W-ФУНКЦИЯ ЛАМБЕРТА И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЯ

LAMBERT'S W-FUNCTION AND ITS APPLICATIONS

Ivan Vorobev

student, training direction 01.03.02 Аpplied mathematics and computer science, Orenburg State University,

Russia, Orenburg

Tatiana N. Tarasova

candidate of pedagogical sciences, associate professor, Orenburg State University,

Russia, Orenburg

АННОТАЦИЯ

В статье представлен опыт расширения познавательного поля посредством применения стандартных схем исследования к новым объектам познания на примере исследования свойств и приложений W-функции Ламберта.

Цель исследования – анализ исследовательского потенциала W-функции, её свойств и практических приложений методами математического анализа.

В результате получено описание выбранной для исследования специальной функции с применением стандартного набора методов дифференциального исчисления.

Практическая значимость состоит в актуализации синтеза фундаментальных математических методов и прикладных объектов исследования в рамках университетского курса математического анализа.

Представленный опыт может быть применен к исследованию других специальных функций в курсах математического анализа функций действительных и комплексных переменных.

ABSTRACT

The article presents the experience of expanding the cognitive field by applying standard research schemes to new objects of knowledge on the example of studying the properties and applications of the Lambert W-function.

The purpose of the research is to analyze the research potential of the W-function, its properties and practical applications using mathematical analysis methods.

As a result, a description of the special function chosen for the study is obtained using a standard set of methods of differential calculus.

Practical significance consists in updating the synthesis of fundamental mathematical methods and applied research objects in the framework of the University course of mathematical analysis.

The presented experience can be applied to the study of other special functions in courses of mathematical analysis of functions of real and complex variables.

Ключевые слова: прикладная математика, математический анализ, W-функция Ламберта.

Keywords: applied mathematics, mathematical analysis, Lambert W-function.

1 Введение

В исторической перспективе немногие функции входят как стандартные в математический обиход. Примером такой функции является W-функция Ламберта.

Впервые функция рассматривалась Леонардом Эйлером в 1779 году, но ещё не имела самостоятельного значения и названия. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры «Maple», в связи с открытием разнообразных её приложений для точного решения различных физических уравнений, и называлась просто W. Имя И.Г. Ламберта (1728-1777) было выбрано, так как Л. Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта.

С тех пор для функции открывались новые приложения, в том числе и за пределами физики. Особенно широкое распространение данная функция получила в англоязычной среде.

Данная функция имеет множество применений от физики и вычислительной техники до статистики и биологии, например, она имеет немаловажное значение в физике, химии [1; 5], статистике [2] и др.

2 Аналитические свойства W-функции Ламберта

Определение 1: W-функция Ламберта – функция обратная к .

Обозначается как . Данная функция не является элементарной.

Сначала рассмотрим свойства W-функции вещественного аргумента:

1) Определена на промежутке , причём на интервале W-функция многозначна, в силу не инъективности функции .

2) Отсутствуют наклонные асимптоты, но существует вертикальная асимптота  для нижней ветви функции.

3) Область значений – вся вещественная прямая, причём главная ветвь функции принимает значения на промежутке , а нижняя –на .

4) Не является ни чётной, ни нечётной.

5)Производная W-функции имеет вид:

Или аналогично.

Следовательно, для главной функции производная положительна на всей области определения, за исключением точки, где она не определена. Таким образом, главная ветвь функции всюду возрастает. Для нижней ветви верно обратное, она всюду убывает.

6) Вторая производная W-функции имеет вид:

Таким образом, верхняя ветвь W-функции выпукла вверх на всей области определения, а нижняя ветвь выпукла вниз на  и выпукла вверх на .

7) W-функция имеет единственное пересечение с координатными осями в начале координат.

8) График W-функции имеет следующий вид:

Рисунок 1. График W-функции

Теперь рассмотрим свойства W-функции комплексного аргумента:

1) Производная W-функции комплексного аргумента имеет тот же вид, что W-функция вещественного переменного, и также не определена в точке

2)

3) Основная ветвь функции W-функции является голоморфной всюду в области определения, за исключением ветви .

4) Ветвление W-функции связано с периодичностью комплексной экспоненты. Таким образом, область определения главной ветви W-функции имеет вид .

3 Решение некоторых уравнений и их практическое применение

Будем решать уравнения в порядке повышения общности.

Пример1.

Пример2.

Пример 3.

Данное уравнение можно свести к предыдущему случаю, разбив его на два уравнения и используя следующую замену: .

Тогда  эквивалентно системе:

Таким образом, можно явно выразить из первого уравнения системы, а в случае, когда второе уравнение системы разрешимо относительно, мы можем явно выразить , используя W-функцию.

Пример 4.

Сводится к аналогичной системе:

Таким образом, решение данной системы также может быть выражено через W-функцию.

Пример 5. Рассмотрим обобщение примеров 3 и 4.

Пусть – приведённые полиномы степеней nи m соответственно, разложенные на множители. Тогда уравнение вида:

можно решить по индукции, раскладывая данное уравнение в системы из примеров 3 и 4nиmраз.

Тогда его решение будет иметь вид: , где - некоторые константы, вычисляемые из системы.

Если мы устремим nиmв бесконечность, и данное бесконечное произведение будет сходиться, то такое уравнение также будет иметь решение.

Более того, такое уравнение при nиm →может использоваться длявыражения решений задачи трёх тел в линейной гравитации [7].

Пример 6. Рассмотрим функцию следующего вида: . Выразим её значение через W-функцию. Допустим, эта функция принимает некоторое значение, тогда верно следующее:

Таким образом, бесконечная степенная башня эквивалентна функции .

Пример 7. Рассмотрим применение W-функции в решении дифференциальных уравнений на примере конкретной физической задачи.

Рассмотрим динамику разрядки конденсатора ёмкости C на резистор с сопротивлением R, линейно зависящим от температуры. Данная задача описывает довольно типичную ситуацию, когда сопротивление резистора увеличивается при джоулевом нагреве.

Уравнение тока для такой нелинейной RC-цепочки имеет вид:

где U₀ – напряжение на конденсаторе в начальный момент времени t=0.

Сопротивление в цепи будет изменяться со временем за счёт изменения температуры, а температура будет изменяться за счёт джоулева нагрева разрядным током. Полагая, что в течение переходного процесса теплообмен между сопротивлением и внешней средой пренебрежимо мал, будем считать, что вся теплота Q(t), выделяющееся на резисторе, идёт на нагрев.

Тогда, учитывая линейную зависимость сопротивления R(t) от температурыT, имеем:

где  - температурный коэффициент сопротивления;  -начальное сопротивление, а  - теплоёмкость резистора.

Дифференцирование данных двух уравнений по времени даст исходную систему дифференциальных уравнений с начальными условиями:

где  - значение тока в начальный момент.

Запишем данную систему в безразмерном виде:

где ток и сопротивление нормированы на соответствующие начальные значения, а время – на конечную постоянную времени RC-цепочки:

где  - количество теплоты, получаемое резистором.

Сопротивление, соответственно, изменяется от  до

Очевидно, если β=0, то система описывает поведение RC-цепочки, в которой сопротивление постоянно.

Для нахождения решения системы введём новую переменную ϑ:

Так как

то систему можно записать в виде:

Легко заметить, что решением первого уравнения данной системы будет:

а второго –

Тогда мы можем выразить y:

Продифференцируем ϑ по τ:

Подставляя найденное решение  в , получим дифференциальное уравнение для функции :

Которое равносильноуравнению:

где была использована замена

Решим его:

Из начальных условий найдём c:

Запишем η в явном виде:

Умножим обе части на -2, в правой части оставим только выражения от  и экспоненцируем обе части, и умножим на -1:

Используем W-функцию Ламберта и вновь умножим на -1:

Таким образом:  и, как следствие .

Данное выражение вместе с найденными решениями  являются полным и точным решением задачи.

Упомянем также прочие применения W-функции:

1) Задача о туннелировании через дельтообразный барьер требует разрешения следующего уравнения , которое является частным случаем уравнения из примера 3[3].

2) Благодаря W-функции можно получить точную формулировку закона смещения Вина: , который имеет место благодаря наличию нетривиального значения у.

3) W-функция может быть также использована для точного решения проблем физики плазмы [4]:

- Точный расчёт электрического заряда пробного тела, находящегося в максвелловской плазме. Решение задач данного класса позволяет создавать устройства для точного определения температуры и концентрации плазмы.

-  Структура электрического потенциала в бомовском слое плазмы имеет вид:

- Анализ нелинейных волн в плазме методом псевдопотенциала. Данный метод необходим для исследования основных характеристик (амплитуда, частота, длительность и др.) нелинейных волн в плазме.

4)  Нахождение точных решений уравнений вакуума Эйнштейна.

5) Существуют и другие типы уравнений, решаемых благодаря W-функции [7].

4 Реализации W-функции

В библиотеке Math проекта “boost” для языка С++ предусмотрены функции  lambert_w0, lambert_wm1, lambert_w0_prime, и lambert_wm1_prime, где первая пара функций – верхняя и нижняя ветви W-функции, соответственно, а вторая пара функций – их первые производные.

Системы компьютерной алгебры Maple, Matlab, Mathematica, PARI/GP и Maxima содержат W-функцию, в системе Mathematica она также именуется ProductLog.

В языке Python W-функция и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy.

В языке R W-функция реализована в библиотеке lamW в виде lambertW0 и lambertWm1, верхней и нижней ветви соответственно.

Список литературы:

1. Braun A., Wokaun A., Hermanns H.-G. Analytical solution to a growth problem with two moving boundaries // Applied Mathematical ModellingVolume. 2003. № 1. С. 47-52.
2. CentroidsJ. A Closed-Form Expression for Positive Histograms and a Guaranteed Tight Approximation for Frequency Histograms // Signal Processing Letters. 2013. №7. С. 657-660.
3. Maignan A., Scott T. C. Fleshing out the Generalized LambertWFunction // ACM Communications in Computer Algebra. 2016. №2. С. 45-60.
4. Marenkova E. D., Krasheninnikov S. I. Ablation of high-Z material dust grains in edge plasmas of magnetic fusion devices // Physics of Plasmas. 2014. №12. С. 123701.
5. Global Regression Using the Explicit Solution of Michaelis‐Menten Kinetics Employing Lambert's W Function: High Robustness of Parameter Estimates / M. Paar [идр.] // ChemistrySelect. 2019. №4.С. 1903-1908.
6. Scott T. C., Mann R. General Relativity and Quantum Mechanics:Towards a Generalization of the Lambert WFunction // Applicable Algebra in Engineering Communication and Computing. 2006. №1. С. 41-47.
7. Nodal surfaces of helium atom eigenfunctions / T. C.Scott [идр.] // Physical Review A. 2007. №6. С. 060101.