ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

​EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC INEQUALITIES OF THE UNIFIED STATE EXAM IN MATHEMATICS

Angelika Tumanova

4th year student, Department of Mathematics and Natural Sciences, Elabuga Institute of Kazan Federal University,

Russia, Yelabuga

Gozel Khudainazarova

5th year student, Department of Mathematics and Natural Sciences Elabuga Institute of Kazan Federal University,

Russia, Yelabuga

Aigul Ganeeva

Scientific supervisor, PhD of Pedagogical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics and Applied Informatics, Elabuga Institute of Kazan Federal University,

Russia, Yelabuga

АННОТАЦИЯ

С 2009 года Единый государственный экзамен (ЕГЭ) открывает возможности для выпускников школ поступить в ведущие вузы России. Школьники на весь период своего обучения готовятся и учатся, чтобы успешно сдать в 11 классе ЕГЭ и поступить в высшее учебное заведение.  Ребятам необходимо задуматься о выборе будущей профессиональной деятельности и определить направление высшего образования.  Выбор весьма разнообразен и на многие направления требуются результаты ЕГЭ по математике профильного уровня. И поэтому проблема эффективной подготовки к нему волнует как школьника, так и компетентного педагога и методиста с другой. Особое затруднение для школьников вызывает решение заданий второй части, требующей развернутого решения. Задания достаточно сложные, которые охватывают важные разделы алгебры, геометрии и математического анализа. В нашей работе рассмотрим методику обучения решению показательных и логарифмических неравенств ЕГЭ по математике.

ABSTRACT

Since 2009, the Unified State Exam (USE) has opened up opportunities for school graduates to enroll in leading Russian university. Schoolchildren prepare and study for the entire period of their studies in order to successfully pass the Unified State Exam in the 11th grade and enter a higher educational institution. Children need to think about choosing their future professional activity and determine the direction of higher education. The choice is very diverse and many areas require the results of the Unified State Exam in mathematics of the profile level. And therefore, the problem of effective preparation for it worries both the student and the competent teacher and methodologist on the other. A particular difficulty for schoolchildren is the solution of the tasks of the second part, which requires a detailed solution. The tasks are quite complex, which cover important sections of algebra, geometry and mathematical analysis. In our work, we will consider the methodology of teaching the solution of exponential and logarithmic inequalities of the Unified State Exam in mathematics.

Ключевые слова: неравенства, показательная функция, логарифмическая функция, метод рационализации.

Keywords: inequalities, exponential function, logarithmic function, rationalization method.

При решении показательных и логарифмических неравенств учащиеся должны знать свойства и графики соответствующих функций, свойства логарифмов и степеней, а также уметь решать уравнения по данной тематике.

Решение сложных показательных и логарифмических неравенств сводится к решению линейных и квадратных неравенств. Кроме этого, приобретает популярность метод рационализации, так как он помогает упростить решения неравенств, которые встречаются в заданиях №14 профильного уровня ЕГЭ.

Рассмотрим методические рекомендации ученых по данной тематике. 

Мурзалиева З.З. и Шабаева А.Ф. рассматривают методические особенности обучения решению показательных и логарифмических неравенств в средней школе. В школьном курсе математики значительное внимание уделяется решению, уравнений и неравенств различных типов, в том числе показательных и логарифмических. Учащиеся знакомятся с показательными и логарифмическими неравенствами в 10-11 классах, уже после освоения показательной и логарифмической функции, их графиков и свойств. Задания по теме «Показательные и логарифмические неравенства» введены в Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике, как на базовом, так и на профильном уровнях [5].

Клюкин Д.А. и Закирова Д.А. рассматривают метод замены множителей при решении показательных и логарифмических неравенств. Особое внимание уделено одному из методов рационализации – методу замены множителя. Приведено обоснование использования указанного метода при решении показательных и логарифмических неравенств [1].

Мандиева С.Ю., Бигаева Л.А., Гилева О.В. рекомендуют использовать метод рационализации не только для решения показательных, логарифмических неравенств, но и для решения их систем. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего логарифмические, показательные, иррациональные функции и выражения с модулями, к равносильному ему, более простому рациональному неравенству [3].

Самуйлова А.М. представляет решение неравенств (показательных, логарифмических, иррациональных) нестандартными методами [6].

Кузнецова Е.Ю. рассматривает применение метода рационализации при решении логарифмических и показательных неравенств. Применение данного метода позволяет значительно упростить решение заданий данного типа повышенной сложности при сдаче ЕГЭ по математике (профильный уровень). В статье приведено доказательство обоснованности перехода от логарифмических и показательных неравенств к обычному рациональному неравенству, решаемому, как правило, методом интервалов [2].

Рассмотрим решения логарифмических и показательных неравенств ЕГЭ по математике 2021-2022 гг. [4].

Пример 1. Решите неравенство

Решение. Выражения   и  принимают положительные значения при любых значениях х.  Рассмотрим правая часть неравенства определена при

При  неравенство принимает вид:

Откуда Учитывая ограничения

Получаем  

 Ответ:

Пример 2. Решите неравенство

Решение. Преобразуем выражение 

Пусть .

Следовательно, .  Второе неравенство невозможно, а из неравенства

.

Ответ:  где .

Пример 3. Решите неравенство

Решение. Запишем исходное неравенство в виде:

Неравенство определено при поэтому неравенство принимает вид:   Откуда

Ответ: [-2; 2).

Пример 4. Решите неравенство:

Решение. Пусть , тогда неравенство примет вид:

Значит

Получаем: откудаоткуда

Ответ:

Пример 5. Решите неравенство

Решение. Пусть

.

Откуда

При

При

Решение исходного неравенства:

Ответ:

Рассматривая решения показательных и логарифмических неравенств, выявили базовые темы, которые следует повторить для успешного решения задач данного типа. Необходимо вспомнить свойства и графики показательной и логарифмической функций, научиться решать уравнения, связанные с данными функциями. Следует уделить внимание построению графиков функций  возрастающих при  и убывающих функций при . Стоит отметить, что показательные и логарифмические функции являются взаимно-обратными, графики их симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов.

При решении показательных и логарифмических неравенств, необходимо знать свойство монотонности показательных и логарифмических функций, использовать определение логарифма и основные свойства логарифмов. Также необходимо вспомнить простейшие свойства степеней, методы решения линейных и квадратичных неравенств, показательных и логарифмических уравнений, особо уделить внимание методу интервалов.

Список литературы:

1. Клюкин Д. А. Метод замены множителей при решении показательных и логарифмических неравенств / Д. А. Клюкин, Н. М. Закирова // Воспитание будущего учителя-исследователя: Сборник материалов по итогам научной сессии студентов "Студенческая наука: на пути к профессии", Глазов, 03–30 апреля 2017 года. – Глазов: Глазовский государственный педагогический институт имени В.Г. Короленко, 2017. – С. 22-26.
2. Кузнецова, Е. Ю. Решение задания 15 ЕГЭ профильного уровня методом рационализации / Е. Ю. Кузнецова, С. А. Унучек // Сборник избранных статей по материалам научных конференций ГНИИ "Нацразвитие": Материалы Всероссийской научно-практической конференции, Международной научно-методической конференции, Международной студенческой научной конференции, Санкт-Петербург, 28–30 сентября 2019 года. – Санкт-Петербург: Частное научно-образовательное учреждение дополнительного профессионального образования Гуманитарный национальный исследовательский институт «НАЦРАЗВИТИЕ», 2019. – С. 187-193.
3. Мандиева, С. Ю. Метод рационализации решения показательных, логарифмических неравенств и их систем / С. Ю. Мандиева, Л. А. Бигаева, О. В. Гилева // Решение. – 2018. – Т. 1. – С. 340-342.
4. Математика. ЕГЭ. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. – 224 с.
5. Мурзалиева З. З. Методические особенности обучения решению показательных и логарифмических неравенств в средней школе / З. З. Мурзалиева, А. Ф. Шабаева // Kazakhstan Science Journal. – 2020. – Т. 3. – № 6(19). – С. 36-43.
6. Самуйлова, А. М. Нестандартные методы решения показательных, логарифмических, иррациональных неравенств в школьном курсе математики / А. М. Самуйлова, С. А. Титоренко // Некоторые вопросы анализа, алгебры, геометрии и математического образования. – 2018. – № 8. – С. 273-274.