ПРИНЦИП ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА В КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

АННОТАЦИЯ

Для дифференциального уравнения Эйлера-Дарбу с положительными параметрами сформулирована краевая задача в прямоугольной области с нелокальными краевыми условиями. Цель данной работы состоит в доказательстве принципа локального экстремума, выраженного в двух леммах и как следствие - единственности решения поставленной задачи. Методом Римана-Адамара построено решение вспомогательной задачи Коши-Гурса. Удовлетворяя полученное  решение краевым условиям, приходим к интегральному уравнению Вольтера 2-го рода. Решение этого уравнения ищем в виде функционального ряда. Методом последовательных итераций получены оценки членов ряда с использованием свойств гипергеометрической функции и как результат, оценка самого решения интегрального уравнения. Сформулированы и доказаны две леммы о знаке нормальной производной на линии сопряжения уравнения Эйлера-Дарбу, составляющие так называемый принцип локального экстремума в терминологии профессора В. Ф. Волкодавова [2]. Из этих лемм легко следует теорема единственности решения поставленной задачи.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, краевая задача, принцип локального экстремума, гипергеометрическая функция.

В продолжение исследования краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений в областях ограниченных различными характеристическими многоугольниками [6], используя аналоги нелокальных граничных условий, предложенных в работах Нахушева А. М. [5], сформулируем следующую задачу.

Задача: Рассмотрим уравнение

  ,                         (1)

в прямоугольной области, изображенной на рисунке 1.

Рисунок 1. Вид прямоугольной области интегрирования

Требуется найти решение уравнения, непрерывное в области , где

,

и удовлетворяющее следующим условиям:

         ,               (2)

                                                                                        (3)

а также условиям сопряжения решения на линии сингулярности :

               (4)

Решение задачи

Предварительно решим в области  задачу Коши-Гурса (C-G) с данными:

                          ,                                                    (5)

,                                          (6)

где , вообще говоря, неизвестная функция, относительно которой будем предполагать, что она имеет непрерывную производную.

Решение задачи C-G построим методом Римана-Адамара, подобно тому, как это сделано работе [7, c.118] в виде

                      (7)

где

,

Перепишем формулу (7) в следующем виде:

                                                                                  (8)

Обозначим , тогда из равенства (8), получим

                   .                             (9)

Решая уравнение (9) относительно , найдем:

(10) 

Удовлетворяя функцию , определенную формулой (8) краевому условию (2), получим равенство:

+                             (11)

После подстановки выражения  из формулы (10) в полученное равенство (2.11) и последующего преобразования получим равенство:

.                                                                   (12)

Обозначим . Тогда уравнение (12) примет вид:

                                     ,                                           (13)

где

,

                                                                             (14)

Очевидно, что при необходимых условиях на функции  и , будем считать  непрерывной на . Тогда существует решение интегрального уравнения Вольтера II-го рода (13), которое можно представить в виде ряда:

                                                                            (15)

где

                                                                             (16)

                                                   (17)

Выполнив в интеграле формулы (14) интегрирование по частям, в предположении, что , получим

.

Пусть  принимает наибольшее положительное значение в точке , тогда

                  (18)

Оценим каждое слагаемое в первом интеграле неравенства (18):

Преобразуем это выражение к виду, удобному для оценивания

Рассмотрим следующие оценки:

.

Следовательно

.

Воспользуемся формулой дифференцирования гипергеометрической функции [1, с. 24]

с последующим применением формулы автотрансформации для исследования монотонности подынтегральной функции:

Следовательно, функция возрастает на  и ее значение не превосходит

Тогда

Второе слагаемое в первом интеграле равно

Воспользуемся одним из представлений функции

=

Легко проверить, что функция  возрастает по переменной , следовательно,

.

Тогда

=

=

Используя полученное неравенство, найдем, что

Аналогично проводим оценку интеграла

.

Окончательно неравенство (18) примет вид:

Используя полученные результаты, легко убедиться, что

. . .    . . .    . . .

. . .    . . .   . . .

Тогда, при условии  имеем неравенство:

                        (19)

Лемма 1. Если функция - принимает наибольшее положительное значение в точке , а параметр  удовлетворяет системе неравенств  

                                                                                                 (20)

где 

то .

Д о к а з а т е л ь с т в о: С учетом формулы (15) формула (10) примет вид

Положим в этом равенстве , проинтегрируем в первом слагаемом по частям, полагая  :

.

Используя оценку (19) выражения  получим неравенство:

 Нетрудно убедиться, что

.

Таким образом, при выполнении условий леммы 1, .

Замечание. Элементарными методами можно доказать, что система (20) в условии леммы 1 совместна и  найти достаточные условия для параметра .

В области  решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) с данными

      ,                                         

             ,                         

имеет вид:

,

где

,         ,    .

Полагая  и считая , найдем:

.

Пусть  принимает наибольшее положительное значение в точке  и   на сегменте , тогда

.

Таким образом, имеет место

Лемма 2. Если  принимает наибольшее положительное значение в точке  и   на сегменте , то .

Теорема. Если существует решение задачи (1) – (4), то при выполнении условия (20) оно единственно.

Доказательство: Сначала заметим, что, не нарушая общности, можно считать  и . Действительно, если это не так, то рассмотрим функцию:

,

,

,

,

,

,

= .

Таким образом, если  решение уравнения (1), то тоже решение, причем .

Допустим теперь, что имеется два решения задачи  и . Тогда функция  так же является решением, но с нулевыми граничными условиями, т.е. , для всех точек . Предположим, что функция принимает на отрезке наибольшее положительное значение в некоторой точке . Тогда, при выполнении условий лемм 1, 2:

.

Полученные неравенства противоречат условию сопряжения (4). Следовательно,  функция  не может принимать на интервале .

Нетрудно проверить, что если  принимает наименьшее отрицательное значение в некоторой точке, то при соблюдении условий в леммах 1, 2 меняются знаки нормальных производных .

Следовательно,  на интервале . Учитывая, что на концах интервала , заключаем, что . Поскольку решения задач Коши-Гурса, в формулах (8), (10), (18) в области и аналогичных формулах в области , при нулевых граничных функциях, можно выразить только через  и ее производную, то   в области.

Отсюда следует , что и требовалось доказать.

Список литературы:

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 3-х т. Т.1: Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. - М.: Наука, 1973.
2. Волкодавов В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными: Дисс. докт. физ.-мат. наук. – Казань, 1969.
3. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я. Принцип локального экстремума для одного гиперболического уравнения и его применение//Дифференциальные уравнения. – 1982 - т.18 - №1 – С. 3 – 7.
4. Килбас А. А., Репин О. А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной//Дифференциальные уравнения. – 2003 – т. 39 - №5 – С. 638-645.
5. Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги//Дифференциальные уравнения. – 1979 – т. 15 - №1 – С. 96-105.
6. Пергунов В. В. Краевая задача с нелокальными граничными условиями в трапециевидных областях для уравнения Эйлера-Дарбу//Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции: тезисы докл. Международ. науч. конф. (Самара, 24-31 мая 1992г.) – Самара – 1992 – С. 196.
7. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа: учеб. пособие для мат. спец. ун-тов. – М.: Высш. шк. – 1985. – 304 с.