Телефон: +7 (383)-202-16-86

Статья опубликована в рамках: LXIV Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов XXI столетия. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ» (Россия, г. Новосибирск, 31 мая 2018 г.)

Наука: Физика

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции

Библиографическое описание:
Астапов Я.И. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ СТУДЕНТАМИ ИНЖЕНЕРНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ АГРАРНЫХ ВУЗОВ // Научное сообщество студентов XXI столетия. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ: сб. ст. по мат. LXIV междунар. студ. науч.-практ. конф. № 5(63). URL: https://sibac.info/archive/nature/5(63).pdf (дата обращения: 31.03.2020)
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 25 голосов
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ СТУДЕНТАМИ ИНЖЕНЕРНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ АГРАРНЫХ ВУЗОВ

Астапов Ярослав Игоревич

студент инженерного факультета ИрГАУ им. А.А. Ежевского,

РФ, г. Иркутск

Научный руководитель Голышева Светлана Павловна

канд. пед. наук, доцент кафедры математики ИрГАУ им. А.А. Ежевского,

РФ, г. Иркутск

Аннотация. В данной статье рассматривается уравнение колебания струны и его решение методом Даламбера и методом Фурье. Постановка задачи носит прикладной характер; относятся к задачам инженерно-технического профиля, что позволит студентам инженерных направлений: 1) повысить знания не только по математике, но и по физикеи другим смежным дисциплинам; 2) повысить уровень профессиональных компетентности.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, решение дифференциального уравнения, метод Даламбера, метод Фурье, колебание струны.

 

Известно, что многие процессы, происходящие в природе, описываются дифференциальными уравнениями, например, рост бактерий; рост популяции некоторых видов животных; движение маятника; процесс теплопроводности; колебание струны и т.д. Симоненко О.Д. отмечает, что с внешней стороны математизация технических наук может быть охарактеризована как последовательное расширение и усложнение применяемых в инженерии математического аппарата и методов. Внутренняя, сущностная сторона математизации технических наук может быть раскрыта на основе исследования функций и роли математики в формировании и функционировании технических теорий и анализа их изменений в процессе развития технических наук [2].

Для студентов инженерно-технических направлений наибольший интерес представляет колебание струны. Струной называется тонкая нить, которая может свободно изгибаться [1, с. 242]. Известно, что отклонение точек струны от положения равновесия в момент времени определяется дифференциальным уравнением

,                                         (1)

где , ,  – масса единицы длины (линейная плотность струны),  – сила, действующая на струну перпендикулярно  оси абсцисс и рассчитанная на единицу длины. Если внешняя сила отсутствует, то получим уравнение свободных колебаний струны

.                                            (2)

При начальных условиях задачи, то есть если задать уравнение колебания струны в начальный момент времени  и начальную скорость движения струны

, ,                                 (3)

частное решение уравнения (2) будет иметь вид

                       (4)

Формула (4) называется формулой Даламбера.

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Описать колебание струны при начальных условиях, в момент времени , если его движение описывается уравнением.

Решение. Ясно, что,, (см. условия (2) и (3)). Тогда по формуле (4) получим:

.

Пример 2. Найти форму струны, определяемой уравнением , если ,    .

Решение. В нашем случае , . Тогда частное решение будет иметь вид

 

.

Рассмотрим случай, когда свободное колебание струны происходит при наличии начальных и краевых (или граничных) условий. Итак, если движение струны описывается уравнением (2), удовлетворяющим начальным условиям (3) и граничным условиям

, ,                                                (5)

то решение данного уравнения может быть представлено в виде бесконечного ряда:

,                              (6)

где

,        .                    (7)

Данный метод нахождения решения уравнения (2), называется методом Фурье.

Пример 3. Дана струна, закрепленная на концах  и . В начальный момент времени форма струны задается уравнением . Описать колебание струны при любом, если начальная скорость выражается формулой

Решение. Из условия (5) следует, что , при и вне этого интервала. По формулам (7) найдем коэффициенты и .

.

.

Таким образом, получим решение

Пример 4. Струна, закрепленная на концах  и , в начальный момент форму . Найти форму струны для любого момента времени , если начальные скорости отсутствуют [1, с.247].

Решение., . Тогда или при .

Таким образом, колебание струны описывается уравнением

,

удовлетворяющим данным начальным и краевым условиям.

На наш взгляд, владея математическими методами, студенты инженерных направлений должны научиться решать профессиональные инженерные задачи и «уметь физически интерпретировать сложные формализованные решения» [2].

 

Список литературы:

  1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2: Учеб. пособие для студентов втузов. -3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа,1980. – 365 с.
  2. Симоненко О.Д. Математика и технические науки. [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: https://www.portal-slovo.ru/impressionism/36325.php
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 25 голосов
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Комментарии (2)

# Варвара 07.06.2018 08:06
Молодец!
# татьяна 07.06.2018 11:07
очень умная, занимательно-поучающая статья

Оставить комментарий

Уважаемые коллеги, издательство СибАК с 30 марта по 5 апреля работает в обычном режиме