Телефон: 8-800-350-22-65
WhatsApp: 8-800-350-22-65
Telegram: sibac
Прием заявок круглосуточно
График работы офиса: с 9.00 до 18.00 Нск (5.00 - 14.00 Мск)

Статья опубликована в рамках: LII Международной научно-практической конференции «Личность, семья и общество: вопросы педагогики и психологии» (Россия, г. Новосибирск, 18 мая 2015 г.)

Наука: Педагогика

Секция: Педагогическое мастерство и профессиональное саморазвитие педагога: проблемы и перспективы развития

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции

Библиографическое описание:
Вакилов Ш.М. КАК «ОТКРЫТЬ» СВОЮ ТЕОРЕМУ // Личность, семья и общество: вопросы педагогики и психологии: сб. ст. по матер. LII междунар. науч.-практ. конф. № 5(51). – Новосибирск: СибАК, 2015.
Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

 

КАК  «ОТКРЫТЬ»  СВОЮ  ТЕОРЕМУ

Мамедяров  Даглар  Мамедярович

канд.  пед.  наук  «Социально-педагогический  институт»,  РФ,  г.  Дербент

E -mailsakitorudjev@mail.ru

Вакилов  Шамиль  Магомедович

канд.  пед.  наук  «Дагестанский  государственный  педагогический  университет»,  РФ,  г.  Махачкала.

 

HOW  TO  “DISCOVER”  OWN  THEOREMS

Daglar  Mamedyarov

candidate  of  Pedagogical  Sciences,  “Social  Pedagogical  Institute”  ,  Russia,  Derbent

Shamil  Vakilov

Candidate  of  Pedagogical  Sciences,  Dagestan  State  Pedagogical  University,  Russia,  Makhachkala

 

АННОТАЦИЯ

Статья  посвящена  теме  обучения  учащихся  теоремам.  Рассматривается  форма  организации  работы  с  учащимися,  где  учащиеся  самостоятельно  или  с  помощью  учителя  «открывают»  свои  теоремы,  грамотно  формулируют  и  записывают  их.

ABSTRACT

The  article  is  devoted  to  the  topic  of  teaching  theorems  to  students.  A  form  of  work  organization  with  students  is  considered  where  students  "discover"  their  own  theorems,  correctly  formulate  and  write  them  down  independently  or  with  the  help  of  a  teacher. 

 

Ключевые  слова:  суждение;  теорема;  равенства.

Keywords verdict;  theorem;  equations. 

 

Суждение  —  понятие  формальной  логики,  одна  из  форм  мышления  наряду  с  понятием.  В  суждениях  отображаются  свойства  объектов,  понятий,  свойства  отношений  между  ними.  Суждение  —  аналог  высказывания  в  математической  логике.  Относительно  каждого  суждения  можно  сказать,  истинно  оно  или  ложно.  Суждение  может  быть  непосредственным,  полученным  из  наблюдений,  ощущений  или  по  интуиции,  и  опосредованным,  полученным  из  других  суждений  с  помощью  логического  вывода.  Опосредованные  суждения  называются  умозаключениями.  В  математике  изучаются  два  вида  суждений  —  аксиомы  и  теоремы.  Аксиомы  —  утверждения,  принимаемые  без  доказательства  в  данной  теории.  Теоремы  —  утверждения,  истинность  которых  устанавливается  посредством  доказательства.  С  теоремами  учащиеся  имеют  дело  в  различных  разделах  школьного  курса:  в  арифметике,  алгебре,  началах  анализа,  но  наиболее  выпукло  они  представлены  в  курсе  геометрии,  и  именно  перед  этим  курсом  ставится  важная  общая  задача  —  научить  учащихся  доказывать  теоремы.  Принципы  подхода  к  обучению  учащихся  теоремам  и  их  доказательствам  следует  из  двух  соображений.  Во-первых,  теорема  —  это  новый  материал,  подлежащий  изучению,  и  с  этой  точки  зрения  в  изучении  теоремы  можно  выделить  следующие  этапы:  подготовка  к  изучению  нового  материала  (пропедевтика),  мотивация  изучения  нового  материала,  введение  нового  материала  —  организация  его  восприятия,  понимания,  закрепление,  применение.  Теорема  является  задачей  на  доказательство,  выражающий  некоторое  важное  отношение,  свойство,  и  поэтому  на  методику  изучения  теорем  распространяются,  рекомендации,  относящиеся  к  различным  этапам  решения  задач,  таким  как  обучение  поиску  закономерности,  идеи  доказательства,  обучение  анализу  условия  и  исследованию  полученного  решения.  При  обучении  учащихся  теоремам  могут  иметь  место  различные  методы:  объяснительно-иллюстративный,  эвристический  исследовательский  [1.  c.  91].  Для  того,  чтобы  повысить  интерес  к  изучаемой  теореме,  чтобы  ее  изучение  стало  лично  значимой  целью,  полезно  перед  изучением  теоремы  предъявлять  интересные  задачи,  желательно  практического  содержания,  которые  для  своего  решения  требуют  изучения  нового  материала.  Очень  часто  приходится  встречаться  с  таким  фактом,  когда  учащиеся  заучивают  формулировку  теорем,  не  осознавая  полностью  их  смысла.  Если  ученик  сам  находит  закономерность,  сам  формулирует  теорему,  то  это  позволяет  избавиться  от  формализма  в  знании  формулировок.  В  школе  мы  только  обучаем  учащихся  теоремам.  А  как  научить  учащихся  «открывать»  свои  теоремы,  грамотно  и  лаконично  записывать  их  формулировки?  Для  этого  мы  рекомендуем  проводить  на  уроках  мини-исследовательские  работы.  Эта  работа  будет  более  эффективной,  если  проводить  ее  с  сильными  учащимися,  а  также  на  факультативных  и  кружковых  занятиях,  где  занимаются  в  основном  сильные  ученики.  При  организации  такой  работы  перед  учащимися  не  ставится  конкретная  задача.  Задача  одна  —  получить  новую  информацию.  Задача  учителя  —  направлять  учащихся,  когда  надо,  в  нужное  направление. 

Приведем  примеры  такой  работы.

Учитель:  Вычислите  площадь  треугольника    по  двум  сторонам  и  углу  между  ними  (черт.  1).

 

Чертеж  1.

 

Учащиеся  записывают:  ɣ 

 

 

Учитель:  Выразите  из  этих  формул  синусы  углов.

Учащиеся  записывают:  ɣ

Учитель:  Найдите  соотношение  сторон  треугольника  к  синусам  противолежащих  углов.

Учащиеся  пишут:   

Сравнивая  правые  части,  учащиеся  приходят  к  равенству 

  и  лаконично  записывают  результат  в  виде  теоремы:  стороны  треугольника  пропорциональны  синусам  противолежащих  углов. 

Так  как  учащиеся  знают,  что  ,  то  сравнивая  это  с  (7),  получают:  .  Отсюда  находят    Полученный  результат  записывают  в  виде  теоремы:  радиус  описанной  около  треугольника  окружности  равен  отношению  произведения  сторон  учетверенной  площади  треугольника.

Некоторые  учащиеся  из  (8)  могут  выразить  площадь  треугольника:  и  записать  результат  в  виде  следующей  теоремы:  площадь  треугольника  равна  отношению  произведения  его  сторон  к  учетверенному  радиусу,  описанного  около  него  окружности.

Учитель:  Выразите  из  (1),  (2),  (3),  стороны  треугольника. 

Учащиеся  записывают: 

Учитель:  Что  мы  получим,  если  сложит  эти  равенства?

Учащиеся  получают:

.  Отсюда 

  Заметив,  что  ,  где    радиус  вписанной  окружности  и  поставив  в  (12)  вместо    выражение 

,  ученик  получает:    Результат  учащиеся  записывают  в  виде  теоремы:  для  любой  окружности,  вписанной  в  треугольник  со  сторонами 

  выполняется  равенство    . 

Один  из  учеников,  заметив,  что    составит  следующее  неравенство:

  и  записывает  свою  теорему:  для  любого  треугольника  со  сторонами    справедливо  неравенство 

  ,  где  радиус  описанной  около  этого  треугольника  окружности.

Некоторые  учащиеся  перемножают  (9),  (10)  и  (11)  и  получают:    . 

Далее  ;  Отсюда  находят  произведение  синусов  внутренних  углов  треугольника:    (15).

Формируют  и  записывают  теорему:  произведение  синусов  внутренних  углов  треугольника  равно  отношению  увосьмиренного  куба  площади  и  к  квадрату  произведения  его  сторон.

Учитель:  Что  получим,  если  предположим,  что  в  (15)  один  из  углов  прямой.

Учащиеся:  Пусть,  к  примеру  .  Тогда  равенство  (15)  будет  иметь  вид:    ,  так  как  .  Учитывая,  что  ,  получаем    .

Учащиеся  формулируют  и  записывают  новую  теорему:  в  прямоугольном  треугольнике  отношение  произведение  катетов  к  квадрату  гипотенузы  равно  произведению  синусов  его  острых  углов.

Из  (15)  учащиеся  выражают  площадь 

  (16).

Учащиеся  формулируют  и  записывают  новую  теорему:  площадь  треугольника  равна  половине  произведения  кубических  корней  от  квадрата  произведения  сторон  и  произведения  синусов  внутренних  углов.

Вспомнив,  что    и  что    не  могут  равняться  1  одновременно,  учащиеся  пишут:    или 

Учащиеся  формулируют  и  записывают  теорему:  для  любого  треугольника  выполняется  неравенство.

Выражая  из  (17)    учащиеся  формулируют  теорему:  площадь  треугольника  меньше  половины  кубического  корня  из  квадрата  произведения  его  сторон.

Учитель:  Из  равенств  (1)  и  (3)  выразите 

Учащиеся  получают:    .

Учитель:  Найдите  сумму  и  разность 

Учащиеся  получают:    , 

  .

Учитель:  Найдите  произведение  (.

Учащиеся  получают:    (18).

Учитель:  Выразите  из  полученного  равенства  (18)  площадь  треугольника.

Учащиеся: 

Отсюда    (19).

Учащиеся  формулируют  «свою»  теорему:  площадь  треугольника  равна  половине  произведения  стороны  и  синусов  прилежащих  углов,  умноженное  на  квадратный  корень  из  частного  разности  квадратов  двух  других  сторон  и  разности  квадратов  синусов  противолежащих  им  углов.

Учитель:  Из  прямоугольника    (черт.  1)  найдите  площадь.

Учащиеся  получают  следующие  результаты.

 

  (20).

  (21).

  (22)  [2.  с.  174].

 

Учитель:  Перемножьте  левые  и  правые  части  этих  равенств.

Перемножив  их,  учащиеся  получают  следующие  равенства:

 

  (23),    (24),    (25).

 

Учащиеся  формулируют  и  записывают  теорему:  куб  синуса  внутреннего  угла  треугольника  равен  произведению  стороны  и  всех  высот,  деленное  на  квадрат  произведения  двух  других  его  сторон.

Далее,  учитель  просит  сложит  равенства  23,  24,  25.  Сложив  их,  учащиеся  получают: 

Тут  учащиеся  формулируют  и  записывают  теорему:  сумма  кубов  синусов  внутренних  углов  треугольника  равна  произведению  его  высот  на  сумму  отношений  стороны  к  квадрату  произведения  двух  других  сторон.

Некоторые  учащиеся,  заметив,  что    могут  сформулировать  другую  теорему:  отношение  произведения  любой  стороны  треугольника  и  его  высот  к  квадрату  произведения  двух  других  сторон  не  больше  1.

При  организации  такой  работы,  учащиеся  могут  «открыть»  для  себя  очень  много  интересной  информации.  После  нескольких  занятий  учащиеся  овладевают  таким  умениями,  как  селективное  комбинированное  (умение  соединять  фрагменты  информации,  чтобы  получить  новое),  селективное  сравнение  (решение  по  аналогии),  а  также  развиваются  исследовательские  умения  и  навыки,  творческое  мышление,  повышаются  уверенность  и  самооценка  учащихся.

 

Список  литературы:

1.Виноградова  Л.В.  Методика  преподавания  математики  в  средней  школе.  Ростов-н/Д.  «Феникс»  2005,  —  252  стр.

2.Мамедяров  Д.М.  Вакилов  Ш.М.  Развитие  творческого  мышления  учащихся  на  основе  фреймовой  формы  обучения  на  факультативных  занятиях.  Вестник  Костромского  госуниверситета  им.  Н.А.  Некрасова,  научно-методический  журнал  «Акмеология  образования»,  2007,  том  13.  —  220  стр.

 

Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.