ПРИМЕНЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ИНЖЕНЕРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

USING TRIPLE INTEGRAL TО SOLVING OF MECHANICS PROBLEMS FOR STUDENTS OF ENGINEERING SPECIALITIES

Elena Sidorenko-Nikolashina

candidate of Sciences in Pedagogy, assistant professor of Technical Disciplines department, Academy of Bioresources and Environmental Management

of the V.I. Vernadsky Crimean Federal University,

Russia, Simferopol

АННОТАЦИЯ

Сформулирована проблема профессиональной подготовки студентов инженерных специальностей агротехнологических вузов. Обоснована целесообразность синтеза трех методов – визуализации учебного материала с помощью схем или таблиц, сопровождения наглядного представления знаний объяснением преподавателя, а также решения задач практического содержания. Аргументирована необходимость решения некоторых задач механики с помощью тройного интеграла, вычисляемого в различных системах координат. В качестве примера решены задачи прикладного характера, укрепляющие знания и умения будущих специалистов агропромышленного комплекса, необходимые им при освоении других фундаментальных и технических дисциплин, а также в трудовой деятельности на производстве.

ABSTRACT

The problem of students′ professional training in agro-technological University is formulated. The expediency of the synthesis of the three methods – visualization of the educational material with the help of diagrams or tables, accompanying visual presentation of knowledge а teacher's explanation, as well as solving of tasks of applied nature justified. The necessity of solving with the help of triple integral, calculation in different coordinate systems, of come problems on mechanics is argued. Some tasks of applied nature, solidifying knowledge and skills of future agro-industrial complex specialists, needed at mastering other fundamental and technical disciplines, as well as in labor activity and in industry, have been solved as an example.

Ключевые слова: математика; визуализация учебного материала; прикладная направленность; задачи механики; тройной интеграл; неоднородное пространственное тело.

Keywords: mathematics; teaching material visualization; applied tendency; problems on mechanics; triple integral; inhomogeneous spatial solid.

Сегодня проблема повышения эффективности процесса формирования конкурентоспособности, профессионализма и компетентности будущих инженеров агропромышленного комплекса, отвечающих современным требованиям рынка труда, является актуальной. Подготовка специалистов, готовых к освоению новых знаний, принятию решений в изменяющейся ситуации, базируется высшей профессиональной школой на законодательной и нормативной базе, включающей закон РФ «Об образовании», Национальную доктрину образования в Российской Федерации до 2025 г., Типовое положение об образовательном учреждении высшего профессионального образования (высшем учебном заведении) РФ.

Учитывая сложность теоретических основ и прикладного аппарата высшей математики, очевидно, что актуальным является анализ существующих методов преподавания высшей математики для студентов инженерных специальностей и на его основе разработка инновационных педагогических методов.

Современная педагогика опирается на основные дидактические принципы, в частности научности, наглядности и связи теории с практикой. Научность отражается в математике как в универсальном методе исследования и обучения, инструменте построения теории других наук, в абстрактности ее конструкций и понятий. Наглядное представление учебного материала или визуализация применяется с целью улучшения запоминания ассоциативных связей и отношений между понятиями. Значение наглядных схем и таблиц неоценимо, так как позволяет человеку использовать автоматически срабатывающие алгоритмы обработки зрительной информации [1]. По мнению Т.В. Кудрявцева, наглядность – это мост, перекинутый от знаний в понятиях к конкретным практическим задачам [3]. Действительно, принцип связи теории с практикой является фундаментом метода изложения учебного материала, при котором демонстрация и закрепление основных моментов теории, рассмотренных во время лекций, осуществляется посредством решения прикладных задач на практических занятиях [2; 4; 5].

Основополагающим приемом обучения, с нашей точки зрения, является синтез трех методов – это наглядное структурирование фрагментов учебного материала с помощью схем или таблиц, сопровождение визуализированного представления знаний объяснением преподавателя, а также решение задач практического содержания. Подобный комплекс закрепляет теоретические знания студентов по конкретной изучаемой теме и обеспечивает их профессионально ориентированное применение к решению задач механики.

Цель работы – рассмотреть и проанализировать некоторые компоненты методики преподавания математики, включающие наглядное представление теоретических положений учебного материала в виде таблиц и решение задач механики по рассматриваемой теме, которые приводят к понятию и вычислению тройного интеграла.

Вычисление массы, координат центра тяжести и моментов инерции пространственного тела представляет собой одно из важных приложений тройного интеграла в механике. Изучение данной темы, с нашей точки зрения, следует начинать на лекции с определения и вычисления тройного интеграла в различных системах координат, с формулировки теоретических положений, вывода основных формул, а также их наглядного представления в виде таблицы 1.

Таблица 1.

Вычисление тройного интеграла

Тройной интеграл выражает собой массу неоднородного тела объема V, плотность которого в каждой точке равна :

.                                                     (1)

Пусть плотность вещества, из которого состоит тело, равна . Тогда координаты центра тяжести тела вычисляются посредством формул:

, , .(2)

Если плотность , то (2) есть координаты центра тяжести однородного тела.

Моменты инерции неоднородного тела массы m плотности  относительно координатных осей  выражаются соответственно формулами (элемент объема ):

, , .(3)

На практическом занятии с целью осознанного усвоения знаний, необходимых студентам при изучении других фундаментальных и общетехнических дисциплин, им следует предложить для решения некоторые задачи прикладного содержания.

Задача 1. Найти массу тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью , если плотность в каждой его точке равна произведению координат этой точки, то есть .

Решение. Искомая масса m согласно формуле (1) равна .

Чтобы вычислить данный интеграл в прямоугольной системе координат, положим ; тогда ; при этом  при  и  при .

(ед. массы).

Задача 2. Вычислить координаты центра тяжести куба , если плотность в каждой его точке равна произведению координат этой точки.

Решение. По условию плотность . Вычислим массу m куба по (1):  (единиц массы).

Из соображений симметрии следует . Поэтому достаточно найти только одну координату . Вычислим числитель для  из формул (2).

.

Следовательно,  и  − центр тяжести куба.

Задача 3. Вычислить момент инерции прямого кругового цилиндра высоты 2h и радиуса R относительно диаметра его среднего сечения, считая плотность постоянной и равной .

Решение. Выберем систему координат следующим образом: направим ось 0z вдоль оси цилиндра, а начало координат поместим в его центре симметрии. Тогда задача сведется к вычислению момента инерции относительно оси 0х согласно формуле (3): .

Переходя в этом интеграле к цилиндрическим координатам, получим:

.

Для самопроверки знаний студентам целесообразно предложить следующие вопросы по рассматриваемой теме.

1.  Как вычисляется тройной интеграл в различных системах координат? Каковы основания для перехода к цилиндрическим и сферическим координатам?

2.  Каким образом можно отыскать массу неоднородного (и однородного) пространственного тела, координаты его центра тяжести и моменты инерции с помощью тройного интеграла?

Выводы

1.  На сегодняшний день актуальными остаются разработка, дальнейшее исследование и совершенствование таких педагогических методов внедрения дидактических принципов научности, наглядности и связи теории с практикой, как наглядное структурирование фрагментов учебного материала с помощью схем или таблиц, сопровождение визуализированного представления знаний объяснением преподавателя, а также решение задач практического содержания при математической подготовке будущих инженеров агропромышленного комплекса.

2.  Визуализация изучаемого материала в виде схем или таблиц делает возможным усвоение студентами теоретических основ математики на базе дидактического принципа наглядности, систематизирует знания обучающихся, способствует осознанному запоминанию ими учебного материала.

3.  Решение задач прикладного содержания для студентов инженерных специальностей с помощью тройного интеграла позволяет закрепить знания, необходимые им при изучении других фундаментальных и общетехнических дисциплин, а также в будущей деятельности на производстве.

4.   Ряд прикладных задач механики: нахождение массы, координат центра тяжести и моментов инерции неоднородного пространственного тела основаны на применении интегрального исчисления. В частности, связаны с вычислением тройных интегралов в различных системах координат, поэтому требуют от студентов умения их находить.

Список литературы:

1. Бобнева М.И. Техническая психология / М.И. Бобнева [АНСССР. Науч. – попул. серия]. – М.: Наука, 1966. – 127 с.

2. Васяк Л.В. Профессионально ориентированные задачи по математике для студентов инженерных специальностей: учебное пособие / В.А. Далингер, Л.В. Васяк. – Омск: Изд-во «Сфера», 2007. – 60 с.

3. Кудрявцев Т.В. Психология технического мышления. (Процесс и способы решения технических задач). − М.: Педагогика, 1975. – 304 с.

4. Левина А.И. Кратные интегралы: Методические указания к выполнению домашнего задания курсовой работы по дисциплине «Кратные и криволинейные интегралы, ряды» – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. – 31 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2009. – 544 с.