РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОНЕЧНОЙ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Теория конечных полей – раздел алгебры, актуальность которого чрезвычайно возросла в связи с разнообразными приложениями в комбинаторике, теории кодирования, в математической теории переключательных схем. В данной работе рассматривается решение задачи моделирования проективной плоскости конечной геометрии [2].

Известно, что проективной плоскостью  называют непустое множество, элементы которого именуются точками, а набор его подмножеств – прямыми, если при этом выполняются следующие четыре аксиомы [1],[2].

1. Через две различные две точки плоскости проходит прямая, причём только одна.

2. Любые две прямые имеют общую точку.

3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

4. Каждая прямая содержит не менее трёх точек.

Возможны  также дополнительные требования, например аксиома Дезарга.

Рассмотрим реализацию этой системы в конечном множестве – поле Галуа. В поле Галуа имеется возможность выбора примитивного элемента А - мультипликативной образующей ненулевых элементов. Этот выбор позволяет задать базис  и всякий элемент поля Галуа определяется набором координат над полем F_p [3].

В качестве такого примера приведем применение СКА Maxima в изучении задач моделирования конечной проективной структуры поля Галуа .

Рассмотрим . Для построения трехмерного векторного пространства введем линейный оператор с матрицей , где , и решим уравнение  равносильное системе

Реализация некоторых вычислений с помощью системы компьютерной алгебры Maxima имеет вид:

B: matrix( [0,0,gamma], [1,0,beta], [0,1,alpha]);

B4:ratsimp(B.B.B.B.);

B24:ratsimp(B4.B4.B4.B4. B4.B4);

C: matrix( [0,0,0],  [0,0,0],  [0,0,1]);

U: ratsimp (B24.C);

M:{}$ for alpha: 0 thru 2 do for beta: 0 thru 2 do for gamma: 0 thru 2 do if integer (alpha) and integer (beta) and integer (gamma) and mod(...)=0 and mod(…)=0  and    mod(…)=1

 then M:{M,[alpha, beta, gamma]}$

 flatten (M); cardinality (%);

{[0,1,1],[0,1,2],[1,0,2],[1,1,1],[1,2,2],[2,0,1],[2,1,2],[2,2,1]}; 8

Таким образом, всего возможных операторов восемь, из которых четыре  приводят к структуре конечной проективной плоскости третьего порядка. Построенное с использованием оператора  двумерное векторное пространство порождает конечную проективную плоскость  третьего порядка из тринадцати точек, которые определяются следующими однородными проективными координатами:

A=[0,1,0], A²=[1,0,0], A³=[2,0,1], A⁴=[1,1,2], A⁵=[0,2,1], A⁶=[2,1,0], A⁷=[2,0,2], A⁸=[1,2,2], A⁹=[1,2,1], A¹⁰=[1,1,1], A¹¹=[0,1,1], A¹²=[1,1,0], A³=[0,0,1].

На основе полученных результатов можно продолжить конструирование геометрических объектов конечной проективной плоскости.

Например, прямые определяем, используя принцип двойственности:

.

Уравнение можно получить и так:

  , =0.

Однако, используя такой способ нахождения уравнения  прямой можно получить не всегда удобное  уравнение (координаты точек и координаты прямых должны быть одни и те же. К примеру, прямая с уравнением   может быть записана в виде    Важно то, что эти уравнения равносильны над полем . Таким образом можно получить перечень точек и прямых и рассматривать  аналитическое решение задач в полученной системе координат конечной проективной плоскости.

С другой стороны поле Галуа представимо как фактор-кольцо. Здесь построение производим, когда соответствующий идеал порожден неприводимым многочленом. Реализация этих структур приведем с использованием применением пакета аналитических вычислений Maple. Рассмотрим случай поля при , т.е. (.

Составим таблицу сложения для поля , т.е. (). В качестве порождающего многочлена  возьмем многочлен , где addtable – представляет собой таблицу сложения, а multable, соответственно, таблицу умножения.

GaloisField:= proc(p::prime, n::posint, x::name)

local q, i, j, numb, h, f0, g, s, s addtable, multable;

q:= p^n;   #Порядок поля

numb:= array(0 .. 2*q-1);

addtable:= array(0 .. q-1, 0 .. q-1); #Таблица сложения

multable:= array(0 .. q-1, 0 .. q-1); #Таблица умножения

for i from 0 to 2*q-1 do #Вычисление элементов поля

numb[i] := convert(i, base, p)

end do;

for i from 0 to q-1 do

g[i]:=sort(convert(sum('numb[i][h]*x^(h-1)', 'h' = 1 .. nops(numb[i])), polynom), x)

end do;

f0:= x^2+1;

for i from 0 to q-1 do #Заполнение таблиц сложения и умножения

for j from 0 to q-1 do

addtable[i, j]:=mod(Rem(g[i]+g[j], f0, x), p);

multable[i, j]:=mod(Rem(g[i]*g[j], f0, x), p)

end do

end do;

RETURN(q, f0, addtable, multable)

end proc

Таким образом, получена таблица сложения элементов поля (рис1.):

Рисунок 1. Таблица сложения

Аналогично строится таблица умножения элементов поля.

Список литературы:

1. Р. Хартсхорн Основы проективной геометрии:  Пер. с англ. – Москва, Мир, 1970. – С. 161
2. Арнольд В.И. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа.–М.: МЦНМО, 2005.– 72с.
3. Антропова Г.Р., Матвеев С.Н. О моделях проективной плоскости поля Галуа // Социально-экономические и технические системы: исследование, проектирование, оптимизация. Издатель: Набережночелнинский институт (филиал) Казанского (Приволжского) федерального университета , № 1(68)-2016, - С. 17-23.