ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ И ОБУЧЕНИЯ ОСНОВАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ШКОЛЕ

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрены основные проблемы изучения и обучения основам дифференциального исчисления в школе. Тема изучения производной – одна из тем, требующих пристального внимания со стороны образовательной системы, так как является связующим звеном с дальнейшими темами курса математики. Ввиду важности понятия производной, эта тема является актуальной.

Ключевые слова: дифференциальное исчисление, производная, математический анализ, визуализация.

Математический анализ сегодня – это широкая область академических сведений с конкретным предметом исследования (переменной величиной), своего рода исследовательским методом (посредством анализа бесконечно малых или посредством предельных переходов), сложившейся концепцией основных определений и также постоянно улучшающимся аппаратом, в основе которого лежит дифференциальное исчисление, имеющее чрезвычайно широкое практическое значение в разных областях науки и фактических занятий людей [2].

Дифференциальное исчисление - это раздел математического анализа, который исследует концепции производной и дифференциала и их применение к изучению функций [3]. Трудно переоценить значение этого понятия, особенно его приложений в механике, физике, геометрии и других науках.

Производная вводится ещё в школе. Проанализируем ряд учебников по теме «Производная» в старших классах школы. У А.Г. Мордковича изучение производной начинается с рассмотрения физической задачи на определение мгновенной скорости при равномерном движении [5]. У С.М. Никольского - с введения понятия приращения функции и формулировки правила его вычисления [6], а у Н.Я. Виленкина - с рассмотрения трех задач: на вычисление мгновенной скорости прямолинейного движения; на вычисление тангенса угла наклона касательной к графику функции; на вычисление силы тока [1].

Как видим, подходов к изучению производной несколько, и каждый педагог выбирает свой в зависимости от выбранного учебной программы, автора учебника и количества часов, отведенных на изучение данной темы. Однако нет таких пособий для старшеклассников, где эта тема отсутствует совершенно. Это свидетельствует о необходимости изучения производной, она является одним из фундаментальных понятий в математике. На самом деле, при сдаче ЕГЭ есть вопросы, касающиеся производной, в физике есть задачи, которые решаются только с помощью производной, либо производная существенно облегчает решение задачи. Важно показать обучающимся, что без знания этой темы невозможно дальнейшее изучение курса математики: математического анализа, дифференциального исчисления и других глав предмета.

При изложении элементарного понятия производной в школе необходимо вернуться к способу, возникшему в 18 веке, который сформировался в трудах И. Ньютона и Г.В. Лейбница. Ньютон пришел к открытию понятия дифференциального исчисления из анализа неравномерного движения. Скорость, такая как пройденный путь, разделенный на затраченное время, в случае такого движения не дает никакой информации о том, как это движение выполняется. Это приводит к понятию «мгновенной скорости», которая оформляется в конечном итоге в производную движения по времени. Но обучающемуся потребуется время, чтобы осмыслить эти факты, легче дать правила вычисления производных, а далее: «делать по аналогии» [7].

Ещё одна из причин непонимания производной связана с тем, что часто определение даётся, опираясь на понятие предела. А его в школе изучают достаточно поверхностно.

В ЕГЭ есть два задания на производную и анализ функции. Для решения этих заданий необходимо понимать производную с алгебраической, геометрической и физической точки зрения. Задание 6 может содержать в себе не только привычные графики функций и производных, но и первообразную. Задание 11 проверяет умение вычислять производную, находить максимальное и минимальное значение функции, а также точки минимума и максимума. В результате исследования открытых источников по методическим анализам ЕГЭ было выявлено, что задание 6 решают от 25% до 37,7%, задание 12 от 50% до 70% из общего числа обучающихся. Основываясь на анализе результатов ЕГЭ можно сделать вывод о том, что школьники не в полном объеме усваивают такое понятие как «производная».

Отметим, что графическое представление понятия производной тесно связано с понятийной составляющей вопроса поведения функции и ее производной. Следовательно, важно не просто отрабатывать навыки решения указанных задач, а изначально формировать понимание понятия производной функции, обращая внимание и на аналитическое содержание, и на геометрический смысл. Наиболее полное представление о производной и ее практическом применении возможно сформировать на наглядных представлениях об изменении функции, скорости движения и о касательной к гладкой линии.

Поэтому наиболее острой проблемой при изучении темы «Производная» у школьников является отсутствие или неполная наглядная иллюстрация этого понятия, что, в свою очередь, становится одной из основных причин недостаточного усвоения материала. Визуальная насыщенность учебного материала делает его убедительным, способствует улучшению его усвоения и запоминания, повышает интерес к предмету и делает изучение математики более доступным для детей, что может привести к более высоким результатам успеваемости обучающихся [4].

Подводя итог всему вышеперечисленному, можно заметить следующее. Во-первых, в школьной программе происходит первое знакомство с дифференциальным исчислением и очень важным является вопрос введения нового математического понятия. Крайне нежелательно вырывать определение из контекста. Во-вторых, при изучении применения производной основная роль должна отводиться визуальным представлениям производной. Исходя из геометрического и физического значений производной, обучающиеся смогут сразу увидеть критерии увеличения и уменьшения функций, знаки максимума и минимума. Таким образом, дифференциальное исчисление в школьной программе, опираясь на представленную статью, необходимо.

Список литературы:

1. Виленкин, Н.Я. Математический анализ: Дифференц. Исчисление [Текст]. Учебн. пособие для студентов-заочников I курс физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович, Е.С. Куницкая.- 2-е изд., перераб.- М.: Просвещение, 1984.- 175 с.
2. Конькова М.И. Обучение основам дифференциального исчисления студентов технических направлений подготовки с опорой на образные представления: диссертация ... кандидата педагогических наук: 13.00.02 / М.И. Конькова. – Арзамас, 2013. Режим доступа: https://new-disser.ru/_avtoreferats/01006636151.pdf (дата обращения: 12.01.2023)
3. Кармановская Т.В. Дифференциальное исчисление в прикладных задачах / Т.В. Кармановская // Наука и современность. -2013.- № 26-2. - С. 28-33. Режим доступа: https://elibrary.ru/download/elibrary_21041210_36641518.pdf (дата обращения: 12.01.2023)
4. Кабиров, Н.Н. Визуализация понятия дифференцируемости функции одной переменной [Текст]// Современные проблемы науки и пути их решения / Сб. научных статей. Выпуск 28. Ч. 3. – Уфа: НИЦ Омега Сайнс, 2016. – С. 3–6.
5. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. [Текст] Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 399с.: ил.
6. Никольский, С.М., Потапов, М.К.,  Решетников, Н.Н., Шевкин,  А.В.; Алгебра и начала математического анализа. 11 класс [Текст]: А45 учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни /– 8-е изд. – М.: Просвещение, 2009.-464 с.: ил. - (МГУ – школе).
7. Ширяев К.Е. Несколько слов о преподавании дифференциального исчисления/ К.Е. Ширяев, С.В. Кравченко // International Scientific Review -2015-№ 7 (8). - С. 10-12. Режим доступа: https://elibrary.ru/download/elibrary_24209350_22842690.pdf (дата обращения: 07.10.2021)