ПРИЛОЖЕНИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

​АННОТАЦИЯ

В статье приведены определения несобственных интегралов первого и второго рода. Приведены некоторые приложения несобственных интегралов и известные виды несобственных интегралов.

ABSTRACT

The article provides definitions of improper integrals of the first and second kind. Some applications of improper integrals and known types of improper integrals are given.

Ключевые слова: несобственные интегралы, бесконечные пределы интегрирования, точки разрыва функции.

Keywords: improper integrals, infinite limits of integration, points of discontinuity of the function.

Введение

Изучая математический анализ на первом курсе университета, мы познакомились с определениями и методами вычисления неопределенного и определенного интеграла, рассмотрели различные приложения. Определенный интеграл имеет приложения в разных областях науки. С помощью определенного интеграла можно вычислить площади криволинейных трапеций, объемы тел вращения, длину дуги кривой, статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, работу, давление и др. В данной статье мы поставили цель изучить несобственные интегралы, а также рассмотреть приложения несобственных интегралов, рассмотреть в каких задачах используются несобственные интегралы.

Материалы и методы

Сначала приведем определения несобственных интегралов. Несобственные интегралы бывают двух видов: несобственный интеграл первого и второго рода.

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на некотором интервале [a, ¥). Предел  называется несобственным интегралом первого рода от функции f (x) на интервале [a, ¥). Можно представить в виде: . Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов первого рода аналогичного вида: ,  (с – произвольное число).

Приведем некоторые примеры вычисления интегралов.

1. – предел не существует. Несобственный интеграл расходится.

2. – интеграл сходится.

Если функция f (x) в точке х = b либо неопределена, либо разрывна, тогда вычислить определенный интеграл на отрезке [a; b] можно с помощью предела: . Такой интеграл  называют несобственным интегралом второго рода.

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл  – сходится. Если предел в правой части не существует или бесконечен, то несобственный интеграл  – расходится.

Аналогично, если в точке х = а функция терпит разрыв, то . Если функция f (x) имеет разрыв в точке c на промежутке [a, b], то . Таких точек внутри отрезка может быть несколько. Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.

Приведем некоторые примеры вычисления несобственных интегралов второго рода.

1. 

. Несобственный интеграл расходится.

2. 

. Несобственный интеграл расходится.

3. . Несобственный интеграл сходится.

4. . Вычислим определенный интеграл.

– несобственный интеграл сходится.

При вычислении несобственных интегралов возникает две задачи: первая задача – вычисление определенного интеграла, вторая задача – вычисление предела. При вычислении определенного интеграла можно использовать различные методы интегрирования, которые применяются для определенного интеграла: метод интегрирования по частям, метод интегрирования заменой, интегрирование дробей и др. При вычислении предела необходимо так же применить различные методы вычисления пределов функций.

Рассмотрим в каких задачах могут возникнуть несобственные интегралы, изучим приложения несобственных интегралов.

Несобственные интегралы можно применять в различных геометрических приложениях определенных интегралов, когда заданные функции будут иметь точки разрыва в области здания или будут определены на бесконечных промежутках.

При вычислении площади неограниченной криволинейной трапеции. Фомула с помощью несобственного интеграла первого рода: пусть функция f (x) определена и непрерывна на [a, ∞), тогда площадь фигуры, ограниченной осью Oх и функцией f (x), равна  и существует, если несобственный интеграл сходится.  Формула с помощью несобственного интеграла второго рода: пусть функция f (x) не определена в какой-то точке отрезка [a; b], тогда площадь фигуры, ограниченной осью Oх и функцией f (x), равна  и существует, если несобственный интеграл сходится. Приведем примеры.

Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной осью Ох и функцией , при х от 1 до ∞. Построим график функции (рис. 1).

Рисунок 1. График функции

Получим, что площадь  (кв. единица). Площадь существует и равна 1 квадратной единице.

Пример. Пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной осью Ох и функцией , при х от 0 до . Построим график функции (рис. 2). В точке  функция  имеет разрыв. Вычислим интеграл второго рода.

Рисунок 2. График функции

Получим, что площадь  (кв. единицы). Площадь существует и равна 2 квадратные единицы.

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл, который называется интегралом Эйлера-Пуассона: . Если рассмотреть кривую , которая называется кривой Гаусса, то площадь под данной кривой на промежутке от (– ∞; +∞)  получится равной  (как сумма вероятностей всех возможных исходов опыта).

Приведем еще примеры известных несобственных интегралов, которые применяются в различных задачах.

Интеграл Эйлера второго рода или Г(гамма)-функция: .

Интеграл Фруллани: .

Интеграл Дирихле: .

Интегралы Френеля:  и .

Интегралы Лапласа:  и .

Широко несобственные интегралы применяются в задачах математической физики при применении интегральных преобразований.

Вывод

Таким образом можем заключить, что несобственные интегралы имеют широкие приложения в различных задачах науки и техники. Поэтому необходимо знать их определение и уметь их вычислять.

Список литературы:

1. Хозяинова М. С. Тренировочные задачи и упражнения по математике для студентов технических вузов. Начала математического анализа : учеб. пособие / М. С. Хозяинова, М. Г. Рочева, Е. В. Хабаева. – Ухта : УГТУ, 2018. – 220 с.
2. Интегралы, зависящие от параметра : учебно-методическое пособие / Б. А. Кац, Г. Д. Луговая, Г. Ш. Скворцова – Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2020 – 26 с.