СИСТЕМА  НЕСТАНДАРТНЫХ  ЗАДАЧ  ПО  МАТЕМАТИКЕ, ПРИЕМЫ  И  МЕТОДЫ  РЕШЕНИЯ

Глухова  Ольга  Юрьевна

зав.  кафедрой  высшей  математики,  канд.  пед.  наук,  доцент  Кемеровского  государственного  университета,  г.  Кемерово

E-mail: 

THE  SYSTEM  OF  NON-STANDARD  PROBLEMS  IN  MATHEMATICS,  TECHNIQUES  AND  METHODS  FOR  SOLVING

Olga  Gluhova

head,  Department  of  Higher  Mathematics,  Candidate  of  Science,  Assistant  Professor  of  Kemerovo  State  University,  Kemerovo

АННОТАЦИЯ

Система  нестандартных  задач  учитывает  запросы  преподавателей  и  обучаемых.  В  систему  включают  задачи,  решаемые  различными  приемами  и  методами:  метод  перебора,  арифметический  метод,  алгебраический  метод  и  другие.

ABSTRACT

The  system  of  non-standard  problems  considers  the  demands  of  trainers  and  trainees.  The  tasks  of  different  approaches  and  methods  such  as  the  search  method,  arithmetic  method,  algebraic  method  and  others  all  included  in  the  system.

Ключевые  слова:  система  нестандартных  задач,  методы  и  приемы  решения.

Keywords:  system  non-standard  tasks,  methods  and  techniques  of  the  decision.

Разработка  системы  нестандартных  задач  для  элективного  курса  способствует  развитию  интереса  к  математике.  Определим  сначала,  что  мы  понимаем  под  нестандартной  задачей.  Дело  в  том,  что  «нестандартность»  —  свойство  относительное.  Для  обучаемого,  который  впервые  встречается  с  задачей,  требующей  применения  новой  для  него  идеи,  задача  является  нестандартной.  На  наш  взгляд,  целесообразно,  придерживаться  следующего  понятия:  нестандартная  задача  —  это  задача,  о  которой,  решающему  ее,  неизвестны  ни  идея  решения,  ни  даже  то,  на  каком  известном  разделе  теории  основано  хотя  бы  одно  из  возможных  решений.  Основные  требования,  которыми  мы  руководствовались  при  отборе  нестандартных  задач  таковы:

·     задачи  (так  же,  впрочем,  как  и  их  формулировки)  должны  быть  нестандартными,  но  доступными  обучаемым,  то  есть  допускать  решения,  опирающиеся  непосредственно  на  программный  материал  (следует  добавить,  что  в  качестве  критерия  «стандартности»,  выступают  программа  и  учебники);

·     задачи  должны  допускать  компактное  решение  (и,  в  частности,  не  требовать  громоздких  вычислений,  усложненной  логики  рассуждений),  основное  внимание  в  ходе  решения  уделяется  разрешению  нестандартной  ситуации,  описанной  в  условии  задачи;

·     формулировка  задач  или  их  решение  должны  заинтересовать  обучаемых.

Организация  нестандартных  задач  в  определенную  систему  должна  учитывать  запросы  как  преподавателей,  ведущих  занятия,  так  и  обучаемых.  Хотя  основная  роль  нестандартных  задач  —  развитие  интереса  обучаемых  к  математике,  нельзя  ограничиваться  приведением  только  занимательных  задач:  обучаемые  должны  научиться  решать  определенные  классы  задач,  освоить  определенные  идеи,  приемы,  методы.  Представляется,  что  определяющими  требованиями  к  системе  являются:

1.  Задачи  должны  распределяться  по  рубрикам,  которые  могли  бы  служить  подборками  задач  для  проведения  тематических  занятий;  при  этом  необходимо  возможно  четче  выделить  основные  идеи  и  методы.

2.  Задачник  должен  содержать  известное  количество  задач,  позволяющих  закрепить  изученное,  но  количество  их  должно  быть  не  очень  велико  (в  противном  случае  задача  быстро  перестает  быть  нестандартной).

Разрабатывая  программу  элективного  курса  «Решение  нестандартных  задач  по  математике»  для  физико-математического  класса  в  систему  задач  включаем  задачи,  решаемые  следующими  методами:  метод  перебора;  арифметический  метод  решения  нестандартных  задач;  алгебраический  метод  решения  задач;  метод  соответствия;  логические  методы  решения  задач;  метод  задач  —  заданий.  Идея  систематизации  подсказана  методами  решения  стандартных  задач,  олимпиадных  задач,  задач  по  математике  для  внеклассной  работы  [1,  с.  3].  Проведем  краткое  описание  методов.

Метод  перебора.

Под  методом  перебора  в  математике  понимают  осуществление  последовательного  или  случайного  анализа  всех  или  некоторых  специально  выбранных  случаев,  которые  могут  встретиться  в  ситуации,  заданной  формулировкой  задач.  Для  классификации  задач  метода  перебора  выделим  сначала  две  большие  группы:  задачи,  решаемые  методом  полного  перебора;  задачи,  в  ходе  решения  которых  возможно  ограничить  полный  перебор.

При  решении  первой  группы  задач  возникает  проблема  правильной  организации  полного  перебора.  Необходимо  рассмотреть  все  возможные  случаи,  встречающиеся  при  решении  задачи,  избегая  повторов  и  пропусков.  Задачи  первой  группы  делятся  на  серии  в  зависимости  от  системы  организации  полного  перебора,  к  ним  относят:  правило  крайнего;  полный  перебор  с  возвратом;  графическое  представление  полного  перебора;  полный  перебор  «от  конца  к  началу».

Правило  крайнего  —  такая  организация  полного  перебора,  когда  при  рассмотрении  всех  возможных  случаев  берется  самый  «крайний  случай»  —  «крайним»  элементом  может  быть  самый  меньший  или  самый  больший. 

Полный  перебор  с  возвратом  —  применяется  в  том  случае,  когда  изменяются  две  переменные  или  более.  Полный  перебор  осуществляется  для  определения  всех  возможных  значений,  как  первой  переменной,  так  и  других.  Тогда,  дав  первой  переменной  крайнее  значение,  надо  перебрать  все  значения  второй  переменной  (используя  правило  «крайнего»),  затем  возвратиться  к  первой  переменной  и,  дав  ей  следующее  значение,  опять  перебрать  все  значения  второй  переменной  и  т.  д.,  пока  не  будет  осуществлен  полный  перебор.  Этот  способ  и  называется  перебором  «с  возвратом».  Аналогично  для  трех  и  более  переменных.

Графическое  представление  полного  перебора  —  дает  наглядную  иллюстрацию  полного  перебора  и  в  ряде  случаев  значительно  упрощает  решение.  Для  решения  задач  применяется  упрощенный  метод  графов.  Элементы  задачи  являются  вершинами  графа,  линии  их  соединяющие  —  ребрами  графа.

Полный  перебор  «от  конца  к  началу»  —  рассмотрим  на  примере  задач  на  переливание.  К  задачам  на  переливание  относятся  задачи,  в  которых  надо  получить  определенное  количество  жидкости  ограниченными  средствами,  иногда  за  ограниченное  число  переливаний.  (Одну  из  задач  на  переливание  связывают  с  именем  французского  математика,  механика  и  физика  Симеона  Дени  Пуассона  1781—1840,  который  говорил,  что  задача  про  два  сосуда  определила  его  судьбу  —  он  решил,  что  станет  математиком).  Такие  задачи  можно  решать  полным  перебором  вариантов.  Но  поскольку  в  них  заданы  начальная  и  конечная  ситуация,  то  полный  перебор  рациональнее  вести  «от  конца  к  началу»,  в  этом  случае  возникает  меньше  вариантов,  и  перебор  становится  более  целенаправленным. 

Задачи  второй  группы,  в  ходе  решения  которых  можно  ограничить  полный  перебор,  делятся  на  серии  в  зависимости  от  организации  сокращения  полного  перебора.  Задачи  второй  группы  делятся  на  серии:  выделение  области  поиска  решения;  «отсечение»  —  сокращение  перебора,  исходя  из  соображений  симметрии.

Выделение  области  поиска  решения  —  применяется  в  тех  случаях,  когда  рассмотрение  всех  возможных  решений  задачи  имеет  такое  число  шагов,  что  рассмотреть  их  все  очень  трудоемкая  работа.  В  таких  случаях  приходится  ограничивать  область  поиска,  иногда  в  результате  теряются  некоторые  ответы.  В  предлагаемых  задачах,  прежде  чем  применять  метод  полного  перебора,  надо  определить  область,  в  которой  вероятнее  всего  находится  решение  задачи.

«Отсечение»  —  сократить  перебор  можно,  отбросив  варианты,  которые  заведомо  не  дадут  желаемого  результата.  Прежде  чем  начать  перебор,  надо  рассмотреть  все  видимые  с  самого  начала  случаи,  которые  не  приводят  к  решению  задачи,  а  затем  не  включать  их  в  перебор.

Арифметический  метод  решения  задач.

Под  арифметическими  задачами  мы  понимаем  вопрос,  из  какой  угодно  области,  разрешаемый  счетом  и  четырьмя  арифметическими  действиями.  Сам  метод  «арифметическое  решение  задачи»  отличается  от  алгебраических  приемов  в  первую  очередь  тем,  что  на  всех  стадиях  рассуждения  все  сопоставления  и  производимые  действия  допускают  совершенно  наглядное  и  конкретное  осмысление  в  области  тех  величин,  о  которых  идет  речь,  истолкование.  Описывая  основные  идеи  решения  арифметических  задач,  выделяем  9  типов  нестандартных  задач:  метод  «от  конца  к  началу»;  сравнение  двух  условий  вычитанием;  нахождение  среднего  арифметического;  совмещение  событий  происходящих  в  задаче,  по  времени;  задачи  на  простой  счет;  задачи  на  движение;  задачи  на  сравнение;  прием  «предположения»;  перераспределение  [2,  с.  36].

Алгебраический  метод  решения  задач. 

Раздел  объединяет  задачи,  которые  сводятся  к  решению  уравнений.  Десятичная  запись  натурального  числа.  Как  известно,  десятичной  записью  натурального  числа  называется  его  представление  в  виде  суммы,  разложенной  по  степеням  числа  10:  х  =  а_п10ⁿ  +  а_п-1  10^n-1  +  ...  +  а₁10  +  а_о,  где  а_п  #  0.  В  основе  решений,  найденных  с  помощью  десятичной  записи,  лежит  идея  алгебраизации;  часто  представление  числа  в  виде  разложения  по  степеням  числа  10  позволяет  свести  задачу  к  решению  алгебраического  уравнения  (иногда  неопределенного  уравнения).  Имеется  ряд  задач,  при  решении  которых  применяются  другие  приемы.  На  основе  алгебраизации  записи  числа  решается  достаточно  широкий  класс  задач:  числовые  ребусы,  задачи  на  доказательство,  задачи  на  отгадывание  чисел.  При  составлении  задач  на  отгадывание  чисел  выбирается  такая  последовательность  операций,  что  в  результате  получается  или  само  число,  или  задуманное  число  можно  получить,  проделав  простые  операции. 

Уравнения  в  целых  числах.  Задачи,  предлагаемые  в  этой  серии,  сводятся  к  решению  в  натуральных  числах  уравнения  с  двумя  неизвестными.  В  самом  простом  случае  уравнения  решаются  перебором  всех  возможных  вариантов.  Организовать  перебор  удобнее  всего,  используя  правило  «крайнего».  Но  решение  в  целых  числах  алгебраических  уравнений  с  целыми  коэффициентами  с  двумя  неизвестными  —  достаточно  трудная  задача.  Сократить  перебор  в  предлагаемых  задачах  можно  двумя  способами:  выяснить  ограничения,  которые  накладываются  на  неизвестные  и  перебрать  предполагаемые  значения  того  неизвестного,  где  «претендентов»  меньше;  сократить  перебор  можно,  используя  одно  из  основных  свойств  делимости  целых  чисел:  если  каждое  из  целых  чисел  а₁,  а₂,  ...  ,  а_п-1,  а_п  делится  на  b,  то  при  любых  целых  с₁,  с₂,  ...  ,  с_п  число  (с₁а₁  +  с₂а₂  +  ...  +  с_па_п)  делится  на  b.  По  отношению  к  целочисленному  решению  уравнения  xa  +  yb  =  c,  свойство  можно  применить  следующим  образом:  число  yb  должно  делиться  на  НОД  (xa,  c)  или  число  xa  должно  делиться  на  НОД  (yb,  c).

Деление  с  остатком.  Разделить  число  а  на  число  b  (b  >  0)  с  остатком  —  значит  представить  число  а  в  виде  а  =  bq  +  r,  0  <  r  <  b.  Число  q  при  этом  называется  неполным  частным,  а  число  r  -  остатком  от  деления  на  b.  В  основе  решения  серии  задач  лежит  представление  числа  в  виде  a  =  bq  +  r.  В  дальнейшем  решение  задания  может  быть  сведено  к  решению  уравнения,  системы  уравнений.  Иногда  такая  запись  нужна  для  того,  чтобы  «увидеть»,  что  произойдет  с  числом,  если  отбросить  остаток.

Признаки  делимости.  Ученикам  5—6  классов  знакомы  признаки  делимости  на  2,  3,  5,  9,  10.  При  решении  задач  полезно  их  вывести,  а  кроме  того,  доказать  признак  делимости  на  4,  11  и  на  составные  числа.  Рассмотреть  и  другие  признаки  делимости,  признак  делимости  на  7,  13  и  другие.

Метод  соответствия. 

Раздел  объединяет  задачи,  для  решения  которых  надо  установить  соответствие  между  элементами  множеств.  Выделены  три  группы  задач:  отношение  порядка,  «кто  есть  кто?»,  принцип  Дирихле.

Отношение  порядка.  Основная  идея  этой  серии  —  установить  отношения  порядка.  Часто  такие  отношения  удобно  задавать  при  помощи  графа.  Графом  называется  любое  множество  точек,  некоторые  из  которых  соединены  линиями  или  стрелками.  Точки,  изображающие  элементы  множества,  называются  вершинами  графа.  Если  начало  и  конец  стрелки  совпадают,  ее  называют  петлей.

«Кто  есть  кто?»  Это  довольно  распространенные  задачи,  для  решения  которых  не  требуется  специальных  знаний  из  области  математики,  требуется  только  правильно  уловить  содержание  текста,  а  затем  последовательно  делать  логические  выводы.  При  решении  задач,  как  правило,  применяется  метод  перебора.  Рассмотрим  два  способа  решения  подобных  задач  с  помощью  графов  и  с  помощью  таблицы  (ее  часто  называют  таблицей  истинности).

Принцип  Дирихле.  Согласно  этому  принципу,  если  множество  из  К  элементов  разбито  на  к  непересекающихся  частей,  попарно  не  имеющих  общих  элементов,  где  К  >  к,  то,  по  крайней  мере,  в  одной  части  будет  более  одного  элемента.  Принцип  назван  в  честь  немецкого  математика  П.Г.Л.  Дирихле  (1805—1859).  Часто  применяют  обобщение  принципа  Дирихле:  если  элементов  К  >  Nк,  то  хотя  бы  в  одной  части  будет  более  N  элементов.  Из  принципа  Дирихле  следует  основная  идея  решения  целого  класса  задач:  надо  множество  элементов  разбить  на  непересекающиеся  части  и  если  элементов  будет  больше,  чем  частей,  то  в  одной  части  будет  более  одного  элемента.

Логические  методы  решения  задач.

Логические  или  нечисловые  задачи  составляют  обширный  класс  нестандартных  задач.  Сюда  относятся,  прежде  всего,  текстовые  задачи,  в  которых  требуется  распознать  объекты  или  расположить  их  в  определенном  порядке  по  имеющимся  свойствам.  При  этом  часть  утверждений  условия  задачи  может  выступать  с  различной  истинностной  оценкой  (быть  истинной  или  ложной).  К  классу  логических  задач  относят  задачи  на  переливание  и  взвешивание,  задачи  метода  соответствия  [1,  с.  7]. 

Метод  задач-заданий. 

В  нестандартной  задаче  может  быть  неожиданно  поставлено  задание.  На  производстве,  в  жизни  от  человека  требуется  умение  самому  сформулировать  вопрос  и,  применяя  математические  знания,  найти  ответ  на  него.  Одним  из  способов  пропедевтики  такого  качества  ума  является  составление  обучаемыми  задач  на  уроках,  что  мы  и  относим  к  нестандартным  задачам.  Рассмотрим  примеры  таких  нестандартных  задач-заданий:  постановка  вопроса  задачи  —  сформулируйте  вопрос  задачи  и  рассмотрите  всевозможные  варианты;  составление  задачи  по  некоторым  ее  компонентам  —  по  словесному  тексту  задачи  (без  числовых  данных),  по  числовым  данным,  по  вопросу  задачи  и  ее  решению,  только  по  вопросу,  только  по  решению  задачи  и  т.  д.;  cоставление  задачи  по  рисунку,  по  краткой  записи,  по  уравнению;  составление  задачи  по  аналогии  с  данной;  составление  задачи  обратной  данной  —  является  наиболее  важным  для  формирования  навыков  познавательной  деятельности. 

Вывод:  Реализация  работы  по  программе  элективного  курса  подтверждает  правильность  отбора  предложенных  методов  в  систему.

Список  литературы:

1.Баженов  И.И.,  Порошкин  А.Г.,  Тимофеев  А.Ю.,  Яковлев  В.Д.  Задачи  для  школьных  математических  кружков:  Учебное  пособие.  /  Сыктывкар:  Сыктывкарский  ун-т,  2006.  —  224  с.

2.Задачи  для  внеклассной  работы  по  математике  в  5—6  классах:  Пособие  для  учителей.  /  Сост.  В.Ю.  Сафонова.  Под  ред.  Д.Б.  Фукса,  А.Л.  Гавронского.  М.:  МИРОС,  1993.  —  72  с.:  ил.