Статья опубликована в рамках: CXXIV Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов XXI столетия. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ» (Россия, г. Новосибирск, 10 апреля 2023 г.)
Наука: Математика
Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции
дипломов
МЕТОДИКА ВВЕДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Существуют различные подходы к введению понятия производной. Рассмотрим наиболее распространенные.
1. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1 [3].
Глава 4 «Производная».
1) Числовые последовательности.
2) Предел числовой последовательности.
3) Предел функции.
4) Определение производной.
5) Вычисление производных.
6) Уравнение касательной к графику функции.
7) Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.
8) Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин.
Изучение производной начинается с изучения предела последовательности и предела функции в точке.
Определение. Число b называется пределом последовательности 
, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.
Затем рассматриваются свойства сходящихся последовательностей и приемы вычисления пределов последовательностей.
Понятие предела функции в точке вводится на наглядном уровне, определение при этом не формулируется. Учащимся на примерах разъясняется, как вычислять предел непрерывных функций и функций, не являющихся непрерывными в данной точке. [1, с. 16]
После этого вводятся понятия приращения аргумента и приращения функции. Рассмотрение производной начинается с решения двух задач: о скорости движения и о касательной к графику функции. Затем формулируется определение производной.
Определение. Пусть функция 
определена в точке 
и в некоторой её окрестности. Дадим аргументу x приращение 
такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции 
и составим отношение 
. Если существует предел этого отношения при 
, то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают 
.
Символически это записывают так:
(2.1)
Для обозначения производной часто используют символ 
.
Автор подчеркивает, что 
- это новая функция, но тесно связанная с функцией , определенная во всех точках , в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции .
Решенные ранее задачи позволяют сделать вывод о физическом и геометрическом смыслах производной. Физический (механический) смысл производной состоит в том, что если 
- закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:
(2.2)
Геометрический смысл производной заключается в том, что если к графику функции 
в точке с абсциссой 
можно провести касательную, непараллельную оси y, то 
выражает угловой коэффициент касательной
.
Поскольку 
, то верно равенство 
(при этом приводится соответствующий рисунок).
Определение производной трактуется в учебнике и с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция имеет производную в точке x:
(2.3)
Это означает, что в достаточно малой окрестности точки х выполняется приближенное равенство
.
Смысл этого равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной (в заданной точке х). Например, для функции 
справедливо приближенное равенство:
.
Внимание учащихся акцентируется также на том, что в самом определении производной заложен алгоритм отыскания производной, который формулируется отдельно. [1, с 17]
2. Колягин, Ю.М., Ткачева, М.В., Федорова, Н.Е., Шабунин, М.И., Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. [2]
Глава 2 «Производная и ее геометрический смысл».
1) Предел последовательности.
2) Предел функции.
3) Непрерывность функции.
4) Определение производной.
5) Правила дифференцирования.
6) Производная степенной функции.
7) Производная элементарных функций.
8) Геометрический смысл производной.
В учебнике некоторый материал предназначен для изучения на профильном уровне, например, определение предела последовательности, определение предела функции, определение функции, непрерывной в точке и на интервале, и др.
Изучение определения производной начинается с рассмотрения движения материальной точки и определения её мгновенной скорости.
Пусть материальная точка движется вдоль оси 
, где 
(начало отсчета) определяет положение материальной точки в момент времени
.
Если в момент времени t координата движущейся точки равна 
, то говорят, что функция 
задает закон движения.
Пусть рассматриваемое движение не является равномерным, тогда за равные промежутки времени материальная точка может совершать перемещения, разные как по величине, так и по направлению.
Средняя скорость движения за промежуток времени от 
до
определяется формулой:
Определение. Скоростью точки в момент t (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость, когда 
, т.е. скорость 
в момент определяется равенством:
.
Таким образом, скорость в момент времени - предел отношения приращения координаты движущейся точки за промежуток времени от до , т.е. разности 
к приращению времени 
, когда .
Мгновенную скорость называют производной функции S(t) и обозначают 
.
Затем вводится общее определение производной.
Пусть функция 
определена в окрестности точки 
, т.е. на некотором интервале, содержащем точку 
, и пусть точка 
также принадлежит этому интервалу. Рассмотрим приращение функции 
и составим дробь
(2.4)
Дробь (2.4) есть отношение приращения функции к приращению аргумента 
, эту дробь называют разностным отношением. Если существует предел дроби (2.4) при 
, то этот предел называют производной функции 
в точке 
и обозначают 
.[23, с. 18]
Определение. Производной функции 
в точке называется предел разностного отношения при , т.е.
(2.5)
Для учащихся, обучающихся на профильном уровне, обосновывается утверждение, что если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке. Если существует , то говорят, что функция дифференцируема в точке , а если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция дифференцируема на этом промежутке.
Учащимся на конкретном примере поясняется, что из непрерывности функции в точке не следует её дифференцируемость в этой точке.
Список литературы:
- Капкаева, Л. С. Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 2 : учебное пособие для вузов / Л. С. Капкаева. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2019. — 191 с. — (Образовательный процесс). — ISBN 978-5-534-04941-1. — [Электронный ресурс] - // ЭБС Юрайт [сайт]. — Режим доступа: https://biblio-online.ru/bcode/444132 Дата обращения: 20.03.2023.
- Колягин, Ю.М., Ткачева, М.В., Федорова, Н.Е., Шабунин, М.И., Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Текст] : А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни ; под ред. А.Б. Жижченко. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.-336с. : ил.
- Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. [Текст] Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399с.: ил.
дипломов
Оставить комментарий