ГРУППЫ  ЧИСЛОВЫХ  «СОЗВЕЗДИЙ»

Мамедяров  Даглар  Мамедярович

канд.  пед.  Наук,  Дербентский  филиал  «Московский  государственный  гуманитарный  университет  им.  М.А.  Шолохова»,  Республика  Дагестан,  г.  Дербент

E-mail: 

 

GROUPS  OF  NUMERICAL  “CONSTELLATIONS”

Daglar  Mamedyarov

candidate  of  pedagogic  sciences,  Derbent  Branch  of  Sholokhov  Moscow  State  University  for  the  Humanities,  Russia,  Derbent

 

АННОТАЦИЯ

Группами  «числовых  созвездий»  в  свое  время  занимались  два  великих  академика:  Гольдбах  и  Эйлер.  В  своей  статье  автор  ставит  цель:  найти  правило  для  получения  аналогичных  и  других  интересных  «числовых  созвездий».  В  ходе  такой  исследовательской  работы  были  найдены  способы  получения  различных  групп  созвездий  с  использованием  свойств  треугольных,  пирамидальных  и  других  чисел  сочетаний.  Материал  данной  статьи  с  успехом  можно  использовать  на  факультативных  и  кружковых  занятиях.

ABSTRACT

In  due  time  two  great  academicians  Goldbach  and  Euler  used  to  work  with  groups  of  “numerical  constellations”.  In  this  article  the  author’s  goal  is  to  find  a  rule  for  receiving  similar  and  other  interesting  “numerical  constellations”.  During  this  research  the  ways  of  gaining  different  groups  of  constellations  using  properties  of  triangular,  pyramidal  and  other  numbers  of  combinations  have  been  found.  Material  of  this  article  could  be  successfully  used  in  interest  groups  and  extracurricular  activities. 

 

Ключевые  слова:  числовые  созвездия;  тождества.

Keywords :  numerical  constellations;  identities.

 

Числа,  подобно  звездам,  можно  группировать  в  разнообразные  числовые  «созвездия».

«Созвездие»  из  шести  чисел  2,  3,  7,  1,  5,  6  занятно  тем,  что  сумма  первых  трех  чисел  равна  сумме  последних  трех,  равны  даже  суммы  их  квадратов:

 

 

Эти  числа  2,  3,  7,  1,  5,  6  заменяют  собой  шесть  неизвестных    в  системе  уравнений

 

 

Есть  бесконечно  много  других  чисел,  которые  являются  решением  этой  системы.  Еще  ярче  «созвездия»  из  восьми  чисел  0,  5,  5,  10,  1,  2,  8,  9  и  из  десяти  чисел  1,  4,  12,  13,  20,  2,  3,  10,  16,  19.  В  каждом  из  них  сумма  чисел  первой  половины  равна  сумме  чисел  второй  половины,  затем  равны  суммы  квадратов  тех  же  чисел,  больше  того,  равны  даже  суммы  кубов  тех  же  чисел: 

 

 

 

Имеются  и  другие  группы  чисел,  связанные  точно  такими  же  соотношениями,  но  как  подобрать  такие  числа?  В  «тайну»  всех  приведенных  здесь  «числовых  созвездий»  первыми  проникли  еще  в  1750—1751  годы  два  петербургских  академика  Гольдбах  и  гениальный  Эйлер.  Они  нашли  ряд  формул,  пригодных  для  решения  в  целых  числах  некоторых  систем  уравнений,  в  частности  и  тех,  которые  приводят  к  упомянутым  «числовым  созвездиям».

Для  подбора  чисел,  образующих  первое  «созвездие»:

 

 

оказались  пригодными  такие  формулы: 

 

 

и

 

 

Надо  заменить  в  этих  формулах  буквы    любыми  числами,  и  вы  получите  сколько  угодно  чисел  первого  «созвездия».  В  частности,  при    получается  «созвездие»,  приведенное  в  качестве  первого  примера:  2,  3,  7,  1,  5,  6.

Эйлер  и  Гольдбах  дали  еще  и  другую  группу  формул  для  чисел  первого  «созвездия».

 

 

где:    тоже  произвольные  числа.

Для  подбора  чисел,  образующих  второе  «созвездие»:

 

 

пригодны  следующие  формулы:    [1].

Занимаясь  этой  проблемой,  мы  нашли  другие  интересные  числовые  «созвездия»  и  правила  нахождения  чисел  для  таких  «созвездий»,  в  частности  для  первого  «созвездия».

На  примерах  объясним  суть  нашего  правила  .

Возьмем  разность  чисел 

Пусть    имеем: 

 

  и  т.  д.

Пусть  ,  имеем: 

 

  и  т.  д.

Пусть  ,  имеем: 

 

  и  т.  д.

 

Если  в  этих  равенствах  возьмем  разность  двух  соседних  значений,  то  получим  .

Например,  при    и  т.  д.

при    и  т.  д.

Поэтому,  мы  можем  составлять  множество  тождеств  вида 

 

  и  т.  д.,  или

 

  и  т.  д.

Отсюда,  используя  определение  числа  сочетаний,  получаем 

  или 

  Имеем:

 

 

  или    Имеем:

 

 

  Найденные  нами  числа  являются  решениями  системы  второго  «созвездия»,  правда,  только  для  первых  двух  уравнений.  Используя  такие  тождества,  можно  получить  сколько  угодно  решений  для  системы

 

 

А  как  получить  числа  для  первого  «созвездия»?

Покажем  это  на  примере.

Воспользуемся  равенством

 

  [2].

 

Пусть 

Имеем:    Возьмем  следующее  равенство,  где   

Отсюда    или 

 

Пусть 

Имеем:    Возьмем  второе  равенство,  где 

  Тогда   

 

Приравнивая  обе  части,  получаем: 

 

  или

.

 

Общее  правило  такое:  из  тождества    взяв  вместо    и    произвольные  числа,  вычисляем  первое  тождество.  Так  как  равенство  не  зависит  от  выбора  ,  то  вычисляем  второе  тождество,  такое,  чтобы  его  меньший  член  совпадал  со  старшим  членом  первого  тождества.  То  есть  складываем  к  старшему  члену  первого  тождества  .

Тождество    всегда  приводит  к  решению  системы:

 

 

Приведем  один  пример: 

 

  Отсюда

 

Приведем  несколько  другие  интересные  «созвездия».

Вычислим  разность  треугольных  чисел  вида  .  Например,

 

  и  т.  д.

Получаем    и  т.  д.

Число  4  запишем  в  виде    по  формуле 

Имеем:    или 

Используя  определение  числа  сочетаний,  имеем: 

 

 

Получаем  систему

 

, 

 

Отсюда 

 

 

Используя  определение  числа  сочетаний,  получаем: 

 

  или 

.  Имеем  систему

 

 

Используя  такие  тождества  можно  получить  бесконечное  множество  решений  системы

 

 

Для  получения  таких  равенств  можно  использовать  равенство 

 

Пусть  .  Составим  равенства 

 

  и  т  .д.

Найдем  разность  двух  соседних  тождеств. 

1.   но    есть    Отсюда 

  имеем 

 

2.     или    Имеем: 

 

 

Используя  разности    при    можно  получить  сколько  угодно  такие  «созвездия».  Можно  получить  и  другие  «созвездия»,  подобные    или    которые  являются  решениями  системы 

 

 

Если  возьмем  разности    и  составим  равенства  ,  получаем 

Используя  определения  числа  сочетаний,  получаем  решения  системы 

 

 

Пример  1 .    или 

  или 

 

  имеем 

 

 

Пример  2 .    или 

 

Имеем:   

 

 

 

Если  возьмем  разности  чисел  вида  ,  получим  решение  системы

 

 

Приведем  несколько  примеров.

Пример  1 .    Отсюда 

 

Имеем: 

 

 

Пример  2 .    или 

  Отсюда 

 

 

 

Из  наших  примеров  можно  сделать  вывод:  если  взять  равенства  вида  ,  то  записывая    в  виде    можно  находить  решения  системы  уравнений  вида  ,  где    разность  .

Приведем  примеры: 

1.

Отсюда  .  Используя  определение  числа  сочетаний,  имеем 

Имеем: 

2.

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

Составляя  разнообразные  комбинации  из  чисел  сочетаний,  можно  получать  различные  числовые  «созвездия».

 

Составим  различные  числовые  «созвездия».

Возьмем  выражение    Отсюда 

  Далее

  Имеем:

 

 

Из  ,  получаем 

  Имеем: 

  Отсюда 

  или 

 

Возьмем    Отсюда 

  Имеем

    Отсюда 

 

 

Из    мы  получили  решение  системы 

 

 

Из    получили  решение  системы 

 

 

Из    получили  решение  системы 

 

 

Из  равенства    имеем:

  или 

 

  ,  получили  решение  системы

 

 

Возьмем  такое  выражение 

Отсюда   

Имеем:    или 

 

 

Получили  решение  системы 

 

 

Замечание :  если  записать  эти  тождества  в  общем  виде  и  придавать  им  различные  значения,  мы  получим  множество  решений  полученных  систем.

 

Рассмотрим  еще  одно  «созвездие».  Оно  представляет  собой  систему

 

 

Прежде  чем  приведем  решение  данной  системы,  остановимся  на  одном  историческом  факте. 

Индийский  студент  Сундарам  в  1934  году  придумал  следующую  таблицу:

4,  7,  10,  13,  16,  19,  22,  25,  28,  …

7,  12,  17,  22,  27,  32,  37,  42,  47,  …

10,  17,  24,  31,  38,  45,  52,  59,  66,  …

13,  22,  31,  40,  49,  58,  87,  96,  105,  …

  …

Если  взять  число,  которое  не  входит  в  эту  таблицу,  умножить  на  2  и  прибавить  1,  то  получится  всегда  простое  число.  Например,  15  не  входит  в  эту  таблицу.    простое.

Заметим,  что  любой  член  первой  строки  имеет  вид  ,  второй  —    третьей  —    четвертой  —    и  т.  д.  То  есть  каждая  трока  представляет  арифметическую  прогрессию  с  разностью  .

Каждый  член  таблицы  Сундарама  можно  записать  в  виде  .  Например,    и  т.  д.

  и  т.  д.

Заметьте,  что  в  каждой  арифметической  прогрессии  есть  одинаковые  члены.  Например,   

Для  любых  нечетных  чисел    и    можно  находить  такие  тождества,  т.  е.  для  любой  арифметической  прогрессии  с  разностями    и    можно  найти  общий  член.

Приведем  пример.

Пусть  .  Найдем  общие  члены  этих  прогрессий,  сравнивая  формулы  общих  членов 

Пусть  ,  тогда    или  ,  тогда  . 

То  есть  при   

Эти  прогрессии  имеют  равные  члены. 

 

Возьмем  равенство 

Отсюда    или 

Используя  определение  числа  сочетаний,  имеем: 

  Отсюда  имеем   

 

Возьмем  равенство 

Отсюда    или    Имеем: 

 

Получаем  систему   

 

Возьмем  равенство 

Отсюда    или    Имеем:

 

Получаем  систему   

 

Таким  образом,  мы  можем  найти  бесконечное  множество  решений  системы 

 

Решение  системы 

 

Для  нахождения  решения  нашей  системы  можно  использовать  различные  комбинации  из  треугольных  чисел.

Приведем  несколько  примеров.

1.  

Приравнивая  левые  части,  получаем  .  Отсюда 

  или  .  Имеем: 

 

Получаем  систему 

 

2.  

Отсюда    или 

.  Имеем: 

 

Получаем  систему 

 

3.   Возьмем   

Отсюда    Имеем:    или 

  .

 

Получаем  систему 

Как  найти  решения  этой  системы  в  натуральных  числах  мы  уже  показали  при  решении  уравнения  .  в  этом  равенстве  равны  основания,  т.  е.   

Решение  системы 

 

Воспользуемся  равенством  .  Это  равенство  верно  для  любых  .

Например,    и  т.  д.

Имеем: 

Отсюда    или   

Имеем:  .

Получаем  систему 

 

Из    имеем: 

Отсюда  получаем:  .

Имеем  систему: 

 

Решение  системы 

 

Воспользуемся  равенством  .  Это  равенство  верно  при  любых  .

Возьмем  два  равенства    Отсюда 

  Имеем: 

.

Получаем  систему 

 

Приведем  другой  пример.

Возьмем  равенство    Имеем: 

.

Получаем: 

 

Возьмем  равенство 

Имеем:    Далее 

.

Получаем: 

Таким  образом,  мы  можем  находить  бесконечное  множество  решений  данной  системы.

Решение  системы 

 

Покажем  решение  на  примерах.

Возьмем  равенство 

Отсюда    или 

Далее  .

Имеем  систему 

 

Решение  системы 

 

Воспользуемся  равенством  вида  . 

Например, 

Отсюда 

Далее    Имеем: 

.

Получаем  систему 

 

Возьмем  равенство 

Отсюда    или 

  Имеем: 

.

Получаем  систему 

 

Решение  системы 

 

1. Возьмем  равенство 

Отсюда    Имеем: 

.

Получаем  систему 

Заметим,  что  эти  числа  удовлетворяют  и  уравнению 

 

,  т.  е.

,

 

,  т.  е.  мы  нашли  решение  системы:

 

  (*)

 

2. Возьмем 

Отсюда   

Имеем:  .

Получаем  систему 

 

 

Проверим,  удовлетворяют  ли  эти  числа  уравнению 

 

  ?

 

Убедились,  что  эти  числа  являются  решением  системы  (*).  Используя  такие  тождества  мы  можем  находить  бесконечное  множество  решений  системы  (*).

 

Решение  системы 

 

Воспользуемся  равенством  . 

Возьмем  равенство 

Отсюда    или 

.

Используя  формулу    получаем 

 

.

 

Получаем  систему    но  эти  числа  удовлетворяют  и  уравнению  ,  т.  е. 

 

,  .

 

Используя  тождество  ,  при  различных  значениях    можно  находить  решения  системы  уравнений  от  первой  до  й  степени  с  биноминальными  коэффициентами  разложения  бинома  Ньютона  й  степени. 

Например,  из  тождеств 

=1  и

=1  можно  получить  системы  уравнений.

 

 

Из  тождества

 

.

 

Имеем;

 

 

Это  одно  из  решений.  Такие  системы  имеют  бесконечное  множество  решений.

 

Список  литературы:

1.Кордемский  Б.А.  Математическая  смекалка.  Москва  1965  г.  —  Стр.  336.

2.Мамедяров  Д.М.,  Вакилов  Ш.М.  Некоторые  свойства  соединений  и  фигурных  чисел  и  их  применение  при  решении  задач.  Дербент  2006  г.  —  Стр.  68.

3.Мамедяров  Д.М.  Неопределенные  уравнения  и  их  системы.  Дербент  2013.  Стр.241.

4.Мамедяров  Д.М.  Вакилов  Ш.М.  Как  научить  учащихся  маленьким  открытиям.  Международная  научно-практическая  конференция.  Материалы  конференции  24,26  июня  2011  года.  Дербент  2011.