МЕТОДИКА ВВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Существуют различные подходы к введению понятия производной. Рассмотрим наиболее распространенные.

1. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1 [3].

Глава 4 «Производная».

1) Числовые последовательности.

2) Предел числовой последовательности.

3) Предел функции.

4) Определение производной.

5) Вычисление производных.

6) Уравнение касательной к графику функции.

7) Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.

8) Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин.

Изучение производной начинается с изучения предела последовательности и предела функции в точке.

Определение. Число b называется пределом последовательности , если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Затем рассматриваются свойства сходящихся последовательностей и приемы вычисления пределов последовательностей.

Понятие предела функции в точке вводится на наглядном уровне, определение при этом не формулируется. Учащимся на примерах разъясняется, как вычислять предел непрерывных функций и функций, не являющихся не­прерывными в данной точке. [1, с. 16]

После этого вводятся понятия приращения аргумента и приращения функции. Рассмотрение производной начинается с решения двух задач: о скорости движения и о касательной к графику функции. Затем формулируется определение производной.

Определение. Пусть функция  определена в точке  и в некоторой её окрестности. Дадим аргументу x приращение  такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции  и составим отношение . Если существует предел этого отношения при , то указанный предел называют производной функции  в точке  и обозначают .

Символически это записывают так:

                                                                                     (2.1)

Для обозначения производной часто используют символ .

Автор подчеркивает, что  - это новая функция, но тесно свя­занная с функцией , определенная во всех точках , в которых суще­ствует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции .

Решенные ранее задачи позволяют сделать вывод о физическом и гео­метрическом смыслах производной. Физический (механический) смысл производной состоит в том, что если  - закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:

                                                                                               (2.2)

Геометрический смысл производной заключается в том, что если к графику функции  в точке с абсциссой  можно провести касательную, непараллельную оси y, то  выражает угловой коэффициент касательной.

Поскольку , то верно равенство  (при этом приводится соответствующий рисунок).

Определение производной трактуется в учебнике и с точки зрения при­ближенных равенств. Пусть функция  имеет производную в точке x:

                                                                                  (2.3)

Это означает, что в достаточно малой окрестности точки х выполняется приближенное равенство

.

Смысл этого равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной (в заданной точке х). Например, для функции  справедливо приближенное равенство:

.

Внимание учащихся акцентируется также на том, что в самом опреде­лении производной заложен алгоритм отыскания производной, который формулируется отдельно. [1, с 17]

2. Колягин, Ю.М., Ткачева, М.В., Федорова, Н.Е., Шабунин, М.И., Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. [2]

Глава 2 «Производная и ее геометрический смысл».

1) Предел последовательности.

2) Предел функции.

3) Непрерывность функции.

4) Определение производной.

5) Правила дифференцирования.

6) Производная степенной функции.

7) Производная элементарных функций.

8) Геометрический смысл производной.

В учебнике некоторый материал предназначен для изучения на профильном уровне, например, определение предела последовательности, определение предела функции, определение функции, непрерывной в точке и на интервале, и др.

Изучение определения производной начинается с рассмотрения движения материальной точки и определения её мгновенной скорости.

Пусть материальная точка движется вдоль оси , где  (начало отсчета) определяет положение материальной точки в момент времени.

Если в момент времени t координата движущейся точки равна , то говорят, что функция  задает закон движения.

Пусть рассматриваемое движение не является равномерным, тогда за равные промежутки времени материальная точка может совершать переме­щения, разные как по величине, так и по направлению.

Средняя скорость движения за промежуток времени от  до определяется формулой:

Определение. Скоростью точки в момент t (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость, когда , т.е. скорость  в момент  определяется равенством:

.

Таким образом, скорость в момент времени  - предел отношения прира­щения координаты движущейся точки за промежуток времени от  до , т.е. разности  к приращению времени , когда .

Мгновенную скорость  называют производной функции S(t) и обозна­чают .

Затем вводится общее определение производной.

Пусть функция  определена в окрестности точки , т.е. на некотором интервале, содержащем точку , и пусть точка  также принадлежит этому интервалу. Рассмотрим приращение функции  и составим дробь

                                                                                     (2.4)

Дробь (2.4) есть отношение приращения функции  к приращению аргумента , эту дробь называют разностным отношением. Если существует предел дроби (2.4) при , то этот предел называют производной функции  в точке  и обозначают .[23, с. 18]

Определение. Производной функции  в точке  называется предел разностного отношения при , т.е.

                                                                     (2.5)

Для учащихся, обучающихся на профильном уровне, обосновывается ут­верждение, что если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке. Если существует , то говорят, что функция  дифференцируема в точке , а если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция  дифференцируема на этом промежутке.

Учащимся на конкретном примере поясняется, что из непрерывности функции в точке  не следует её дифференцируемость в этой точке.

Список литературы:

1. Капкаева, Л. С. Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 2 : учебное пособие для вузов / Л. С. Капкаева. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 191 с. — (Образовательный процесс). — ISBN 978-5-534-04941-1. — [Электронный ресурс] - // ЭБС Юрайт [сайт]. — Режим доступа: https://biblio-online.ru/bcode/444132 Дата обращения: 20.03.2023.
2. Колягин, Ю.М., Ткачева, М.В., Федорова, Н.Е., Шабунин, М.И., Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Текст] : А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни ; под ред. А.Б. Жижченко. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.-336с. : ил.
3. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. [Текст] Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399с.: ил.