ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Стереометрические задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми бывают весьма разнообразны. Решения данных задач требует от обучающегося знания различных методов, в зависимости от метода решения строится пространственный чертеж, дополнительные построения, доказательные рассуждения. Знания различных методов позволяет выбирать оптимальный метод решения и дает возможность проверить правильность полученного ответа, решив задачу несколькими способами.

Вспомним основные определения по данной теме.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Определение 1. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Определение 2. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую.

Определение 3. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые.

Определение 4. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между их проекциями на плоскость, которая перпендикулярна одной из этих прямых.  

Приведенные выше определения дают нам четыре метода нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. Каждый из методов уникален и изучается в рамках школьной программы по математике в 10-11 классах.  Встречаются такие задачи, в которых сложно применить выше перечисленные методы. В этом случае приходит на помощь векторный метод, который не требует четкого построения общего перпендикуляра и доказательства данного построения. Метод алгоритмизирован, много вычислительных рассуждений, но они однотипные. Рассмотрим данный метод. 

Векторный метод (рис. 1).

и скрещивающиеся прямые, и их направляющие векторы,

длина общего перпендикуляра прямых и.

Неизвестные коэффициенты находим из следующей системы:

Рисунок 1. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых

базис вектора, а необходимо выразить через базисные векторы, необходимо воспользоваться таблицей скалярного произведения векторов.

Векторный метод рассмотрели с теоретической точки зрения, выделим основные этапы для решения задач.

1) вводим базис,

2) находим скалярные произведения базисных векторов,

3) находим направляющие векторы данных скрещивающихся прямых через базисные векторы,

4) находим через базисные векторы и переменные x и y направляющий вектор предполагаемого общего перпендикуляра скрещивающихся прямых,

5) составляем систему уравнений, учитывая, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю,

6) решаем выше составленную систему, находим переменные x и y,

7) подставляем значения найденных переменных в пункт 5) – направляющий вектор перпендикуляра,

8) находим длину вектора, найденного в пункте 7).

Решим задачу данным методом.

Задача. В тетраэдре АВСD известно, что АС=ВD=14, BC=AD=13, AB=CD=15. Найдите расстояние между прямыми АС и BD.

Введем базис: (рис. 2).

Рисунок 2. Чертеж для решения задачи

 Т.к. является частью вектора, то

Согласно определению 1, расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Следовательно, схематично отметим точки и на отрезках и, таким образом, чтои. Таким образом, искомым расстоянием между прямыми и будем считать длину вектора.

По правилу многоугольника составим вектор

Далее найдем косинусы углов между базисными векторами

Составим таблицу скалярных произведений базисных векторов

Т.к. и, то

Ответ:

В данной задаче рассмотрели тетраэдр, у которого все грани равны, такой тетраэдр называется равногранным.  Расстояние между скрещивающимися ребрами данного тетраэдра нашли векторным методом. При решении данным методом прослеживаются этапы. Предложенный алгоритм является универсальным и его можно применить к любой задаче на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми.

Список литературы:

1. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. В. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни / А. В. Погорелов. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 175 с.