К  ВОПРОСУ  О  ПРОЦЕССЕ  РЕШЕНИЯ  МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  ЗАДАЧИ

Николаенко  Елена

ученица  10  «А»  класса  ГБОУ  СОШ№  285,  г.  Москва

Николаенко  Софья

ученица  11  «А»  класса  ГБОУ  СОШ№  285,  г.  Москва

Михов  Константин

ученик  6  «А»  класса  ГБОУ  СОШ№  285,  г.  Москва

Козлова  Екатерина  Николаевна

научный  руководитель,  заслуженный  учитель  РФ,учитель  математики,  психолог,  ГБОУ  СОШ№  285,  г.  Москва

E-mail:  en285@yandex.ru

 

Чтобы  хорошо  решать  математические  задачи,  чётко  контролировать  свои  действия  в  процессе  решения,  нужно  иметь  представления  о  структуре  решения  задачи.

Нам  представляется  важным  для  овладения  навыками  решения  задач,  то,  насколько  каждый  из  нас,  учеников,  понимает  последовательность  этапов  решения  задачи,  насколько  мы  осознаем  свои  действия.  В  процессе  диалога  с  учителем  на  занятиях  нашего  НОУ  «Математика  +  Психология»  мы  изучаем  психологические  механизмы  действий  в  ситуации  решения  задачи,  учимся  не  бояться  трудных  задач  и  вырабатываем  пути  решения,  способы  проработки  задачи.

Многие  авторы  (педагоги,  психологи  и,  в  частности,  наш  руководитель  НОУ  —  учитель  математики  и  психолог  Козлова  Е.Н.)  отмечают,  что  решение  задачи  не  заканчивается  на  этапе  осуществления  плана  и  получения  результата,  т.  к.  очень  важным  этапом  является  проверка,  которая  может  привести  к  выявлению  новых  фактов,  к  возможной  коррекции  результата  и  даже  переходу  к  новому  витку  решения.  Этап  исследования,  проверки  является  заключительным  в  решении  задач  [1;  2;  4;  5;  6].

Так,  например,  Л.М.  Фридман  выделяет  следующие  этапы  процесса  решения  арифметических  задач:

1.Анализ  состава  задачи. 

2.Поиск  плана  решения.

3.Осуществление  найденного  плана,  доказательство,  что  полученный  результат  удовлетворяет  требованию  задачи. 

4.Обсуждение  проведенного  решения,  позволяющее  проанализировать  его  с  точки  зрения  рациональности  и  поискать  другие  способы  решения  [6].

Психолог  Н.А.  Менчинская  говорила  о  значении  переформулировки,  упрощении  и  схематизации  задачи.  Ею  были  выделены  следующие  этапы  решения  трудной  задачи:

1.  Осознание  задачи  как  проблемы,  способы  решения  которой  еще  не  известны.

2.  Разбиение  задачи  на  искомые  и  данные.

3.  Выявление  зависимости  между  искомыми  и  данными,  часто  сопровождаемое  выдвижением  гипотез  и  их  частичной  проверкой.

4.  Осуществление  решения.

5.  Проверка  решенной  задачи  [2].

Д.  Пойа  работал  над  выявлением  закономерностей  процесса  решения  задач  и  выдвинул  такие  этапы  решения  задачи:

1.  Осознание  постановки  задачи. 

2.  Составление  плана  решения. 

3.  Осуществление  выработанного  плана  и  получение  результата. 

4.  Исследование,  проверка  полученного  решения. 

Как  видим,  у  многих  авторов  процесс  решения  задачи  включает  в  себя  следующие  этапы:

·     анализ  ситуации;

·     планирование;

·     выполнение  намеченного  плана  (операционный  этап);

·     исследование,  осмысление  результата  [4].

Мы  учимся  решать  задачи,  и,  зачастую,  понимаем  этот  процесс  как  выработку  навыков  этапа  выполнения  плана  (решая  по  готовым  алгоритмам  и  образцам).

Иногда  получается  так,  что  мы  только  анализируем  условие  задачи,  выбираем  один  из  знакомых  алгоритмов  и  выполняем  действия.  Но  каждый  раз,  решая  задачу  (особенно,  трудную)  надо  помнить,  что  кроме  этапа  планирования,  который  психологи  называют  самым  творческим  этапом  решения  любой  задачи,  существует  этап  исследования  —  этап,  на  котором  происходит  осмысление  полученного  результата.  Этот  этап  очень  важен,  его  нельзя  забывать,  так  как  можно  пропустить  смыслы  и  случаи,  иногда  кардинально  влияющие  на  окончательный  ответ  задачи.

На  примере  некоторых  заданий  можно  посмотреть,  как  осуществляются  эти  важные  этапы  решения  задачи.

Казалось  бы,  перед  нами  стоит  совсем  простая  задача:  освободиться  от  иррациональности  в  знаменателе  дроби:

 

 

Как  это  сделать?

«Пройдёмся»  по  выше  указанной  схеме.

1.  Анализ.

Что  можно  сказать  о  выражении  ? 

При  каких  значениях  а  и  b  имеет  смысл  выражение?

Во-первых,  выражение  имеет  смысл  при  ,  во-вторых,  а  и  b  одновременно  не  равны  нулю.

2.  Планирование.

Надо  умножить  числитель  и  знаменатель  дроби  на  выражение,  сопряженное  выражению,  стоящему  в  знаменателе  дроби.

3.  Этап  осуществления  плана.

 

4.  Проверка,  осмысление  результата.

Выражение  имеет  смысл,  если  ;  причем

Получается,  что  область  допустимых  значений  переменных,  о  которой  мы  говорили  на  этапе  анализа  решения  задачи,  «сузилась»,  так  как  мы  «потеряли»  пары  чисел  (a;b)  таких,  что  a=b  (разумеется,  по-прежнему,  а  и  b  одновременно  не  равны  нулю,  причём  a  >  0;  b  >  0).

 

 

Если  a=b,  тогда  имеем:

причем:  a  >  0.

Итак,  получаем  ответ: 

 

 Конечно,  это  несложный  пример  и  цепочка  «анализ  —  планирование  —  операционный  этап  —  осмысление»  срабатывает  очень  быстро.  Но,  иногда  встречаются  трудные  задания,  которые  в  первый  момент  откровенно  пугают  нас,  школьников,  например,  как  это  может  произойти  при  решении  следующего  задания.

Упростить  выражение:

   [3].

Здесь  хорошо  «работает»  схема,  предложенная  психологом  Н.А.  Менчинской.

Проводим  анализ. 

Рассмотрим  подкоренные  выражения  всех  арифметических  квадратных  корней,  входящих  в  данное  выражение: 

1.  .Выражение  должно  быть  неотрицательно,  но  вернёмся  к  нему  позже; 

2.  ;  —  с  этими  выражениями,  пожалуй,  пока  сделать  ничего  нельзя,  хотя  сразу  возникает  гипотеза  о  том,  что,  возможно,  в  них  «скрываются»  квадраты  выражений.  Также  заметим,  что  первое  –  положительно  при  всех  значениях  а,  и  что  второе  выражение  должно  быть  неотрицательно.

3.  ;  .

Применяем  известные  алгоритмы  преобразования  первого  выражения:    

«Появилась»  проблема,  при  каких  значениях  a  могут  одновременно  существовать  выражение  ,  находящееся  в  числителе  дроби  и  выражение,  находящееся  в  знаменателе  этой  дроби? 

Далее  возникает  план  действий:  найти  такие  значения  a.

Можно  заметить,  что  при  всех  действительных  значениях  параметра  a:    ,  ,  кроме  того,  выражения  x² - 9  и  9 - x² противоположны. 

Т.к.  подкоренное  выражение  второго  арифметического  квадратного  корня  в  числителе  дроби  неотрицательно:    и  при  этом  подкоренное  выражение  корня  в  знаменателе  дроби  положительно:,  то  получаем  из  последнего  неравенства,  что  ,  9 - x² > 0 а,  значит,  x² - 9 < 0,  т.е.  из  неравенства  следует,  что 

Подставляем  найденное  значение  a  в  исходное  выражение,  имеем: 

 

 

 

 

Осмысление:  упростив  выражение,  необходимо  учесть,  что  -3 < x < 3 

Ответ:  1,  при  -3 < x < 3

Д.  Пойа  утверждал,  что  «…никакую  задачу  нельзя  исчерпать  до  конца.  Всегда  остаётся  что-нибудь,  над  чем  можно  размышлять.  Обладая  достаточным  упорством  и  проницательностью,  мы  можем  усовершенствовать  любое  решение  или,  во  всяком  случае,  мы  всегда  можем  глубже  осмыслить  решение»  [4],  и  с  этим  утверждением  мы  не  можем  не  согласиться. 

 

Список  литературы:

1.Кричевец  А.Н.  О  математических  задачах  и  задачах  обучения  математике  //  Вопросы  психологии.  1999,  №  1

2.Менчинская  Н.А.  Избр.  психол.  труды  /  Под  ред.  Е.Д.  Божович.  М.:  Изд-во  Моск.  психол.-соц.  ин-та;  Воронеж:  НПО  «МОДЭК»,  2004.

3.Петрушко  И.М.,  Прохоренко  В.И.,  Сафонов  В.Ф.  Математика.  Пособие  для  абитуриентов.  Издательство  МЭИ.  Москва,  2005  год. 

4.Пойа  Д.  Как  решать  задачу.  М.:  Учпедгиз.  1959  г.  С.  40—43,  200—204.

5.Пуанкаре  А.  Математическое  творчество.  М.,  1909.

6.Фридман  Л.М.,  Турецкий  Е.Н.  Как  научиться  решать  задачи.  М.,  1989.