ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ  ФУНКЦИИ  ОТ  КВАТЕРНИОННОГО  ПЕРЕМЕННОГО  И  НЕКОТОРЫЕ  ПРИЛОЖЕНИЯ

Сагиндыков  Бимурат  Жумабекович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  КазНТУ,  Республика  Казахстан,  г.   Алматы

E-mail:  

Бейсенбекова  Арайлым

магистр  КазЖенПУ,  Республика  Казахстан,  г.  Алматы

Таукебаева  Гульсим

магистр  КазЖенПУ,  Республика  Казахстан,  г.  Алматы

ELEMENTARY  FUNCTIONS  OF  A  QUATERNION  VARIABLE  AND  IT’S  APPLICATIONS

Bimurat  Sagindykov

candidate  (PhD)  of  Physical  and  Mathematical  sciences,  KazNTU,  Republic  of,  Kazakhstan,  Almaty

Araylim  Beysenbekova

master,  Kazakh  State  Women’s  Teacher  Training  University,  Republic  of,  Kazakhstan,  Almaty

Gulsim  Taukebaeva

master,  Kazakh  State  Women’s  Teacher  Training  University,  Republic  of,  Kazakhstan,  Almaty

Аннотация

В  данной  работе  методами  дифференциальных  уравнений  получены  эффективные  формулы  для  вычисления  элементарных  функций  от  кватернионного  переменного.  Также  получены  элементарные  функции  от  кватернионной  матрицы. 

abstract

In  this  paper,  an  effective  formula  for  the  calculation  of  the  elementary  functions  of  a  quaternion  variable  obtained  using  the  methods  of  differential  equations.  Also  the  elementary  functions  obtained  from  the  quaternion  matrices.

Ключевые   слова:  Алгебра  кватернионов;  аналог  формулы  Эйлера;  матричная  экспонента.

Keywords :  Quaternion  algebra;  an  analogue  of  the  Euler  formula;  matrix  exponential.

1.  Алгебра  кватернионов

[2]  По  Гамильтону  кватернион  есть  математический  объект  вида 

,  (1)

где:    —  действительные  числа,  называемые  компонентами  кватерниона  , 

«1»  —  множитель  действительной  единицы, 

  —  три  разные  мнимые  кватернионные  единицы.  Кватернионное  произведение  обозначается  знаком  «○»  и  определяется  следующими  правилами  умножения  кватернионных  единиц,  записанных  еще  Гамильтоном: 

,  ,  ,  .  (2)

Если  на  мнимые  единицы    смотреть  как  на  орты  декартового  базиса,  то  по  аналогии  с  комплексными  числами  кватернион    можно  представить  в  виде  формальной  суммы  скалярной  части    и  векторной  части  : 

,  (3)

а  правила  (2)  умножения  базисных  векторов  записать  через  скалярное  и  векторное  произведения  следующей  формулой:

  или

,

где    —  символы  Леви-Чивита,  а  .

Эти  соотношения  позволяют  интерпретировать  операцию  умножения  кватернионов  ,    через  скалярное  и  векторное  произведения

.  (4)

Из  правил  умножения  кватернионных  единиц  следует,  что    —  умножение  теряет  коммутативность

,

так  что  появляется  понятие  правого  и  левого  умножения,  но  остается  ассоциативным

.

Следуя  методике  получения  операции  сопряжения  вводим  операцию  кватернионного  сопряжения

и  определяем  модуль  -числа 

.

2.  Аналог  формулы  Эйлера

В  качестве  примера  оперирования  кватернионами  приведем  аналог  формулы  Эйлера.  Для  этого  рассмотрим  экспоненциальную  функцию  от  кватерниона  вида:

,  (5)

где    —  переменная  одного  кватернионного  переменного. 

В  силу  того,  что    —  действительное  число,  оно  коммутирует  со  своей  базисной  единицей  с  остальными  мнимыми  единицами,  тогда

.  (6)

Допустим,  что  экспоненциальная  функция  разложена  в  следующем  виде:

.

Беря  производную  из  (6)  по    получим  следующее  равенство:

  или

.

Отсюда  из  равенства  кватернионов  следует,  что 

    (7)

Продифференцировав  по  переменной    первое  равенство,  получим

,  то  есть

.  (8)

Для  уравнения  (8)  поставим  начальные  условия,  т.е.  при  :

.

Далее  продифференцировав  в  (7)  по  переменной    второе,  третье  и  четвертое  равенства  для  ,    и    получаем  аналогичные  уравнения  типа  (8)  при  соответствующих  начальных  условиях:

,  здесь  при  ,  ,  ;

,  здесь  при  ,  ,  ;

,  здесь  при  ,  ,  .

Решив  эти  уравнения  при  соответствующих  начальных  условиях,  имеем:

,  ,  ,  .

В  свою  очередь  аналог  формулы  Эйлера  для  кватернионов  записывается  в  виде

.  (9)

Отсюда  следует,  что  если  кватернион  используется  в  качестве  аргумента  элементарной  функции,  он  может  быть  представлен  как  условное  комплексное  число  с  условной  мнимой  единицей:

,

,  где  ,

,  .

Здесь  векторный  смысл  условной  мнимой  единицы  в  том,  что  он  является  единичным  вектором,  направленным  по  вектору  .  В  этой  записи  кватернион  сохраняет  свойства  комплексного  числа: 

.

,  .

Используя  эти  свойства  мы  можем  найти  элементарные  функции  от  кватернионного  переменного.  Для  этого: 

1)  заменим  кватернион  условным  комплексным  числом  ;

2)  раскрываем  элементарную  функцию  как  функции  комплексного  переменного  ;

3)  после  этого  переходим  к  обратной  замене  ,

,

.

Выпишем  для  наглядности  некоторые  элементарные  функции  кватерниона.

3.  Матричное  представление  алгебры  кватернионов

[3]  Интересным  представляется  представление  операции  умножения  кватернионов  в  матричной  форме.  Пусть 

,

.

Тогда  произведение  двух  кватернионов  даст  третий  кватернион    и  компоненты  полученного  кватерниона  определяются  по  формуле  (4):

,

,

,

.

Далее  кватерниону    сопоставим  в  соответствие  четырехмерный  вектор  ,  а  кватерниону    —  четырехмерный  вектор 

.

Тогда  кватерниону    можно  сопоставить  свой  четырехмерный  вектор,  который  можно  определить  следующим  образом:

.

Матрица    и  матрица    в  выражении  (10)  соответственно  равны

,  .

Для  некоторого  произвольного  кватерниона    матрицы    и    можно  представить  в  виде:

, 

где:    —  единичная  матрица  размером  ,

.

Некоторые  свойства  матрицы  : 

,  ,

,  .

Некоторые  свойства  матриц    и  :

Лемма .  Для  любого  кватерниона    имеют  место  следующие  равенства:  ,  .

Используя  матрицы    и    можно  легко  заменить  уравнения  в  кватернионах  на  уравнения  в  матрицах.  В  частности,  для  кватерниона    матричная  форма  записи  будет  следующая:

,

где:    —  четырехмерный  вектор,  соответствующий  кватерниону  . 

3.  Матричная  экспонента

Для  нахождения  матричной  экспоненты  от  кватерниона  применим  метод  спектрального  разложения  функции  от  матриц. 

Существует  изоморфизм  между  кватернионами    и  квадратными  матрицами  четвертого  порядка  специального  вида 

.

в  отношении  кватернионных  и  матричных  операций. 

Находим  характеристический  многочлен  кватернионной  матрицы 

.

Тогда  комплексное  значение  ,    являются  собственными  значениями  кватерниона  . 

Минимальный  многочлен  кватернионной  матрицы    находим  по  формуле

,

где    —  наибольший  общий  делитель  миноров  -го  порядка  характеристической  матрицы  .

В  нашем  случае  ,  .  Тогда 

,

где  .

Или 

,

где  .  Здесь  .

Тогда  основная  формула  для    выглядит  следующим  образом:

,

где  ,    —  компоненты  матрицы  ,  а 

,

.

Подставляя  вместо    последовательно  ,    получим

,

,

где  единичная  матрица.

Таким  образом

.  (10)

Рассмотрим  некоторые  применения  этой  формулы.

Если  ,  то  её  значениями  на  спектре  матрицы    являются  числа  ,  .  Следовательно  данная  функция  определена  на  спектре  матрицы  .

Поэтому  основную  формулу  (10)  можно  использовать  для  нахождения  обратной  матрицы  .

Подставляя  значения  ,    в  основную  формулу  для    имеем  .  Здесь 

.

В  правильности  полученной  формулы  можно  убедится  непосредственным  вычислением.

Теперь  найдем  экпоненту  от  кватернионной  матрицы.  Для  этого  рассмотрим  функцию  ,  которая  также  определена  на  спектре  матрицы 

.

Продолжая  этот  процесс  мы  можем  получить  от  кватернионной  матрицы    весь  спектр  элементарных  функций.

Список  литературы:

1.Ефремов  А.П.  Q-поле,  переменный  кватернионный  базис.  //  Физика.  Известия  вузов,  1985.  —  с.  12,  14—18.

2.Гамильтон  У.Р.  Избранные  труды:  Оптика.  Динамика.  Кватернионы.  М.:  Наука,  1994. 

3.Белман  Р.  Введение  в  теорию  матриц.  М.:  Наука,  1969.  —  368  с.

4.Байрак  Л.Г.  Интегральная  форма  Коши  для  кватернионов.  //  [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL:  http://scolium.narod.ru