БЫТОВОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В последнее время среди людей всех возрастов, заботящихся о своей фигуре и здоровье, стало популярно нормирование потребления жиров, белков и углеводов. Кроме того, многие придерживаются подобранных самостоятельно или с помощью специалистов норм калорийности пищи. 

Одно из главных достоинств данного способа питания – длительное сохранение результата. Также он позволяет улучшить параметры фигуры щадящим организм и психику способом, поскольку учитывает режим бодрствования человека («сова» или «жаворонок»), территорию проживания (у разных народностей привычки в питании, обычно, различны), любимые продукты (что упрощает процесс привидения тела в форму даже для сладкоежек) и не требует категоричного отказа от какой бы то ни было еды. Здесь главное – это количество пищи. Таким способом зачастую питаются спортсмены всех категорий.

В математике, а конкретно в линейном программировании, существует метод, позволяющий точно рассчитать необходимое потребление смеси продуктов, опираясь на их калорийность и пищевую ценность. Данные задачи получили название: «задачи о диете» [2].

Рассмотрим конкретный пример. Допустим, для спортсмена необходимо составить такой рацион обеда, при котором он потратил бы наименьшую сумму денег. Итак, дано: питательные вещества (углеводы, белки, жиры и витамины (V_1-4)) и два вида продуктов (рис - P₁ и куриная грудка - P₂). Исходя из необходимого количества питательных веществ, составляется система ограничений [1]. Их необходимый минимум для спортсмена и содержание в каждом из продуктов представлены в таблице ниже.

Таблица 1.

«Содержание числа единиц питательных веществ в рационе»

Стоимость P₁ и P₂ составляет 4 и 7 ден. ед. соответственно.

Суть задачи сводится к составлению такого рациона, при котором спортсмен получит необходимый объем V_1-4  по наименьшей стоимости.

Решение:

Для начала необходимо обозначить за и  необходимое количество продуктов  P₁ и P₂ соответственно.

Общая стоимость обеда составит:

При системе ограничений:

               (2)

Таким образом, рацион включает в себя: углеводы V₁  ), V₂ - белки (, V₃ - жиры  и V₄ - витамины . А  питательные вещества V_1-4 должны составлять не менее 9, 8, 7, 13 единиц соответственно. Также и должны быть неотрицательны.

Теперь составим экономико-математическую модель задачи.

Приведем систему ограничений к каноническому виду, т.е. введем к левой части уравнений новую переменную  со знаком «», и получаем систему уравнений:

                          (3)

Найдем базисные переменные, т.е. , , , , и составим начальную таблицу:

Таблица 2.

 «Начальная таблица»

Стремимся, чтобы в последней строке остались только отрицательные элементы или равные нулю, а в столбце свободных членов - положительные элементы или равные нулю. [4] Для этого находим наибольшее значение по модулю в последней строке, соответствующий элемент будет задавать ведущий столбец. Находим  минимальное отрицательное отношение элементов свободного столбца к элементам ведущего столбца. На пересечении ведущей строки и ведущего столбца находим ведущий элемент. Составим симплекс-таблицы:

Таблица 3.

 «Симплекс-таблица №1»

Таблица 4.

«Симплекс-таблица №2»

Таблица 5.

«Симплекс-таблица №3»

Таблица 6.

«Симплекс-таблица №4»

Видим, что в последней строке остались только отрицательные элементы и в столбце свободных членов остались только положительные элементы. Достигнуто оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции нет отрицательных коэффициентов.

Ответ: оптимальное значение функции  G(x) = 12 достигается в точках

= 3

= 0

= 0

= 13

= 5

= 17

Таким образом, при заданных условиях мы получаем минимальную сумму затрат для спортсмена в 12 ден. ед.

Методы линейного программирования были изобретены в середине XX века, что намного позже классических приемов нахождения экстремума. Первые работы по линейной оптимизации принадлежат выдающемуся советскому математику Леониду Витальевичу Канторовичу (1912-1986). В 1938 году он консультировал фанерный трест  по проблеме эффективного использования лущильных станков. Канторович понял, что проблема сводится к максимизации линейной функции многих переменных при наличии ограничений в форме линейных равенств и неравенств. Он модифицировал метод множителей Лагранжа для ее решения и осознал, что к подобного рода задачам сводится множество проблем экономики [3].

В настоящее время задачи линейного программирования позволяют решать даже такие бытовые вопросы, как в представленной выше задаче: о питании спортсмена. К тому же, современное программное обеспечение позволяет значительно упростить  расчеты (например, это можно сделать при помощи MC Office Excel). Это еще раз доказывает незаменимость математики и ее тесную связь с жизнью! Как говорил Пифагор, миром правят числа.

Список литературы:

1. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения//М: Высшая Школа, 2005 – 400 стр.
2. Конюховский П.В.  Математические методы исследования операций в экономике//М: Питер, 2000 – 208 стр.
3. Леонид Витальевич Канторович: биография. [электронный ресурс] – Режим доступа. - URL:http://www.people.su/48658 (Дата обращения: 15.05.17)
4. Составление экономико-математической модели задачи о рационе питания // Молодежный научный форум: Общественные и экономические науки: электр. сб. ст. по материалам XL студ. междунар. заочной науч.-практ. конф. — М.: «МЦНО». — 2016 —№ 11(40)