  заданном    выбираются  так,  чтобы  разность:

(решение  исходного  уравнения,  удовлетворяющее  условию  ),  рассматриваемая  как  функция  переменного  была  бесконечно  малой  возможно  более  высокого  порядка  относительно    при  .[3,  c.36]

Приведем  наиболее  употребительную  систему  этих  чисел:

Такое  прием  будем  называть  соответствующим  приемом  Рунге-Кутта.  Приведем  порядок  вычислений  в  этом  случае:

1.  Вычисляется 

2.  Вычисляется    

3.  Вычисляется 

4.  Вычисляется 

5.  Вычисляется 

6.  Вычисляется 

Метод  Адамса.

Пусть  для  дифференциального  уравнения    с  начальным  условием    найдены  каким  –  либо  способом  три  последовательных  значения  искомой  функции  («начальный  отрезок»):

С  помощью  этих  значений  вычисляют  величины:

Записываем  значения    таблицу  1  и  вычисляем  конечные  разности  величины  (числа  над  ломаной  линей  таблицы  1)

Метод  Адамса  состоит  в  продолжении  этой  таблицы  разностей  с  помощью  формулы:

которая  называется  экстраполяционной  формулой  Адамса.  Она  применяется  для  «предсказания»  значения  .  Подсчитанное  по  этой  формуле  «предсказанное»  значение  мы  будем  обозначать  через  .  Полученное  по  формуле  (4)  значение    еще  нужно  уточнить.  Для  этого  нужно  написать  в  таблицу  значения  ,  дополнить  таблицу  разностей,  а  затем  сделать  перерасчет  по  формуле  «коррекции»:

  (5)

которая  называется  интерполяционной  формулой  Адамса.  Уточненное  с  помощью  формулы  (5)  значение  мы  будем  обозначать  через    [2,  c.  215].

Формулы  (4)  и  (5)  имеют  достаточно  большую  точность.  Они  дают  погрешность  порядка    

Таблица  1.

Порядок  вычислений  по  методу  Адамса

Метод  Милна

Пусть  для  дифференциального  уравнения    помимо  начального  условия    известен  «начальный  отрезок»  т.  е.  значение  искомой  функции    в  точках    (их  можно  найти  одним  из  методов,  изложенных  выше).  Последующие  значения    при  определяются  следующим  образом.  Для  предсказания  используется  первая  формула  Милна: 

  (6)

Используя    находим    и  производим  уточнение  (коррекцию)  по  второй  формуле  Милна:

  (7)

Абсолютная  погрешность    более  точного  значения    приближенно  определяется  по  формуле:

  (8)

Эта  формула  позволяет  на  каждом  шаге  контролировать  точность  полученного  результата.  Если  искомое  решение  требуется  найти  с  точностью  до    и  окажется,  что  ,  то  можем  положить    и  перейти  к  вычислению  .  В  противном  случае  следует  уменьшить  шаг    [2,  c.  224].

Для  практического  выяснения  наиболее  точного  метода  численного  решения  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  первого  порядка  решим  уравнение    с  начальным  условием  .  Вычислить  значение  решения  этого  уравнения  при    [1,  c.  387].

Вычисления  будем  вести  с  четырьмя  знаками  после  запятой.  Выберем  шаг  равный  .  Тогда  весь  участок  интегрирования  от    до  разобьется  на  шесть  равных  частей  длиной  0,25  с  помощью  точек  . 

Метод  Эйлера.

Используя  формулу  (1)  проводим  вычисления.  Результаты  представим  в  виде  таблицы  2.

Таблица  2.

Результаты  вычисления  методом  Эйлера

Метод  Рунге-Кутта

Используя  соответствующий  прием  Рунге-Кутта,  состоящий  из  шагов  1—6  (см.  выше)  проводим  вычисления.  Результаты  представим  в  таблице  3

Таблица  3.

Результаты  вычисления  методом  Рунге-Кутта

Для  того  чтобы  решить  уравнение  методом  Адамса  или  методом  Милна  необходимо  знать  первые  последовательные  значения,  которые  могут  быть  найдены  методом  Эйлера  или  методом  Рунге-Кутта.  Поэтому,  будем  решать  уравнение  методом  Адамса  и  методом  Милна,  используя  сначала  первые  значения,  найденные  по  методу  Эйлера,  а  затем  те  значения,  найденные  по  методу  Адамса. 

Решаем  уравнения  методом  Адамса  и  методом  Милна,  используя  первые  значения,  найденные  по  методу  Эйлера.  При  решении  пользуемся  формулами  Адамса  (4)  и  формулами  Милна  (6)—(7),  выполняя  коррекцию  по  формуле  (8).  Результаты  представим  в  таблицах  4(метод  Адамса)  и  5(метод  Милна)  соответственно. 

Таблица  4.

Результаты  вычисления  методом  Адамса

Таблица  5.

Результаты  вычисления  методом  Милна

Решим  уравнение  методом  Адамса  и  методом  Милна,  используя  в  качестве  начальных  значений,  значения  вычисленные  методом  Рунге-Кутта.  Результаты  представим  в  таблицах  6  (метод  Адамса)  и  7  (метод  Милна)  соответственно.

Таблица  6.

Результаты  вычисления  методом  Адамса

Таблица  7.

Результаты  вычисления  методом  Милна

Окончательно  представим  результаты  вычисления  в  таблице  8.  Здесь    —  точное  решение  уравнения  в  точке  ,приближенное  решении  уравнения  в  точке  ,  погрешность  метода.

Таблица  8.

Результаты  всех  вычислений

Таким  образом,  наиболее  точное  численное  решение  дифференциальных  уравнений  первого  порядка  дает  комбинация  метода  РунгеКутта  и  Милна.  Также,  достаточно  точное  численное  решение  дает  и  метод  РунгеКутта.

Поставим  перед  собой  задачу  разработать  программу,  позволяющую  решать  дифференциальные  уравнения  первого  порядка.  Представим  код  программ  на  языке  Delphi.

unit  Unit1;

interface

uses

    Windows,  Messages,  SysUtils,  Variants,  Classes,  Graphics,  Controls,  Forms,

    Dialogs,  StdCtrls;

type

    TForm1  =  class(TForm)

        Label1:  TLabel;

        Label2:  TLabel; 

        Label3:  TLabel;

        Label4:  TLabel;

        Label5:  TLabel;

        Label6:  TLabel;

        Label7:  TLabel;

        Edit1:  TEdit;

        Edit2:  TEdit;

        Edit3:  TEdit; 

        Edit4:  TEdit; 

        Button1:  TButton;

        ListBox1:  TListBox;

        procedure  Button1Click(Sender:  TObject);

    private

        {  Private  declarations  }

    public

        {  Public  declarations  }

    end;

var

    Form1:  TForm1;

implementation

{$R  *.dfm}

procedure  TForm1.Button1Click(Sender:  TObject);

var

i:integer;

a,b,m,h,y,x,y1:real;

  k1,k2,k3,k4:real;

    function  f(x,y:real):real;

    begin

    f:=y-x;  end;

begin

a:=StrToFloat(edit1.Text);

b:=StrToFloat(edit2.Text);

m:=StrToFloat(edit3.Text);

y:=StrToFloat(edit4.Text);

h:=(b-a)/m;  y1:=y;  i:=1;  x:=a;

repeat

k1:=h*f(x,y);

x:=x+h/2;

y:=y1+k1/2;

k2:=h*f(x,y);

y:=y1+k2/2;

k3:=h*f(x,y);

x:=x+h/2;

y:=y1+k3;

k4:=h*f(x,y);

y:=y1+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;

ListBox1.Items.Add(FormatFloat('y(0.#####)=',x)+FormatFloat('0.#####',y));

i:=i+1;  y1:=y;

until  not  (i<=m);

end;  end.

Рисунок  1.  Интерфейс  программы  и  результаты  решения  уравнения

Список  литературы:

1.Демидович  Б.П.  Задачи  и  упражнения  по  математическому  анализу  для  вузов:  учеб.  пособие.  М.:АСТ:  Астрель;  Владимир:  ВКТ,  2008.  —  495  с. 

2.Копченова  Н.В.,  Марон  И.А.  Вычислительная  математика  в  примерах  и  задачах.  М.:  Наука.1972.  —  368  с. 

3.Михлин  С.Г.,  Березин  С.Г,  Смолицкий  Х.Л.  Приближенные  методы  решения  дифференциальных  и  интегральных  уравнений.  М.:  Наука.  1965.  —  386  с.