РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ НА НАХОЖДЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Задание №14 Единого государственного экзамена по математике представляет стереометрическую задачу.

Наиболее универсальным является «метод построений» или «традиционный метод», с его помощью можно решить практически любую задачу по стереометрии из тех, что предлагаются в вариантах ЕГЭ по математике. Однако, он не всегда целесообразен с точки зрения временных и вычислительных затрат. Учащийся должен иметь хорошее пространственное воображение, помнить алгоритмы решения для каждого вида задач. Чтобы решать задачи этим методом необходимым (но, конечно, не достаточным) условием является безупречное знание и понимание основных теорем стереометрии, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве.

Векторно-координатный метод позволяет избежать вышеуказанные трудности. От учащегося требуются знания нескольких формул и навыки в решении простейших задач, основная нагрузка при решении задачи приходится на вычислительную часть. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае.

Определение 1. Угол между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Следующую задачу решим двумя способами.

Задача. Точки , , лежат на окружности основания конуса с вершиной, причем  и  диаметрально противоположны, точка середина.

а) Докажите, что прямая  образует с плоскостью   такой же угол, как и прямая  с плоскостью

б) Найдите угол между прямой  и плоскостью , если ,  и  .

Рисунок 1. Чертеж задачи

а) Доказательство.

Проекция точки  на плоскость основания конуса – центр  его основания. Так как  и , угол наклона  к  – это угол . Этот же угол является углом между прямой  и плоскостью . Угол между прямой  и  такой же, так как прямые  и  параллельны.

б) Решение.

Рисунок 2. Чертеж для решения задачи (пункт б) первым способом

Синусом искомого угла является число

где – расстояние от точки до плоскости . Расстояние от точки  до плоскости  равно (так как  – середина ). Это расстояние – высота прямоугольного треугольника , которая равна .

Следовательно, синус искомого угла равен

 =

Ответ: 

Определение 1 подсказывает способ отыскания данного угла, но встречаются такие задачи, что очень сложно увидеть и построить проекцию прямой на плоскость. Поэтому рассмотрим решение задачи методом координат.

Метод координат – весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Данный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

При решении данного типа задач координатным методом нужно знать основную формулу, которая определяет угол между направляющим вектором прямой  и нормальным вектором плоскости .

2 способ решения. Введем систему координат (рис. 3).

,

 направляющий вектор прямой .    

Составляем уравнение плоскости :

Рисунок 3. Чертеж для решения задачи (пункт б) вторым способом

Ответ:

В ходе решения, мы убедились, что метод координат является наиболее удобным для решения. Координатный метод объединяет геометрию и алгебру. Наиболее разумное решение задач вместо использования множественных геометрических преобразований и решений. Даёт возможность различных представлений и решений задачи за счет выбора произвольного расположения системы координат. Служит отличным способом проверки ответа при решении классическим способом.