Телефон: 8-800-350-22-65
WhatsApp: 8-800-350-22-65
Telegram: sibac
Прием заявок круглосуточно
График работы офиса: с 9.00 до 18.00 Нск (5.00 - 14.00 Мск)

Статья опубликована в рамках: I Международной научно-практической конференции ««Проба пера» ЕСТЕСТВЕННЫЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ» (Россия, г. Новосибирск, 25 октября 2012 г.)

Наука: Математика

Секция: Алгебра

Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СПОСОБ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ЦЕЛОЙ ЧАСТЬЮ ЧИСЛА)

Ле Тхань Дат

класс 10 ф/м, ГБОУ ПО «Губернский лицей-интернат для одаренных детей», г. Пенза

Цепкова Наталья Михайловна

научный руководитель, учитель математики высшей категории ГБОУ ПО «Губернский лицей-интернат для одаренных детей», соискатель кафедры педагогики и психологии профессионального обучения ПГПУ им. В.Г. Белинского г. Пензы


 


В последнее время всё чаще на олимпиадах, математических конкурсах, а также во многих вариантах ЕГЭ по математике (С6) встречаются задачи, содержащие целую часть числа x.


В различных вопросах теории чисел, математического анализа, теории рекурсивных функций и в других областях математики используются понятия целой и дробной частей действительного числа. В программу школ и классов с углубленным изучением математики включены отдельные вопросы, связанные с этими понятиями, но на их изложение в учебнике алгебры для 9-го класса отведено всего 34 строки [1].


Введём понятие целой части действительного числа и рассмотрим некоторые её свойства.


Определение. Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x.


Свойства целой части:


1.  [x]=x, если x€Z.


2.  [x]≤x<[x]+1.


3.  [x+m]=[x]+m, если m€Z.


Просматривая и анализируя встречающиеся задания, содержащие целую часть числа, мы заметили их однообразие, приводящее к стандартному способу решения – замене какого-либо выражения переменной.


Например, [x+2,6]+[x+3,6]+[x+4,6]=6.


Заменим x+2,6 = y, тогда


 


[y]+[y+1]+[y+2]=6,


[y]+[y]+1+[y]+2=6,


3[y]=3,


[y]=1.


 


Возврат к замене: y= x+2,6, тогда


 


[x+2,6]=1,


1x+2,6<2,


-1,6x<-0,6.


Ответ: [-1,6; -0,6).


 


Рассмотрим другое уравнение, взятое из Межрегиональной олимпиады школьников по математике на базе ведомственных образовательных учреждений 2011—2012 года [3], которое тоже решается с помощью замены:


 


 = .


 


Заменим =k.


 


15x-7=5k,


x=, (1)


=k,


. (2)


 


Подставим вместо х в выражении (2) выражение (1), тогда


 


k<k+1,


40k-3910k<40k+1,


1) 40k-3910k, 2) 10k<40k+1,


k1,3,                 k>.


 


Из 1) и 2) => k=0; k=1.


При k=0 x=;


при k=1 x=0,8.


Ответ: ; 0,8.


Возникает вопрос: а возможно ли встретить уравнение, в котором метод указанных замен не приводит к нахождению результата, и как его решить?


Рассмотрим уравнение: [x+4,3]+[x-2,3]-[x+3,3]=5.


Сложность данного уравнения заключается в неоднозначности числа x.


Пусть x=0,4, тогда [x+0,8]=1; [x+1,2]=1; [x+4,5]=4, а при x=0,8 [x+0,8]=1; [x+1,2]=2; [x+4,5]=5.


Чтобы учесть неоднозначность неизвестного в уравнении с целыми частями, нам надо найти точки, при которых каждое слагаемое изменяет значение целой части на 1. Назовём их критическими точками и рассмотрим конкретный пример.


 


[x+4,3]+[x-2,4]-[x+3,5]=5.


 


x=t+a, t — целая часть числа, a — дробная часть числа.


 


[t+a+4+0,3]+[t+a-3+0,6]-[t+a+3+0,5]=5,


t+t-t+4-3-3+[a+0,3]+[a+0,6]-[a+0,5]=5,


t+[a+0,3]+[a+0,6]-[a+0,5]=7,


 


а=0,7; а=0,4; а=0,5 – критические точки.


 


1) a€[0;0,4),


t+0+0+0=7,


t=7 => 7≤x<7,4.


2) a€[0,4;0,5),


t+1=7,


t=6 => 6,4≤x<6,5.


3) a€[0,5;0,7),


t=7 => 7,5≤x<7,7.


4) a€[0,7;1),


t+1+1+1=7,


t=4 => 4,7≤x<5.


Ответ: [4,7;5), [6,4;6,5), [7;7,4), [7,5;7,7).


Рассмотрим ещё одно задание [2].


Если к десятичной записи натурального числа а приписать справа запятую, а потом некоторый набор бесконечных цифр, то получится десятичная запись такого иррационального числа с, что (2с-3)2=3a2-12c+46. Найдите все возможные значения числа c.


 


[c]=a € N,


c=a+t,


0≤t<1,


(2с-3)2=3a2-12c+46,


4c2-12c+9-3a2+12c-46=0,


4c2-37-3a2=0,


4c2-37-3[c]2=0,


4(a+t)2-37-3a2=0,


(a+t)2=,


a+t=,


t=-a,


 


t=--a — не подходит по условию задачи,


 


0≤-a<1,


1) ≥a,


3a2+37≥4a2,


a2≤37,


a€[-;] => a=6;5;4;3;2;1  (1)


2)  3a2+37<4(a+1)2,


3a2+37<4a2+8a+4,


a2+8a-33>0 => a>3 (2)


 


Из (1) и (2) => a=4;5;6.


 


c=a+t=a+-a=.


 


При а=4 c=.


При а=5 с=2.


При а=6 с=.


Рассмотренные три способа замены позволяют успешно решить многие задачи с целой частью числа, таким образом повышая возможность выпускников школы получить более высокий балл на ЕГЭ.


 

Список литературы:


1.Алгебра для 9-го класса: учебное пособие для учащегося школ и классов с углубленным изучением математики/ Н.Я. Виленкина — М., Просвещение, 1995 года.


2.Математика. Подготовка у ЕГЭ-2010/ Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2009. — 480 с. — («готовимся к ЕГЭ»).


3.Межрегиональное олимпиада школьников по математике на базе ведомственных образовательных учреждений. 2011—2012 год. Режим доступа: [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: www.academy.fsb.ru

Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Комментарии (1)

# Павлова Елена 29.10.2012 18:01
Мне, как учителю математики, статья показалась очень нужной. В этом году одно из заданий олимпиады ПВг как раз с целой частью числа. Спасибо!!!!!!!

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.