Телефон: 8-800-350-22-65
WhatsApp: 8-800-350-22-65

Статья опубликована в рамках: Научного журнала «Студенческий» № 7(7)

Рубрика журнала: Математика

Скачать книгу(-и): скачать журнал часть 1, скачать журнал часть 2, скачать журнал часть 3

Библиографическое описание:
Желтова Д.А., Быстрова Д.И., Мезенцева А.С. БЫТОВОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ // Студенческий: электрон. научн. журн. 2017. № 7(7). URL: https://sibac.info/journal/student/7/78056 (дата обращения: 26.09.2021).

БЫТОВОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Желтова Дарья Алексеевна

студент факультета «экономика» РАНХиГС,

РФ, г. Калуга

Быстрова Дарья Игоревна

студент факультета «экономика» РАНХиГС,

РФ, г. Калуга

Мезенцева Анна Сергеевна

канд. техн. наук, доц., кафедра естественнонаучных и математических дисциплин, РАНХиГС,

РФ, г. Калуга

В последнее время среди людей всех возрастов, заботящихся о своей фигуре и здоровье, стало популярно нормирование потребления жиров, белков и углеводов. Кроме того, многие придерживаются подобранных самостоятельно или с помощью специалистов норм калорийности пищи. 

Одно из главных достоинств данного способа питания – длительное сохранение результата. Также он позволяет улучшить параметры фигуры щадящим организм и психику способом, поскольку учитывает режим бодрствования человека («сова» или «жаворонок»), территорию проживания (у разных народностей привычки в питании, обычно, различны), любимые продукты (что упрощает процесс привидения тела в форму даже для сладкоежек) и не требует категоричного отказа от какой бы то ни было еды. Здесь главное – это количество пищи. Таким способом зачастую питаются спортсмены всех категорий.

В математике, а конкретно в линейном программировании, существует метод, позволяющий точно рассчитать необходимое потребление смеси продуктов, опираясь на их калорийность и пищевую ценность. Данные задачи получили название: «задачи о диете» [2].

Рассмотрим конкретный пример. Допустим, для спортсмена необходимо составить такой рацион обеда, при котором он потратил бы наименьшую сумму денег. Итак, дано: питательные вещества (углеводы, белки, жиры и витамины (V1-4)) и два вида продуктов (рис - P1 и куриная грудка - P2). Исходя из необходимого количества питательных веществ, составляется система ограничений [1]. Их необходимый минимум для спортсмена и содержание в каждом из продуктов представлены в таблице ниже.

Таблица 1.

«Содержание числа единиц питательных веществ в рационе»

Питательное вещество

Необходимый минимум

Число единиц питательных веществ в 1 ед. продукции

P1

P2

V1

9

3

2

V2

8

7

5

V3

7

4

6

V4

13

10

11

 

Стоимость P1 и P2 составляет 4 и 7 ден. ед. соответственно.

Суть задачи сводится к составлению такого рациона, при котором спортсмен получит необходимый объем V1-4  по наименьшей стоимости.

Решение:

Для начала необходимо обозначить за и  необходимое количество продуктов  P1 и P2 соответственно.

Общая стоимость обеда составит:

 

 

При системе ограничений:

               (2)

Таким образом, рацион включает в себя: углеводы V), V2 - белки (, V3 - жиры  и V4 - витамины . А  питательные вещества V1-4 должны составлять не менее 9, 8, 7, 13 единиц соответственно. Также и должны быть неотрицательны.

Теперь составим экономико-математическую модель задачи.

Приведем систему ограничений к каноническому виду, т.е. введем к левой части уравнений новую переменную  со знаком «», и получаем систему уравнений:

                          (3)

Найдем базисные переменные, т.е. , , , , и составим начальную таблицу:

Таблица 2.

 «Начальная таблица»

БП

x1

x2

k1

k2

k3

k4

СЧ

k1

-4

-6

0

0

1

0

-7

k2

-7

-5

0

1

0

0

-8

k3

-3

-2

1

0

0

0

-9

k4

-10

-11

0

0

0

1

-13

G

-4

-7

0

0

0

0

0

 

Стремимся, чтобы в последней строке остались только отрицательные элементы или равные нулю, а в столбце свободных членов - положительные элементы или равные нулю. [4] Для этого находим наибольшее значение по модулю в последней строке, соответствующий элемент будет задавать ведущий столбец. Находим  минимальное отрицательное отношение элементов свободного столбца к элементам ведущего столбца. На пересечении ведущей строки и ведущего столбца находим ведущий элемент. Составим симплекс-таблицы:

Таблица 3.

 «Симплекс-таблица №1»

БП

x1

x2

k1

k2

k3

k4

СЧ

k1

1,45

0

0

0

1

-0,55

0,09

k2

-2,45

0

0

1

0

-0,45

-2,09

k3

-1,18

0

1

0

0

-0,18

-6,64

x2

0,91

1

0

0

0

-0,09

1,18

G

2,36

0

0

0

0

-0,64

8,27

 

Таблица 4.

«Симплекс-таблица №2»

БП

x1

x2

k1

k2

k3

k4

СЧ

k1

0

0

1,23

0

1

-0,77

-8,08

k2

0

0

-2,08

1

0

-0,08

11,69

x1

1

0

-0,85

0

0

0,15

5,62

x2

0

1

0,77

0

0

-0,23

-3,92

G

0

0

2,00

0

0

-1,00

-5,00

 

Таблица 5.

«Симплекс-таблица №3»

 

БП

x1

x2

k1

k2

k3

k4

СЧ

k4

0

0

-1,6

0

-1,3

1

10,5

k2

0

0

-2,2

1

-0,1

0

12,5

x1

1

0

-0,6

0

0,2

0

4,0

x2

0

1

0,4

0

-0,3

0

-1,5

G

0

0

0,4

0

-1,3

0

5,5

 

Таблица 6.

«Симплекс-таблица №4»

4БП

x1

x2

k1

k2

k3

k4

СЧ

k4

0

-4,3

-4,3

0

0

1

17

k2

0

-0,3

-2,3

1

0

0

13

x1

1

0,7

-0,3

0

0

0

3

k3

0

-3,3

-1,3

0

1

0

5

G

0

-4,3

-1,3

0

0

0

12

 

Видим, что в последней строке остались только отрицательные элементы и в столбце свободных членов остались только положительные элементы. Достигнуто оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов.

Ответ: оптимальное значение функции  G(x) = 12 достигается в точках

= 3

= 0

= 0

= 13

= 5

= 17

Таким образом, при заданных условиях мы получаем минимальную сумму затрат для спортсмена в 12 ден. ед.

Методы линейного программирования были изобретены в середине XX века, что намного позже классических приемов нахождения экстремума. Первые работы по линейной оптимизации принадлежат выдающемуся советскому математику Леониду Витальевичу Канторовичу (1912-1986). В 1938 году он консультировал фанерный трест  по проблеме эффективного использования лущильных станков. Канторович понял, что проблема сводится к максимизации линейной функции многих переменных при наличии ограничений в форме линейных равенств и неравенств. Он модифицировал метод множителей Лагранжа для ее решения и осознал, что к подобного рода задачам сводится множество проблем экономики [3].

В настоящее время задачи линейного программирования позволяют решать даже такие бытовые вопросы, как в представленной выше задаче: о питании спортсмена. К тому же, современное программное обеспечение позволяет значительно упростить  расчеты (например, это можно сделать при помощи MC Office Excel). Это еще раз доказывает незаменимость математики и ее тесную связь с жизнью! Как говорил Пифагор, миром правят числа.

 

Список литературы:

  1. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения//М: Высшая Школа, 2005 – 400 стр.
  2. Конюховский П.В.  Математические методы исследования операций в экономике//М: Питер, 2000 – 208 стр.
  3. Леонид Витальевич Канторович: биография. [электронный ресурс] – Режим доступа. - URL:http://www.people.su/48658 (Дата обращения: 15.05.17)
  4. Составление экономико-математической модели задачи о рационе питания // Молодежный научный форум: Общественные и экономические науки: электр. сб. ст. по материалам XL студ. междунар. заочной науч.-практ. конф. — М.: «МЦНО». — 2016 —№ 11(40) 

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом