ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ СИСТЕМНЫХ ЗНАНИЙ ОБУЧАЕМЫХ В ПРОЦЕССЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Доступность интернета, всевозможных онлайн курсов по изучению математики, подготовки к итоговой аттестации в формате ОГЭ, ЕГЭ приводит к тому, что информированность школьников неуклонно растет. Казалось бы, имеются все предпосылки к устойчивому повышению качества обучения. Однако ежегодный анализ результатов итоговой аттестации школьников по математике свидетельствует о том, что из года в год типичные ошибки и затруднения стабильно повторяются.   

На наш взгляд, одной из причин сложившейся ситуации является отсутствие целенаправленной работы по систематизации математических понятий и методов решения типовых задач. В результате математические познания школьников остаются «мозаичными», не включенными в систему уже известных математических понятий, суждений и методов, без всякой связи между ними.

Эта проблема имеет вполне реальное решение. Действенным методом здесь может выступать классификация.  Этот метод познания, систематически применяемый в практике обучения математике, способен реализовать главное назначение математики, которое, по словам основоположника кибернетики Норберта Винера, состоит в нахождении порядка в хаосе, который нас окружает.

Выделяют ряд требований, которым должна удовлетворять классификация понятий: наличие основания для классификации – признака, остающегося неизменным в процессе классификации; независимость понятий, образующихся в процессе классификации; объем исходного понятия должен быть равен сумме объемов понятий, получающихся в процессе классификации.

Следует заметить, что классификация может осуществляться поэтапно: сначала по одному основанию, а затем по другому. Примером может служить классификация призм. Сначала их делят по признаку перпендикулярности бокового ребра к основанию на прямые и наклонные. Затем среди прямых призм выделяют правильные по признаку наличия в основании правильного многоугольника. Дальнейшую классификацию можно вести по числу сторон в основании правильной призмы (треугольные, четырехугольные и т.д.).  

Различают два основных вида классификации: членами классификации являются противоречащие понятия (дихотомическая классификация); членами классификации являются соподчиненные понятия.

Результат классификации может быть представлен в виде таблицы или иерархической схемы.

Рисунок 1. Дихотомическая классификация

Рисунок 2. Классификация на основе соподчиненных понятий

Классификация может использоваться на разных этапах обучении математике. При введении и изучении новых понятий классификация помогает осознать их сущность через разграничение объемов понятий, через выяснение соотношений между объемами понятий, образующихся в процессе классификации. Особенно актуально проводить классификацию в тех случаях, когда введение нового понятия сопровождается введением нескольких сопутствующих понятий. Так, при введении понятия квадратного уравнения вводятся понятия приведенного и неприведенного, полного и неполного уравнения. Усвоить многообразие новых терминов помогут соответствующие классификации с разными основаниями: в первом случае основанием будет значение старшего коэффициента, во втором – число членов в уравнении. Аналогичные ситуации не редки и в геометрии.

Кроме того, весьма полезны сравнительные классификации. Их примерами могут служить классификации: углов, образованных при пересечении двух прямых (смежные и вертикальные) и двух прямых третьей прямой (накрест лежащие, односторонние, соответственные); углов в треугольнике (внутренние и внешние) и в окружности (центральные, вписанные, образованные пересекающимися хордами внутри и вне окружности); отрезков в треугольнике (высоты, медианы, биссектрисы, средние линии), четырехугольнике и окружности; правильных многоугольников и правильных многогранников; призм и пирамид; параллелепипедов; квадратных уравнений; видов уравнений и неравенств (линейные, квадратные, целые рациональные, дробные рациональные, иррациональные и т.д.); функций (индивидуально заданных и образующих классы).

Классификация незаменима при изучении методов и приемов решения математических задач. В школьном курсе математики рассматриваются разные методы решения типовых задач. При этом чаще всего они рассредоточены по курсу математики нескольких годов обучения. Поэтому без соответствующей классификации трудно ждать от школьников сознательного усвоения всей совокупности методов.    К примеру, изучение всего многообразия методов решения уравнений в школьном курсе математики начинается в начальной школе и заканчивается в 11 классе. Так, в 1-6 классах до введения основных свойств уравнений, основным методом их решения остается зависимость между результатами и компонентами арифметических действий. Здесь же рассматриваются уравнения, правая часть которых равна нулю, а левая представляет собой произведение нескольких множителей. По сути, это основа для метода разложения на множители, который появится как самостоятельный метод решения уравнений лишь в 7 классе, когда будут рассмотрены различные методы разложения многочлена на множители. После введения основных свойств уравнений, начинается алгебраический этап в обучении решению уравнений. В результате школьники знакомятся с общими и специальными методами решения уравнений.

К общим относят алгоритмический метод, применяемый для уравнений конкретных видов, метод тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных, использование ФСУ, домножение на ненулевой множитель), метод разложения на множители, метод введения новой неизвестной, метод равносильных преобразований. Специальные методы, как правило, соотносятся с уравнениями конкретных видов: уравнений с модулем (метод промежутков, метод возведения обеих частей в квадрат и т.д.), тригонометрических (метод понижения степени, метод оценки и т.д.), показательных (домножение на сопряженное выражение, деление на показательное выражение и т.д.), логарифмических (потенцирование, использование формул перехода к новому основанию и т.д.).

Такое многообразие методов требует своевременной классификации по мере изучения каждого нового метода. В противном случае все методы останутся набором бессвязных манипуляций. Поскольку методы решения уравнений дополняются из года в год, целесообразно по мере знакомства с каждым новым методом вносить его в иерархическую схему с тем, чтобы к окончанию школьного курса математики сложилась полная классификация всех изученных методов.

В качестве примера приведем классификацию основных методов решения тригонометрических уравнений.

К общим методам решения относятся следующие.

1. Алгоритмический метод: применяется для простейших тригонометрических уравнений.
2. Метод тождественных преобразований: раскрытие скобок, приведение подобных, использование формул сокращенного умножения и основных тригонометрических тождеств: используется для приведения уравнения к простейшему виду или к возможности применения другого метода.
3. Метод разложения на множители (по сути является разновидностью метода тождественных преобразований): применяется для замены данного уравнения на совокупность простейших.
4. Метод введения новой неизвестной: используется для сведения уравнения к алгебраическому.
5. Метод равносильных преобразований: применяется для комбинированных уравнений, содержащих дроби, корни четной степени, логарифмы, модули.

Специальными методами являются следующие методы.

1. Метод деления на тригонометрическое выражение в однородных тригонометрических уравнениях.
2. Метод преобразования суммы тригонометрических функций в произведение с целью применения метода разложения на множители.
3. Метод понижения степени в уравнениях, содержащих четные степени синуса и (или) косинуса.
4. Метод введения вспомогательного угла.
5. Метод оценки на основе ограниченности функций синуса и косинуса.
6. Метод универсальной тригонометрической подстановки.

Описанный подход применим к составлению классификационных схем при изучении различных видов тождественных преобразований целых и дробных выражений, а именно методов приведения многочлена к стандартному виду, методов разложения многочлена на множители, методов преобразования арифметических корней, трансцендентных выражений.

Функциональная линия школьного курса математики предполагает знакомство школьников с функциями конкретных видов и их свойствами. При этом свойства функций изучаются с 7 по 11 класс, основываясь на разных теоретических основах: начиная с геометрического толкования свойств и заканчивая применением производной для изучения свойств незнакомых функций. Классифицировать необходимо и виды функций, и их свойства с аналитической и геометрической точки зрения.

Классификация может быть весьма полезна в обучении решению текстовых задач.  Большинство решаемых в школьном курсе алгебры текстовых задач относятся к одному из следующих видов: «на движение», «на движение по реке», «на работу», «на совместную работу», «на смеси и сплавы». Выявление в рамках каждого вида специфических особенностей задач помогает осознать их сходство и отличие, и в конечном итоге сформировать общий подход к решению текстовой задачи.

По мере изучения геометрии ведущим геометрическим методом решения задач является метод дополнительных построений. Классификация различных видов дополнительных построений в зависимости от конкретной конфигурации в задаче может служить основой целенаправленного обучения решению геометрических задач на разных этапах изучения геометрии. Кроме этого, классификационные схемы могут быть составлены для видов геометрических задач, решаемых координатным и векторным методами.

Как показывает опыт преподавания методических дисциплин в педагогическом вузе, работа с учителями на курсах повышения квалификации и со школьниками в рамках курсов по подготовке к ЕГЭ, использование разнообразных форм классификации в процессе обучения способствует систематизации математических знаний и умений обучающихся.

Список литературы:

1. Шабашова О. В. Теория и методика обучения математике: типовые профессиональные задания: в 2 ч: учебно-методическое пособие – Часть 1. – Орск: Издательство ОГТИ, 2010. – 123 с.
2. Шабашова О. В. Теория и методика обучения математике: типовые профессиональные задания: в 2 ч: учебно-методическое пособие – Часть 2. – Орск: Издательство ОГТИ, 2010. –  330 с.