МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ДВУХФАЗНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКОСТИ

​SIMULATION OF FILTRATION OF A TWO-PHASE INCOMPRESSIBLE FLUID ON A PLANE

Nursultan Bolat

Master's Student, Department of Computational Sciences and Statistics, Al-Farabi Kazakh National University,

Kazakhstan, Almaty

Saltanbek Mukhambetzhanov

scientific supervisor, professor of physical and mathematical sciences, associate professor, Al-Farabi Kazakh National University,

Kazakhstan, Almaty

АННОТАЦИЯ

Современная теория фильтрации - это обширная физико-математическая дисциплина, которая занимает прочное место в фундаменте системы знаний о поведении и физической сущности процессов движения различных жидкостей в пористых средах. Статья посвящена математическому моделированию двухфазной несжимаемой жидкости.

ABSTRACT

Modern filtration theory is an extensive physical and mathematical discipline that occupies a firm place in the foundation of the system of knowledge about the behavior and physical essence of the processes of movement of various liquids in porous media. The article deals with the mathematical modeling of a two-phase incompressible fluid.

Ключевые слова: фильтрация; моделирование; двухфазная несжимаемая жидкость.

Keywords: filtration; modeling; two-phase incompressible fluid.

Вывод двухмерных уравнений Маскета - Леверетта, проведенный в работе А. Н. Коновалова, здесь дополнен учетом источников воды и нефти, при этом от полученных уравнений нетрудно перейти к трехмерному случаю с учетом гравитационных сил.

Движение жидкости в пористой среде называется фильтрацией. Характеристикой пористости служит отношение объема пор к общему объему . Уравнение неразрывности с учетом пористости примет вид

                                                        (1)

где W - вектор скорости фильтрации. Для уравнения импульса в теории фильтрации делается ряд допущений, которые приводят к закону Дарси:

W = - grad Ф ,

где

                                                                      (2)

Если рассматривается изотермическая фильтрация, то система уравнений (1)-(2) при  замыкается уравнением состояния

                                                                          (3)

Здесь  плотность;  давление;  ускорение свободного падения; Н - расстояние от рассматриваемой точки среды до некоторой фиксированной поверхности; m - динамическая вязкость; k - проницаемость.

Рассмотрим совместное течение через пористую среду двух несмешивающихся жидкостей - нефти и воды. Насыщенность i-й фазы определится как отношение

                                                                  (4)

Из этого следует, что

                                                                       (5)

Разность фазовых давлений есть капиллярное давление:

                                                               (6)

Закон Дарси для многофазного течения имеет вид :

                                                   (7)

где

                                                          (8)

,             (9)

относительные фазовые проницаемости, которые, как и капиллярное давление, определяются экспериментально [2].

Договоримся считать как пористую среду, так и обе жидкости

несжимаемыми. Тогда из условия сохранения массы и учета источников воды и нефти получаем уравнения:

                                                  (1.10)

где нефтенасыщенность; водонасыщенность; соответствующие расходы нефти и воды.

Преобразуем уравнения (10). Подставим вместо  его значение из обобщенного закона Дарси (1.7):

                                                   (1.11)

где

Продифференцируем капиллярное давление  по t и учтем определение потенциала  из (8). Получим

Так как , то . Поэтому уравнения (10) преобразуются к виду

                                       (12)

В качестве искомых функций выберем  :

Пусть

Вычитая и складывая уравнения из (1.12), получаем:

                     (13)

Постановка задачи о фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости в функциях  , а также в потенциалах Ф_i дана Дугласом, Писменом и Рэкфордом [1].

Введем вектор  тогда

Подставим это выражение в первое из уравнений (13), одновременно заменив в правой части этого уравнения  на . Получим

                          (14)

По правилам векторного анализа:

Из опреления функции Баклея - Леверетта:

получим равенство

Кроме того, складывая уравнения (10) и учитывая  получаем

                                                             (15)

Поэтому (13) принимает вид

Если исключить из рассмотрения гравитационные силы:

или

Учитывая (7) , получаем

                           (16)

Перепишем (13) с преобразованным в (16) первым уравнением:

                                    (17)

В качестве искомых функций выберем S водонасыщенность и Ф= 0,5(P₁ + P₂) cуммарное давление. Для численного моделирования cформулируем задачу. В цилиндре Q={D x (0<t<T)} c границей g ищется решение системы уравнений (9), удовлетворяющее следующим условиям:

                                                          (18)

                                                                    (19)

Для насыщенности воды на границе цилиндрической зоны ставится условие Дирихле или Неймана.

Особенностью исследуемой проблемы является то, что вычислительные алгоритмы основаны на известных результатах работы [2-3], после чего нами был проведен сравнительный анализ, включающий производные времени относительно насыщения воды. Сравнительный анализ проведен с конкретными технологическими показателями конкретного месторождения.

При изучении математической модели изучаются и качественные свойства решений: асимптотическое поведение решения с неограниченным увеличением времени, периодические решения во времени, свойства автоматических модельных решений в двумерных условиях. Эти свойства решений играют важную роль в построении вычислительных алгоритмов и численной реализации реальных задач на компьютере.

Список литературы:

1. Мухамбетжанов С.Т., Неверный А.М. О применении метода фиктивных областей для модели трехфазной жидкости // Материалы IV-ой Международной Казахстанско-Российской научно-практической конференции «Математическое моделирование научно- технологических и экологических проблем нефтегазодобывающей промышленности». – Алматы, 2003. - С. 242-246.
2. Ахметжанов М.С., Мухамбетжанов С.Т.  Решение плановой задачи о движении контактной границы раздела двух несмешивающихся жидкостей  // Материалы II Международной научно-методической конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке», посвященной 75-летию АГУ им. Абая, 6-8 октября 2003г. – Алматы, 2003. - С. 43-46
3. Мухамбетжанов С.Т., Уразмаганбетова Э.У. Применение метода слабой аппроксимации для решения одной задачи магнитной гидродинамики // Материалы II Международной научно-методической конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке», посвященной 75-летию АГУ им. Абая, 6-8 октября 2003г. - Алматы, 2003. -  С. 256-261