Исследование ВЛИЯНИЯ ОБРАБОТКИ ВНЕШНЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ТОКОПРОВОДНИКОВ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ ТОКУ ВЫСОКОЙ ЧАСТОТЫ

Мешкова Оксана Александровна

студентка 2 курса, ФПЭИС, ПГТА, г. Пенза

Е-mail: po4ta1994@mail.ru

Кожевникова Вероника Дмитриевна

студентка 2 курса, ФПЭИС, ПГТА, г. Пенза

Е-mail: veronikakojev@mail.ru

Бочкарев Владимир Семенович

научный руководитель, д-р. техн. наук ,проф. каф. «Электроника и электротехника» ПГТА, г. Пенза

Ермолаев Николай Александрович

научный руководитель, канд. техн. наук, доцент. каф. «Информационные технологии и системы» ПГТА, г. Пенза

В конструкциях высокочастотных высоковольтных вакуумных выключателей (ВВВ) наиболее часто используются цилиндрические и плоские токопроводники. Задачей анализа являлось определение их полного сопротивления на высокой частоте по заданной геометрии, с учетом обработки внешних поверхностей.

Искомые величины, очевидно, равны комплексным сопротивлениям цилиндрического стержня  и прямоугольной пластины , расположенных в высоком вакууме.

Прохождение тока высокой частоты по каждому из этих токопропроводящих элементов контактной группы имеет свои особенности. Обусловлены они неравномерностью распределения тока высокой частоты по сечению токопроводника из-за скин-эффекта. Это определяет необходимость вывода формул для каждого из перечисленных выше комплексных сопротивлений, для чего требуется знать распределение электрического и магнитного полей в каждом из токопроводящих элементов контактной группы ВВПК.

В основу вывода их формул положена теорема Умова-Пойтинга в интегральной форме [16]:

 (1)

Известно, что даже при очень высоких частотах токами смещения в токопроводнике можно пренебречь и считать процессы внутри проводников квазистационарными, т.е. без учета излучения. Поэтому внутри проводника справедливы уравнения Максвелла в следующем виде [1, 16]:

rot; rot (2)

Рассматриваемая система не имеет внутренних источников электрического и магнитного поля. Следовательно, проводимость (γ) и магнитная проницаемость (µ) постоянны, а поэтому:

div и div ; (3)

rotrotrott. (4)

С учетом (3), из известной формулы векторного анализа:

rotrot = grad div - , получаем: = (5)

Аналогичным образом получается формула и для напряженности электри­ческого поля:

=  (6)

При квазистационарном режиме можно считать, что магнитное и электрическое поля не зависят от координаты z в цилиндрической системе координат (r, φ, z), т.е. ∂/∂z = 0, а из-за осевой симметрии составляющие векторов поля не зависят от угла φ, т.е. ∂/∂φ = 0 [16]. Поэтому для установления зависимости электрического и магнитного полей в цилиндрическом проводнике можно пользоваться уравнением их проекций на ось z [16]:

 ; . (7)

С учетом (5–7), система основных уравнений для цилиндрического проводника принимает вид:

 (8)

Из этих дифференциальных уравнений решению подлежит система:

 (9)

Поскольку в рассматриваемом случае решается задача о прохождении тока высокой частоты в круглом проводнике, После дифференцирования первого уравнения, подстановки  из второго, дифференцирования полученного выражения по r, решения полученного дифференциального уравнения второго порядка относительно , находятся  и . После подстановки найденных выражений для  и  в (1), интегрирования полученного уравнения, получено следующее выражение для комплексного сопротивления цилиндрического проводника:

 (10)

Умножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на и проведя упрощения, получим:

 (11)

После замены в (11) удельной проводимости  через удельное сопротивление материала проводника , а выражения - через глубину проникновения поля высокой частоты в проводник  [1]. получаем:

 (12)

где  и  - длина и радиус цилиндрического токопрсводника.

Для получения формулы расчета составляющей Z_П(ω), характеризующей плоский подвижный контакт, рассмотрим электромагнитное поле в двухплоскостной пластине длиной L_П, шириной h , толщиной t и удельной электропроводностью γ_П. В токопроводнике в виде плоской пластины имеет место плоская электромагнитная волна [1]. Для распределения электрического и магнитного полей в двухплоскостной пластине воспользуемся выражениями (5 и 6). Пусть векторы  и  плоской электромагнитной волны расположены в плоскости хоу (рис.1) декартовой системы координат, причем вектор  направлен по оси х, вектор  – по оси у, а ток идет в направлении продольной оси пластины z, В плоской волне векторы напряженности  и  являются функциями только координаты z, поэтому их проекции на оси х и у равны нулю, т.е.:

 (13)

Пусть ось у совпадает с вектором , тогда , где – единичный орт оси у в декартовой системе координат. Принимая во внимание (13), запишем rot в декартовой системе координат:  откуда:

 (14)

Из (15), с учетом Подставим  в (5) и раскроем  в декартовой системе координат:

 (15) (13) и условия, что  – - функция только координаты z, имеем:

 (16)

Переход от частной производной к обыкновенной обусловлен тем, что в плоской электромагнитной волне  – это функция только переменной z. Полученное линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет решение [7] вида:

 (17)

 (19)

Поскольку величины напряженностей магнитного поля на левой и правой сторонах пластины равны и противоположно направлены, то сложив левые и правые части выражений (13), получим:  откуда      т.е.

С учетом того, что постоянные интегрирования  и равны, из (19) следует:

 (20)

так как (е^х - е^-х) = 2shx, а (е^х + е^-х) = 2сhх [11,4].

После подстановки  ив (17 и 18) и преобразования, получаем следующие выражения для напряженностей электрического и магнит­ного полей в произвольной точке:

 (21)  (22)

Подставив полученные выражения для  и  в (1), после преобразования и решения равенства относительно, имеем:

 (23)

В результате интегрирования выражения (23), проведения преобразований и замены a, для расчета комплексного сопротивления проводника в форме плоской пластины на высокой частоте получена формула следующего вида:

 (24)

После замены удельной проводимости (у_п) на удельное электросоп­ротивление (), а – (1/) - через глубину проникновения поля высокой частоты в проводник (δ_п), выражение (24) принимает вид:

 (25)

Из (12 и 25) следует, что произведение в знаменателе есть не что иное, как эффективное рабочее сечение токопроводника на высокой частоте (S_эфф .) Подтверждается это и тем, что аналогичное выражение для S_эфф. получено автором ранее [2,3] , исходя только из геометрического представления токопроводника в виде полого элемента с толщиной стенки, равной глубине проникновения тока высокой частоты в проводник. Поскольку в формулах (12 и 25) не учитывается микрогеометрия поверхности проводников, расчет по ним справедлив, если глубина проникновения тока высокой частоты в проводник существенно больше микронеровностей на его поверхности. В том же случае, когда глубина проникновения тока высокой частоты в проводник соизмерима или менее величины микронеровностей, необходимо учитывать их влияние. Обусловлено это тем, что в этом случае путь тока высокой частоты повторяет профиль микрогеометрии вдоль поверхности токопроводника конечной длины L, т.е. ток идет, огибая каждую микронеровность. В результате эффективная длина токопроводника (L_эфф.)относительно его геометрической длины (L_г) существенно увеличивается. Кроме того, микрогеометрия поверхности оказывает влияние и на эффективное рабочее сечение (S_эфф.). В связи с изложенным, для реальных токопроводников требовалось найти аналитические выражения для расчета L_эфф и S_эфф., с учетом микрогеометрии их поверхности.

Увеличение пути тока высокой частоты в первую очередь обусловлено волнами и микронеровностями на поверхности токопроводника, расположенными поперек пути его прохождения. Известно [6,8–10, 14], что волны по поверхности токопроводника имеют форму, близкую к эллипсу или синусоиде. Поэтому шероховатость поверхности токопроводника можно представить для анализа в виде волн эллипсного или синусоидального типа. Расстояние между их вершинами S_В и их высота W_B зависят от класса и вида обработки [6,8–10, 13]. На волнах есть микронеровности, тоже увеличивающие путь тока высокой частоты. Их высота R_Z, шаг S_M [8] и характер распределения носят вероятностный характер [13], а профиль близок к эллипсу [6]. С учетом изложенного и нормального закона распределения волн и микронеровностей на пове­рхности токопроводкйка, найдем формулы для определения эффективной длины и эффективного рабочего сечения токопроводника с волнами и микронеровностями эллипсного типа.

Для определения длины волны с профилем эллипсного типа воспользуемся параметрическим интегралом длины дуги [8]:

 (26)

и уравнением эллипса в параметрической форме [15]:

 (27)

где 0<t<π/2; 2а - большая ось (S_B,); 2b - малая ось (2W_B); - численный эксцентриситет эллипса.

С учетом (26 и 27), длина четверти обвода дуги у волны эллипсного типа равна:

 (28)

Решение (28) получено в следующем виде [15]:

 (29)

где функция  – полный эллиптический интеграл Лежандра первого рода, значения которого табулированы [12].

Заменив в (29) "а" и "b" для расчета длины одной волны эллипсного типа на поверхности токопроводника, получим следующую формулу:

, где  . (30)

С учетом общего числа волн по длине токопроводника, равного , длина пути тока высокой частоты при волнистости эллипcного типа равна:

 (31)

При волнистости синусоидального типа выражение для расчета эффективной длины токопроводника получено в следующем виде:

 (32)

где  – полный эллиптический интеграл Лежандра второго рода;  

Стандарта на волнистость поверхности в нашей стране пока нет, поэтому не установлена взаимосвязь параметров волны  и  от вида механической обработки, класса волнистости и чистоты обработки поверхности. Существуют рекомендации стандарта PC 3951-73, согласно которым числовые значения параметров волнистости следует выбирать из ряда  в соотношении  [6,9,10,13]. Основываясь на этом, произведем оценку влияния волнистости эллипсного типа на увеличение пути прохождения тока высокой частоты по проводнику. Для этого вычислим коэффициент интеграла Лежандра первого рода:

Полученному значению  соответствует [12] эллиптический интеграл первого рода . Следовательно, при эллипсном профиле волны и рекомендуемом стандартом PC 3951-73 отношением высоты к шагу волны, увеличение длины пути тока высокой частоты составит более 27 %. Для определения фактического увеличения длины пути тока по профилограммам поверхности конкретного токопроводника необходимо найти высоту и шаг волны и рассчитать по (31 или 32).

На волнах имеются микронеровности, характеризующие шероховатость поверхности токопроводника и увеличивающие путь тока высокой частоты. Обусловлено это тем, что их высота  и шаг  в рассматриваемом диапазоне частот (до 100 МГц) соизмеримы с глубиной проникновения тока высокой частоты в проводник. Параметры и характер распределения микронеровностей на профиле волны носят вероятностный характер [9, 10, 13], а их профиль наиболее близок к эллипсу вращения [13]. На основании отмеченного, для определения длины единичной микронеровности () на поверхности волны можно воспользоваться выражением (31) в следующем преобразованном виде:

, где .(33)

При нормальном законе распределения микронеровностей [13]* по длине токопроводника, их общее количество  вдоль пути тока равно отношению:

. (34)

Подставив (33 и 34) в (31 и 32), получим следующие выражения для общей длины пути тока высокой частоты  при волнах эллипсного (э) и синусоидального (с) типа:

 (35)

 (36)

Оценка показала, что при величине шероховатости на волнах, равной глубине проникновения тока высокой частоты в проводник, увеличение его пути за счет совместного влияния волн и шероховатостей на них может составлять более 50 %.

Поперечная волнистость и шероховатость на ней, направленные в тело токопроводника, уменьшают его эффективный периметр, а следовательно, и . С учетом поперечной волнистости, формулы для эффективного рабочего сечения цилиндрического (ц) и плоского (п) токопроводников в работе получены в следующем виде:

 (37)

 (38)

где в [] скобках – приведенные периметры токопроводников, с учетом поперечной волниотости и шероховатости на ней.

 В свою очередь, продольные волны (пр.в), направленные вдоль пути тока, увеличивают приведенный периметр токопроводника по аналогии с (35 и 36). Учитывая отмеченное, а также принимая во внимание (37 и 38), в работе получены следующие выражения для  на высокой частоте реальных токопроводников:

·     для круглого (цилиндрического) токопроводника:

 (39)

 (40)

·     для плоского токопроводника:

 (41)

 (42)

Подставив (39–42), соответственно в (12 и 25), получим следующие выражения для расчета комплексного сопротивления реальных токопроводников цилиндрического  и прямоугольного  сечения на высокой частоте:

·     при волнистости эллипсного типа:

·     ; (43)

; (44)

·     при волнистости синусоидального типа:

·     ; (45)

·     ; (46)

Поскольку комплексное сопротивление на высокой частоте определяется выражением [16]:

; (47)

то, выделив из (43–45) действительную и мнимую части, получим следующие выражения для омического сопротивления R(f) и индуктивности L(f) реальных токопроводников круглого и прямоугольного сечения на высокой частоте:

·     при волнистости эллипсного типа:

; (48) ; (49) ; (50) ; (51)

·     при волнистости синусоидального типа:

; (52)

; (53) ; (54) ; (55)

Рассчитав по соотношениям (47–55) активное сопротивление и индуктивность реальных токопроводников ВВПК, можно оценить их частотные характеристики и тепловой режим работы.

Заключение

Из полученных соотношений следует, что для снижения активного сопротивления и индуктивности ВВПК на высокой частоте, а следова­тельно, повышения предельной рабочей частоты и допустимого тока, их токопроводники должны иметь большой периметр, малую длину и высокую чистоту обработки внешней поверхности поперек прохождению тока высокой частоты. Одновременно материал токопроводников должен быть высокопроводящим и немагнитным.

Наряду с отмеченным, теоретические исследования позволяют сде­лать важный для практики вывод о возможности существенного увеличе­ния периметра токопроводников путем специального их профилирования в направлении продольных волн, т.е. параллельно направлению тока высокой частоты.

Список литературы:

1.            Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрома­гнитное поле. – М.: Высшая школа, 1986. – 263 с.

2.                 Бочкарев B. C. Особенности работы высокочастотных вакуумных выключателей и переключателей в высокочастотных цепях// Электронная техника. Сер. 5. Радиодетали и радиокомпоненты. – 1985. – Вып. 4 (61). –С. 39–42.

3.                 Бочкарев B. C., Рыбин Г. Я., Ивакин Б. и др. Коммутационные устройства радиоэлектронной аппаратуры. -М.: Радио и связь, 1985. – 264 с.

4.                 Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. – М.: Госэнергоиздат, 1954. – 604 с.

5.                 Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981. – 448 с.

6.                 Виттенберг Ю. Р. Шероховатость поверхностей и методы ее  

оценки. – М.: Судостроение, 1971. – 106 с.

7.                 Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука, 1983. – 176 с.

8.                 Демкин Н. Б., Рыжов Э. В. Качество поверхности и контакт деталей машин . – М.: Машиностроение, 1981. – 144 с.

9.                 Дунин-Барковский И. В., Карташова А. И. Измерение и анализ шероховатости, волнистости и некруглости поверхности. - М.: Машиностроение, 1978. – 232 с.

10.            Дьяченко П. Я. Количественная оценка шероховатости обработанных поверхностей. – М.: Машиностроение, 1952. – 120 с.

11.            Корн Г., Корн Н, Справочник по математике. Пер. с англ, – М.: Наука. – 831 с.

12.            Сегал Б. И., Семендяев К. А. Пятизначные математические таблицы. – М.: Физматгиз, 1962. – 462 с.

13.            Хусу А. П., Виттенберг Ю. Р., Пальмов В. А. Шероховатость поверхностей. Теорико-вероятностный подход. – М.: Наука, 1975. – 344 с.

14.            Шероховатость поверхностей. ГОСТ 2389-73.

15.            Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Части 1, 2. – М.: Наука, 1969. – 546 с.

16.            Шимони К. Теоретическая электротехника. Пер. с нем. – М.: Мир, 1964. – 773 с.