ТРАНСЦЕНДЕТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ЗАДАНИЯХ ЕГЭ

​АННОТАЦИЯ

Трансцендентные уравнения играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры школьников. Разработка направлена на расширение спектра системных технологий, используемых для решения уравнений и развития навыков мышления. Чтобы получить высокий балл при сдаче единого государственного экзамена, необходимо решить задачу возрастающей сложности, которая включает в себя задание 15, включающее экспоненциальные или логарифмические неравенства. В этой статье рассматриваются понятия трансцендентных уравнений и неравенств, а также один из методов рационализации решений.

Ключевые слова: образование, математика, ЕГЭ, методика, трансцендентные уравнения, неравенства.

Трансцендентные уравнения и неравенства играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Но их решение вызывает затруднения, поскольку задачи такого типа "вскользь" представлены в базовых курсах математики.

В дополнение к уравнениям и неравенствам, которые включены в предметы итоговой аттестации по курсам средней школы, КИМы и конкурсные экзамены единого государственного экзамена, методы их решения должны обеспечивать подготовку учащихся к поступлению в университет и продолжению образования.

В основной математике различают два типа неравенств: алгебраические и априорные (экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические функции).

Трансцендентные уравнения не являются алгебраическими уравнениями. Как правило, эти уравнения включают экспоненциальные функции, логарифмические функции, тригонометрические функции и обратные функции. Более строгое определение выглядит следующим образом:

Латеральное уравнение - это уравнение вида , где функции  и  являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.

За последние три года в контрольно-измерительных материалах было предложено  задач, в которых необходимо решать сложные неравенства, включающие экспоненциальные или логарифмические функции.

За прошедший год были выявлены типичные ошибки при решении уравнений и неравенств:

Пренебрежение признаком неравенства;

Непонимание алгоритма решения логарифмических неравенств;

Неправильное отображение решения на оси координат.

Очень много ошибок было допущено при решении той части заданий, в которой содержатся рациональные неравенства (например: забыли знаменатель).

В школьной практике использование классических алгебраических методов позволяет устранять сложные различия на стандартизированных государственных экзаменах, которые вызывают много трудностей у учащихся. Любое отклонение, не связанное с "успешным" преобразованием или изменением переменной, может быть сведено к стандартной форме неравенства, и в этом случае может быть использовано конкретное решение. В этом случае иногда может помочь использование других (нестандартных) решений. Обычно нестандартные методы — это методы, которые не отражены в учебниках и школьной практике, но во многих случаях они эффективны и значительно упрощают решение задач [1].

Метод рационализации - один из самых "нестандартных" методов, который может быть использован для решения всех более сложных неравенств (включая логарифмические или экспоненциальные функции или их комбинации).

Термин «рационализировать» происходит от латинского слова «ratio- причина». Следовательно, рационализацию следует понимать как совершенствование деятельности по совершенствованию механизмов и методов ее осуществления.

Рационализация сложных допусков заключается во внедрении более удобных процедур для упрощения алгоритма решения.

Цель этой работы - применить метод доказательства для решения проблемы априорного неравенства и определить ключевые рекомендации по овладению методом. Этому методу около 50 лет. Термин "рационализация неравенства" впервые появился в 1969 году в журнале «Математика» № 3 в статье Дорофеева Г.В. «Обобщенный метод интервалов». В книге Моденова В.П. «Пособие по математике» за 1972 год будет назван методом декомпозиции.

В последнее время метод рационализации становится все более популярным, поскольку он позволяет упростить и сократить время, необходимое для решения сложных экспоненциальных и логарифмических неравенств.

Метод рационализации основан на концепции математической эквивалентности данных и реализован в виде алгоритма рационализации, то есть путем использования знаковых параболических преобразований в области выражений комплексных чисел для выполнения  на более простое выражение  (в конечном счете, рациональное), при котором неравенство  равносильно неравенству . В этом случае говорят, что выражение  является рационализацией для выражения [1, 3]. Метод рационализации используют при решении неравенств вида  (символ  означает один из знаков неравенств  ), в которых выражение  удается рационализировать. Теоретической основой этого метода является концепция эквивалентности неравенств и природы функций одной переменной. Если неравенства  и  эквивалентны, это выражается как . Эквивалентное преобразование используется для исключения знаков степени и логарифма в неравенстве и сведения неравенства к более простому рациональному неравенству (может быть решено методом запятой). Отметим, что функции  и  являются монотонными во всей своей области определения, причём при  они являются возрастающими, а при -убывающими.

Приведем некоторые методические рекомендации по алгоритму решения показательных и логарифмических неравенств методом рационализации.

Если правая часть исходного неравенства не является нулем, то приводим заданное неравенство к виду .

Привести неравенство  к каноническому виду, где множители   и  представляют собой рациональные, показательные и логарифмические функции. Каждый из множителей  и  должен быть линейным.

Если любой из множителей можно рационализировать, то следует заменить его на совпадающий с ним по знаку по соответствующим формулам. Представим некоторые выражения, для которых можно использовать метод рационализации, в виде таблицы. Во втором столбце - функция  , которую рационализируют. В третьем столбце - функция  - знакосовпадающая с функцией  на области её (допустимых значений) определения. В четвертом столбце указывается область определения функций.

Исходное неравенство преобразуется в систему: рационализированное неравенство и ОДЗ исходного неравенства. При решении системы неравенств с одной переменной обычно решается каждое неравенство, затем находится пересечение полученных наборов решений.

Большинство учеников забывают о том, из-за чего найти решения неравенства не представляется возможным. В этом случае методы обоснования могут более легко решить проблему неравенства.

Таким образом, использование методов рационализации расширяет возможности для решения задач. В этом его практическое значение. Методы рационализации позволяют не только упростить решение и сократить время на устранение сложных несоответствий, но и уменьшить количество ошибок и увеличить количество обучающих, инициирующих и решающих задание ЕГЭ № 15 на итоговом экзамене.

В контексте перехода от общего образования к новым образовательным стандартам многие учителя задавали вопросы об уникальной природе и характеристиках стандартов нового поколения, типах государственного образовательного поведения и способах формирования этого поведения в разных дисциплинах. Их курс — это, наконец, курс по методам контроля и мониторинга универсальных учебных действий. Учителя хотят точно знать, что нужно делать на каждом уроке математики, чтобы сформировать адаптацию, когнитивные способности и другие общие учебные действия.

Список литературы:

1. Корянов А.Г., Прокопьев А.А. Методы решения логарифмических неравенств. // «Математика для школьников». М.: «Школьная пресса», 2017. № 6. С. 3-11. № 7. С. 3-11.
2. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы. Учебно-методическое пособие / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. М.: Дрофа, 2001.
3. [Электронный ресурс]. Режим доступа: www.alexlarin.narod.ru - сайт по оказанию информационной поддержки студентам при изучении различных разделов высшей математики и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ/ (дата обращения: 10.02.2021).