ОБУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ОТ ПРОСТОГО К СЛОЖНОМУ. НА ПРИМЕРЕ ПРИМЕНЕНИЯ СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Геометрическая линия является одной из центральных линий курса математики. Она предполагает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовку аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и курса стереометрии.

В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать рецепт решения, алгоритм, приводящий к успеху. Здесь помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур необходимо иметь интуицию и опыт. Важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи. «Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения», - писал Д. Пойа.

Каждая задача требует индивидуальной траектории решения.  Успешное решение школьника зависит от базовых знаний, умения их комбинировать и применять в конкретной ситуации.   

В рамках нашей статьи рассмотрим решения задач на применение свойства биссектрисы. Очередность задач рассмотрим от простых к сложным. Простые задачи требуют применение свойства биссектрисы для решения элементарных задач, в которых требуется за одно-два действий вычислить, например, длину стороны или какого-нибудь отрезка, периметр или площади треугольника.

В сложных задачах применение свойства биссектрисы не просматривается явно. Этот этап является промежуточным в решении более сложных задач.

Вспомним формулировку свойства биссектрисы: Биссектриса в треугольнике делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Задача 1. Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону (рис. 1).

Рисунок 1. Чертеж для решения первой задачи

Решение.  биссектриса. 

Найти  

Биссектриса BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки, пропорциональные сторонам AB и BC, то есть  ,   

,,

Ответ: 5 и 6.

Задача 2.  В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите периметр треугольника ABC, если АС = 4; DC = 2; BD = 3 (рис. 2).

Рисунок 2. Чертеж для решения второй задачи

Решение. Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC на отрезки, пропорциональные сторонам AB и AC, то есть  

,   , 

Ответ: 15.

Задача 3.  Найдите углы треугольника, если известно, что медиана и высота, выходящие из вершины одного из угла, делит этот угол на три равные части.

Решение. Пусть высота CD и медиана CM делят угол C треугольника ABC на три равные части (рис. 3). Предположим, что точка D расположена между B и M. Обозначим . Поскольку в треугольнике BCM высота CD является биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный, поэтому CD – медиана треугольника BCM и BD=DM.

Рисунок 3. Чертеж для решения третьей задачи

Биссектриса CM треугольника ACD делит сторону AD на отрезки, пропорциональные сторонам AC и CD, то есть  .

Значит, . Следовательно, ,

,

Ответ:.

Таким образом, поэтапное решение планиметрических задач, построенных от простых к более сложным, поможет обучающимся совершенствовать уровень их геометрической подготовки и создать математический фундамент для успешной сдачи выпускных экзаменов по математике в 9 и 11 классах.

Список литературы:

1. Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / А.В. Погорелов – 2 издание – М.: «Просвещение», 2014 – 240 с.
2. Атанасян Л.С. Геометрия.7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2010 – 384 с.