ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ОКРУЖАЮЩЕМ НАС МИРЕ

Мир, в котором сейчас живёт каждый из нас, неоднороден и очень разнообразен. Не удивительно, что в нём непрерывно происходят множество уже известных процессов, а также, благодаря изучениям и исследованиям, открываются и новые, неизвестные ранее. Недаром ещё в 17-ом веке лозунгом математиков было: «Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придёт». Большая часть протекающих процессов имеет очевидную принадлежность к конкретной науке, но, тем не менее, находит решение многих своих вопросов и в других её областях.

В качестве одного из примеров на данную тему можно привести всем известную ещё из курса школьной программы производную, которая напрямую связана с дифференциальным исчислением. Можно сказать, что она является описанием окружающего каждого из нас мира на математическом языке. Казалось бы, где в повседневной жизни мы сталкиваемся с производной?

Перед ответом на данный вопрос следует немного обратиться к истории и понять, что же означает данный термин. На рубеже XVI-XVII веков произошёл скачок в развитии науки. Именно в этот период мы можем проследить историю возникновения дифференциального исчисления и «принципа непрерывности». Наиболее значимый вклад в данное развитие внесли следующие учёные: Кеплер, Кавальери, Декарт, Лейбниц и Ньютон. Производная – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции и определяющееся пределом отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функция, имеющая конечный предел, - дифференцируема в данной точке.

Сам термин «производная», с которым каждый знаком ещё из школьного курса в 1797 году ввёл Жозеф Луи Лагранж, французский математик, астроном и механик итальянского происхождения. Широко известны её физический смысл, заключающийся в том, что производная функции в точке – скорость изменения функции в данной точке, и геометрический: производная функции в точке – угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке. Также с её помощью можно вычислить изменение электрического заряда, плотность неоднородной материальной линии.

Приведённые примеры – далеко не все возможные варианты использования производной, но даже из них становится понятно, что в современном мире дифференцирование встречается достаточно часто как в науке, например, физика, химия, экономика, так и в различных сферах повседневной жизни. С её помощью можно понять, как наиболее рационально использовать свои ресурсы и средства для достижения наибольшей выгоды. Рассмотрим это на примере двух задач.

Задача 1. При монтаже зданий небольшой высоты широко используются автомобильные краны. Для правильного выбора крана необходимо знать многие исходные данные насчёт сооружаемого объекта. B частности, габаритные данные объекта позволяют заранее определить требуемую длину стрелы крана. Выведем формулу для определения длины стрелы автомобильного крана, с помощью которого можно построить здание высотой  и шириной  c плоской крышей.

Рисунок 1. Схема изображения стрелы крана

Решение. Автомобильный кран может перемещаться вокруг здания, следовательно, достав до середины крыши (рис. 1), он достанет до любой точки данного здания.

Рассмотрим кран, который, находясь в точке , подает деталь на середину крыши;  - угол наклона стрелы, h – высота подвеса стрелы крана (в данном примере OA). Тогда

Очевидно, что длина стрелы крана

Из последней формулы становится понятно, что, перемещая кран ближе к зданию или дальше от него, меняется угол x. Следовательно, если кран установлен в другой точке, длина его стрелы будет другой. Но наиболее выгодным будет одно положение, когда длина стрелы крана наименьшая и с ней может быть выполнена работа. Это мы можем узнать, продифференцировав полученное выражение для длины стрелы крана по , принадлежащему промежутку , и найдя на нём наименьшее значение. Очевидно, что здесь производная нашла своё практическое применение.

Теперь легко обнаружить, что функция достигает наименьшего значения при .

Найдя из этой формулы значение x и подставив его в формулу для , мы и получим наименьшее возможное значение длины стрелы:

Задача 2. Выбрать место для постройки моста через реку, чтобы длина дороги между двумя пунктами, которые расположены по разные стороны от реки, была наименьшей.

Рисунок 2. Схема плана местности

Решение. Сделаем схематический план местности вблизи указанных в условии объектов (рис. 2). Расстояния , ,  и , согласно условию задачи, являются постоянными. Если мост построен в указанном в плане месте, то длина дороги между пунктами  и

.

Выбрав за независимую переменную x расстояние , получим

где  изменяется на отрезке .

Теперь найдем наименьшее значение функции  на отрезке . Для этого сравним значения функции  в критических точках, лежащих внутри отрезка , и на его концах.

Найдем критические точки, лежащие внутри отрезка . Для этого применим один из практических смыслов производной и продифференцируем функцию 

и приравняем к нулю. ,когда

Решая это уравнение, получим

Точка  лежит вне отрезка : при , ; при , . Точка  лежит внутри этого отрезка при любых положительных значениях ,  и , так как при этом  и , то есть.

Следовательно, внутри отрезка  функция  имеет одну критическую точку . Найдем значение функции в этой точке и на концах отрезка .

Сравним значения ,  и :

Так как ,

 ;

Так как,

.

Значит, наименьшее значение функция принимает в точке .

Следовательно, чтобы длина дороги между двумя пунктами, расположенными по разные стороны от реки, была наименьшей, следует построить мост в том месте, где расстояние .

Итак, с помощью производных можно изящно и просто решить ту или иную задачу. Однако их значение заключается не только в этом, важно и то, что в результате применения производных при решении прикладных задач нередко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Список литературы:

1. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – 4-е издание – М.: Высшая школа, 1966г. – 532 с.
2. Кудрявцев Л.Д.  Курс математического анализа: Учебник для студентов университетов и вузов. В 3т. Т.1. – М.: Дрофа, 2003. – 704 с.
3. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной. – М.: Наука, 1970. – 400 с.
4. Петров В.А. Математический анализ в производственных задачах: Учебное пособие для студентов заоч. отд-ний физ.-мат. фак. Пединститутов / Моск. гос. заоч. пед. ин-т. – М.: Просвещение, 1990. –  64 с.
5. Пискунов Н.С.  Дифференциальное и интегральное исчисление: для втузов. Т.1.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 1996. – 416 с.