ИСПОЛЬЗОВАНИЕ «МЕТОДА КООРДИНАТ» ПРИ РЕШЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ

При решении стереометрических задач, где ключевым моментом является построение правильного чертежа, ученику необходимо иметь знания в области планиметрии и стереометрии. При решении задач традиционным (геометрическим) методом у учеников возникают сложности в построении предполагаемого чертежа, дополнительных элементов, трудности в доказательных рассуждениях. Традиционный способ требует более точного построения и определения угла между плоскостями. Встречаются такие задачи, в которых сложно построить сечения (плоскости) и определить линию пересечения плоскостей и найти такие прямые в данных плоскостях, которые будут перпендикулярны этой линии. В таких случаях на помощь приходит «метод координат». В рамках данной статьи рассмотрим решение задач «методом координат» на нахождение угла между плоскостями. Данный метод алгоритмизирован и не требует построения искомого угла между плоскостями.

Для решения стереометрических задач ученик должен иметь теоретическую базу. Определения, теоремы и т.д. можно изучить в учебнике по геометрии Атанасяна Л.С. для 10-11 классов и Погорелова А.В. для 10-11 классов [1; 2].

Вспомним по данной теме основное определение:

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

 – линейный угол двугранного угла с ребром . Так как , , то плоскость  перпендикулярна к прямой .

Рисунок 1. Угол между двумя плоскостями

Определение подсказывает традиционный метод нахождения угла между плоскостями. Для решения этим методом: 1) необходимо увидеть или построить линию пересечения плоскостей; 2) построить прямые в плоскостях, перпендикулярные этой линии.  Угол между этими прямыми будет искомым.

Но встречаются такие задачи, в которых сложно построить выше перечисленные элементы. «Метод координат» не требует построения угла между плоскостями и является универсальным методом, в котором заложен алгоритм нахождения данного угла. Для этого необходимо составить уравнения плоскостей, для того чтобы найти их нормальные векторы. Далее находим косинус между этими векторами. Угол между этими векторами будет искомой величиной угла между плоскостями.

Пусть даны уравнения двух плоскостей 

  и .

Найдем нормальные векторы данных плоскостей:

При решении данных задач, необходимо знать основную формулу. Она определят угол между плоскостями, как угол между нормалями данных плоскостей.

 (*)

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде  с вершиной  ребра основания равны 2, боковые ребра равны 3. Точка  делит ребро  в отношении 2:1. Найдите угол между плоскостью  и плоскостью основания.

Рисунок 2. Четырехугольная пирамида

1) Введем систему с началом в точке.  – центр основания. Пусть  –середина ребра , - середина ребра. Обозначим координатные оси.

.

2) Рассмотрим плоскость . Уравнение этой  плоскости: . Значит координаты нормали .

3) Рассмотрим плоскость . Запишем координаты точек этой плоскости:

;  .

4) Запишем уравнение плоскости в общем виде .

Подставим координаты точек в уравнение составим систему:

для точки

                                                    (1)

для точки

                                                  (2)

для точки

                                        (3)

Складываем (1) и (2) находим .

Полученное значение подставляем в (2) находим .

 подставим найденные значения и  в 3:

; .

5) Полученные значения подставляем в уравнение плоскости

 |·

Получаем уравнение плоскости :

6) Координаты нормали плоскости :    .

7) Подставим координаты нормаль плоскостей в уравнение (*)

Отсюда .

Ответ: .

Задача 2. В кубе , все ребра которого равны 1, найдите угол между плоскостями сечений  и .

Рисунок 3. Куб

1) Введем систему координат с началом в точке B.   Обозначим координатные оси. .

2) Запишем уравнение плоскости в общем виде: .

3) Рассмотрим плоскость . Запишем координаты точек этой плоскости: .

4) Подставим координаты точек в уравнение, составим систему:

, ,  .

5) Полученные значения подставим в уравнение и запишем уравнение плоскости :

6) Запишем координаты нормали плоскости : .

7) Рассмотрим плоскость . Запишем координаты точек этой плоскости: .

8) Подставим координаты точек в уравнение, составим систему:

, ,

9) Полученные значения подставим в уравнение и запишем уравнение плоскости :

:

10) Запишем координаты нормали плоскости :

11) Подставим координаты нормаль плоскостей в уравнение (*)

Ответ: .

В данной статье мы рассмотрели возможности «метода координат» при решении стереометрических задач на нахождение угла между плоскостями.

Решение задач данным методом позволяет: 1) избежать сложных пространственных конфигураций; 2) используя алгоритм, получить результат – ответ задачи.

Список литературы:

1. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. В. Кадомцев и др.]. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни / А. В. Погорелов. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 175 с.
3. Ганеева А.Р. Задачи С2 и С4 единого государственного экзамена по математике. Учебное пособие. – Елабуга: Изд-во Елабужского института КФУ, 2013. – 100 с.