АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ВУЗЕ

ALGORITHMIZATION EDUCATIONAL PROCESS THEORY OF PROBABILITY IN HIGH SCHOOL

Marina Batranina

senior lecturer of the department “Higher Mathematics” of federal state budgetary educational institution “Orel State University”,

Russia, Orel

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются вопросы алгоритмизации процесса обучения в рамках дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» с целью повышения качества образования студентов вузов.

ABSTRACT

This article discusses issues algorithmization learning process within the discipline “Theory of Probability and Mathematical Statistics” for the purpose of improving the quality of education of university students.

Ключевые слова: алгоритм; теория вероятностей; процесс обучения.

Keywords: algorithm; probability theory; training process.

Теория вероятностей сегодня является базовым предметом при подготовке специалистов любого профиля. В высшей школе, в зависимости от специализации, он изучается либо как самостоятельная дисциплина, либо входит в курс высшей математики. Освоение студентами курса теории вероятностей имеет ряд особенностей. Во-первых, объем знаний по вероятностным разделам, необходимый для изучения, достаточно велик, в то время как объем часов по этим разделам математики, предусмотренный учебным планом вуза, ограничен. Во-вторых, существует ряд трудностей, с которыми сталкиваются студенты при изучении теории вероятностей, связанных, например, с наличием в данной дисциплине абстрактно-логических рассуждений, вероятностных (неоднозначных) утверждений, с необходимостью перевода содержания задачи (для ее решения) на язык вероятностных моделей и т. д. Главная проблема в том, что события менее наглядны, чем фигуры, числа или выражения, а вероятность, шанс не так интуитивны, как длина, площадь или объем. Событие и его шансы – особые типы мыслительных объектов, формализация которых в математические происходит значительно сложнее, чем формализация рисунка (в геометрии) или количества (в арифметике или алгебре).

Кроме того, с каждым годом уровень школьной математической подготовки снижается. Современные студенты приходят в вуз совершенно не умея логически мыслить, рассуждать, анализировать. Традиционная трудность математических дисциплин – анализ текста условия и, как следствие, умение решать сюжетные задачи – в данном предмете является решающей: все задачи сюжетные. Сюжетные задачи по теории вероятностей, комбинаторике и статистике гораздо разнообразнее, чем алгебраические. Помимо «классических» задач: бросание кубиков, монет, вытягивание наугад разноцветных шаров, существует огромное число прочих сюжетов. Решая «новую» задачу, понять, что это «старая», только что решенная задача, но в «новой упаковке», зачастую оказывается весьма сложно для студента. Не очень хорошо подготовленные студенты не видят аналогию даже в задачах на вытаскивание из урны разноцветных ручек или разноцветных шаров.

В связи с этим перед преподавателем возникает довольно сложная задача адаптации обучающихся к изучению своего предмета. Одним из путей преодоления этих трудностей является использование алгоритмического подхода к решению вероятностных задач.

Алгоритмы можно давать студентам в виде схем, таблиц, последовательности действий.

Одна из первых тем в курсе «Теория вероятностей и математическая статистика» – классическое определение вероятности события. Обычно, после прочтения задачи, у студента в голове возникает хаос, все сваливается в одну кучу: событие, исходы, вероятности. Структурировать рассуждения, помочь выстроить логическую цепочку из этих рассуждений помогает следующий алгоритм:

1. Выяснить какой опыт имеет место в рассматриваемой задаче.
2. Сколько существует у данного опыта возможных исходов (n).

На данном этапе хорошо, когда студенты вслух формулируют вопрос.

3. Ввести событие А, вероятность которого требуется найти в задаче.
4. Сколько существует исходов, благоприятствующих этому событию (m). Тут тоже важно вслух сформулировать вопрос.
5. Применить формулу классической вероятности  

На каждом этапе важно предлагать студенту сформулировать тот вопрос, на который требуется на этом этапе дать ответ. При этом следует добиваться от студента абсолютно четкого понимания того, что такое испытание (опыт, эксперимент), что такое событие, и что такое вероятность события.

Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом равновозможных исходов. В такой ситуации применяется геометрическое определение вероятности. При анализе задачи ряд признаков, таких как элементарное событие в опыте можно свести к выбору точки, элементарные события равновозможны, число элементарных событий бесконечно, а их множество образует конечномерную область, указывают студенту на вывод о применимости геометрической вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.). Решение задачи при этом, по сравнению с предыдущими, связано с необходимостью интерпретации опыта как выбора точки в некоторой области.

Алгоритм решения на геометрическую вероятность таков:

1. Выяснить какой опыт имеет место в рассматриваемой задаче. Так как число исходов опыта, описанного условием задачи, бесконечно, то для вычисления вероятности нужно воспользоваться геометрическим способом. Для этого опыт необходимо свести к выбору точки в некоторой области.
2. Определить область G всех возможных исходов опыта и найти его меру (длину, площадь или объем) – mes G.
3. Сформулировать событие А, вероятность которого требуется найти в задаче.
4. Определить область Q, которая является подмножеством множества G и является множеством исходов, благоприятствующих событию А. найти меру множества Q – mes Q.
5. Найти вероятность события А по формуле:  

Решение задач на геометрическую вероятность вызывает много трудностей. Это связано именно с трудностью интерпретации сюжетной задачи как задачи на бросание точки на некоторую область. При этом преподавателю целесообразно не преподносить сразу студентам идею этой интерпретации, а с помощью серии вопросов спровоцировать появление верной идеи.

При изучении аксиом и теорем теории вероятностей целесообразно представить их в виде следующих таблиц:

Таблица 1.

Вероятность суммы двух событий

Таблица 2.

Вероятность суммы нескольких событий

Таблица 3.

Вероятность произведения событий

Для решения задач на применение теорем сложения и умножения рекомендуется следующий алгоритм:

1. Сформулировать событие, вероятность которого требуется найти в задаче.
2. Сформулировать события, через которые можно выразить искомое событие с помощью операций сложения, умножения и отрицания.
3. Найти вероятности событий, сформулированных в пункте 2.
4. Выразить искомое событие через события, сформулированные в п. 2, с помощью операций сложения, умножения и отрицания.
5. Перейти к вероятности искомого события и применить теоремы сложения и умножения.

Следствием теорем сложения и умножения являются формулы полной вероятности и Байеса. Для этих формул можно предложить студентам следующий алгоритм:

1. Сформулировать событие A, вероятность которого требуется найти в задаче (или, для формулы Байеса, то событие, которое произошло в результате опыта);
2. Сформулировать гипотезы .
3. Найти вероятности гипотез .
4. Сделать проверку .
5. Записать формулу полной вероятности для данной задачи .
6. Найти условные вероятности . На этом этапе желательно, чтобы студенты хотя бы устно проговаривали вероятность какого события и при каком условии находят.
7. Подставить значения найденные в п. 3 и п. 6 в формулу полной вероятности (п. 5).

Для формулы Байеса добавляется еще один пункт:

8. Вычислить вероятность искомой гипотезы по формуле Байеса:

Для задач, в которых происходит серия испытаний по схеме Бернулли, алгоритм таков:

1. Сформулировать событие A, вероятность которого требуется найти в задаче.
2. Составить схему Бернулли:
1. сформулировать, что будем понимать под одним испытанием;
2. определить количество испытаний n;
3. проверить являются ли испытания независимыми;
4. разбить исход одного испытания на две группы: «успех» и «неудача». «Успех» = {исход, благоприятствующий событию А}, «неудача» = {исход, противоположный «успеху»};
5. Найти вероятности «успеха» – p и «неудачи» – q. Следует убедиться, что p и q не изменяются от испытания к испытанию в данной серии испытаний.
3. Выразить вероятность события А через вероятность m успехов в n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли .
4. Применить формулу Бернулли к п.3  или, в случае, если количество испытаний велико, приближенные формулы:

если n велико и p очень мало () – формулу Пуассона: ;

если n велико и p не очень мало () – формулу Муавра-Лапласа: .

Алгоритмизация процесса решения задач позволяет студентам четко представлять план решения задачи, анализировать условие, учит их аналитически, структурированно мыслить, логически рассуждать. Такой подход способствует более прочному усвоению знаний, более четкому и осознанному применению основных понятий и теорем теории вероятностей.

Список литературы:

1. Губина С.С., Методика обучения решению задач теории вероятностей в военном вузе // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика: сб. трудов междунар. заочной научно-практич. конф. – Воронеж, 2014. – С. 18–21.
2. Багишова О.А., Преподавание теории вероятностей и статистики в средней школе: трудно начать? – [Электронный ресурс]. // Математика: учебно-методический журнал. – 2009. – № 14. URL: http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200901402 (Дата обращения: 03.04.2016).
3. Патронова Н.Н., Тепляков В.В., Реализация технологии развивающего обучения теории вероятностей в педагогическом вузе // Современные проблемы науки и образования. – 2013. – № 4. URL: http://www.science-education.ru/ru/article/view?id=9600 (Дата обращения: 03.04.2016).