ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ СЕТЕЙ И CALL-ЦЕНТРОВ

QUEUEING THEORY FOR OPTIMIZING THE THROUGHPUT OF NETWORKS AND CALL CENTERS

Pavlyutkina Maria Sergeevna

student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Fedorovich Artem Leonidovich

student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Lyudmila Petrovna Fedosyuk

Senior Lecturer, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается применение математического аппарата теории массового обслуживания (ТМО) для решения задач оптимизации пропускной способности телекоммуникационных сетей и эффективности работы call-центров. Анализируются ключевые модели, такие как система массового обслуживания (СМО) типа M/M/1 и M/M/n, и их использование для определения оптимального количества обслуживающих приборов (каналов связи, операторов), минимизации времени ожидания и предотвращения перегрузок. Показано, что использование ТМО позволяет перейти от интуитивного управления к научно обоснованному принятию решений, ведущему к значительной экономии ресурсов и повышению качества обслуживания.

ABSTRACT

This article discusses the application of the mathematical apparatus of queueing theory for solving optimization problems in telecommunications network capacity and call center efficiency. Key models such as M/M/1 and M/M/n queuing systems are analyzed, along with their use for determining the optimal number of service channels (communication channels, operators), minimizing waiting time, and preventing overloads. It is shown that the use of queueing theory enables a shift from intuitive management to scientifically grounded decision-making, leading to significant resource savings and improved service quality.

Ключевые слова: теория массового обслуживания; СМО; call-центр; телекоммуникационные сети; оптимизация; очередь; интенсивность обслуживания; интенсивность потока заявок.

Keywords: queueing theory; queuing system; call center; telecommunications networks; optimization; queue; service rate; arrival rate.

Современные телекоммуникационные сети и контакт-центры работают в условиях стохастических нагрузок. Случайные скачки количества вызовов или пакетов данных приводят к отказам в обслуживании, увеличению времени ожидания и, как следствие, к финансовым потерям [2]. В этой связи актуальной задачей является разработка методов и моделей, позволяющих адекватно оценивать параметры таких систем и оптимизировать их структуру и ресурсы. Одним из наиболее эффективных математических инструментов для решения данных задач является теория массового обслуживания.

Теория массового обслуживания – это раздел теории вероятностей, изучающий процессы в системах, предназначенных для обслуживания случайного потока заявок. Основными элементами любой системы массового обслуживания (СМО) являются: входящий поток заявок, обслуживающие приборы (каналы) очередь, дисциплина обслуживания [3].

Для анализа телекоммуникационных сетей и call-центров наиболее применимы классические модели:

M/M/1: Система с одним обслуживающим прибором, пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным распределением времени обслуживания. Данная модель полезна для анализа элементарных каналов связи.

M/M/n: Многоканальная система с n идентичными обслуживающими приборами. Эта модель является базовой для моделирования call-центра с несколькими операторами или сетевого узла с множеством портов [3].

В телекоммуникациях заявками являются пакеты данных, а обслуживающими приборами – каналы передачи, маршрутизаторы и коммутаторы. Ключевым параметром для проектирования сети является коэффициент использования системы.

Для M/M/1:

Для M/M/n:

Условие ρ < 1 является необходимым для стационарного режима работы системы (очередь не растет до бесконечности) [1, с. 45].

С помощью формул ТМО можно рассчитать:

Среднее число заявок в системе (L): Позволяет оценить общую нагрузку на сетевой узел.

Среднее время пребывания заявки в системе (W): Критически важный параметр для приложений реального времени (VoIP, онлайн-игры).

Вероятность потери заявки (P_отк): Для систем с ограниченной очередью или при отказе в обслуживании.

Например, зная прогнозируемую интенсивность трафика (λ) и требуемое максимальное время задержки пакета (W_треб), инженер может использовать формулу Литтла и формулы для M/M/n, чтобы определить минимальное количество каналов n, обеспечивающее соблюдение SLA (Service Level Agreement). Это позволяет избежать как избыточных капиталовложений в оборудование, так и риска перегрузок.

Формула Литтла:

Call-центр является каноническим примером многоканальной СМО с ожиданием (M/M/n). Входящие вызовы образуют пуассоновский поток, а длительность разговора с оператором имеет экспоненциальное распределение.

Задача менеджера call-центра – найти баланс между двумя противоречивыми целями:

Минимизация затрат: Сокращение количества операторов (n).

Максимизация качества обслуживания (QoS): Сокращение времени ожидания на линии и количества отказов.

ТМО предоставляет для этого точный математический аппарат. Основные метрики, используемые для оптимизации:

Среднее время ожидания в очереди (W_q).

Вероятность того, что вызов будет обслужен немедленно, без ожидания (P_imm).

Доля потерянных вызовов (из-за отказа при полной очереди).

Например, используя формулу Эрланга C (формулу задержки Эрланга), можно рассчитать, что для обеспечения 80% вероятности немедленного обслуживания (P_imm = 0,8) при интенсивности входящих вызовов λ=100 вызовов/час и среднем времени разговора 5 минут (μ=12 вызовов/час), потребуется примерно 13 операторов. Если же допустимо среднее время ожидания 30 секунд, то необходимое количество операторов может быть снижено до 11.

Несмотря на мощь классических моделей, реальные системы часто имеют особенности, требующие более сложных моделей: неэкспоненциальные распределения, неоднородность трафика, многоуровневость и приоритеты.

Таким образом, даже базовые модели ТМО позволяют перевести управление ресурсами из области интуиции в область точных расчетов. Это дает значительную финансовую выгоду, предотвращая как простой ресурсов, так и потери от перегрузок. Дальнейшее развитие связано с внедрением этих моделей в системы реального времени для динамического управления.

Список литературы:

1. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. — М.: ЛКИ, 2012. — 434 с.
2. Оптимизация работы call-центра: от интуиции к расчету // Информационный портал «TechNet.Ru». URL: https://www.technet.ru/stati/call-center-optimization/ (дата обращения: 10.11.2025).
3. Применение теории массового обслуживания в телекоммуникациях // Научная электронная библиотека «КиберЛенинка». URL: https://cyberleninka.ru/article/primenenie-teorii-massovogo-obsluzhivaniya-v-telekommunikatsiyah (дата обращения: 10.11.2025).