РАДИАЛЬНО-ЖЁСТКАЯ  НЕИНЕРЦИАЛЬНАЯ  СИСТЕМА  ОТСЧЁТА  И  ФОРМИНВАРИАНТНОСТЬ  ОБЩЕГО  ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Войтик Виталий  Викторович 

аспирант,  БГПУ,  Уфа

E-mail:  voytik1@yandex.ru

Мигранов Наиль  Галиханович 

д-р  физ.-мат.  наук,  профессор,  БГПУ,  Уфа

E-mail: 

 

RADIAL  RIGID  NON-INERTIAL  FRAME  OF  REFERENCE  AND  FORM-INVARIANCE  OF  THE  GENERAL  TRANSFORMATION

Vitaliy  Viktorovich  Voytik

graduate  student,  BSPU,  Ufa

Nail  Galihanovich  Migranov

Doctor  of  Physical  and  Mathematical  Sciences,  Professor,  BSPU,  Ufa

 

АННОТАЦИЯ

В  статье  доказывается  форминвариантность  общего  преобразования  относительно  произвольного  буста  (англ.  boost,  т.  е.  переход  с  некоторой  скоростью  из  одной  инерциальной  системы  в  другую  при  соответствующем  выборе  осей).  Также  вычислен  угол  собственного  поворота. 

ABSTRACT

A  form-invariance  of  the  general  transformation  relative  to  an  arbitrary  boost  (i.e.,  the  transition  with  some  velocity  from  one  inertial  system  to  another  with  an  appropriate  choice  of  axes)  has  proved.  The  angle  of  proper  rotation  has  also  calculated.

 

Ключевые  слова:  обобщённое  Лоренц-преобразование;  прецессия  Томаса;  вращение  Вигнера;  ускорение;  угловая  скорость; 

Keywords:  generalized  Lorentz  transformation;  Thomas  precession;  Wigner  rotation;  acceleration;  angular  velocity.

 

Введение

В  настоящее  время  в  специальной  теории  относительности  существует  особое  преобразование  4-координат  события,  имеющее  смысл  перехода  от  лабораторной  инерциальной  системы  отсчёта    в  жёсткую  произвольно  ускоренную  и  произвольно  вращающуюся  неинерциальную  систему  отсчёта  s′.  Напомним,  что  под  идеально  твёрдым  телом  в  теории  относительности  обычно  подразумевается  воображаемое  тело,  сохраняющее  собственное  расстояние  между  выделенной  точкой,  которая  движется  заданным  образом,  и  любой  другой,  предоставленной  самой  себе.  В  релятивистской  физике  радиально  жёсткую  неинерциальную  систему  отсчёта  определяют  как  систему,  состоящую  из  отдельных  точек,  которые  относительно  лабораторной  системы  движутся  заданным  образом  так,  чтобы  собственные  (радиальные)  расстояния  между  ними  и  началом  отсчёта  в  процессе  движения  сохранялись.  Данное  условие  накладывает  ограничение  на  возможную  скорость  изменения  собственного  ускорения  у  такой  системы  отсчёта.  Кроме  того,  жёсткость  такой  системы  отсчёта  является  только  радиальной.  Это  означает,  что  если  в  первоначальной,  неинерциальной,  радиально  жёсткой  системе  отсчёта,  выбрать  какую-либо  её  точку  за  начало  новой  системы  отсчёта,  то  такая  новая  система  отсчёта  будет  уже  радиально  нежёсткой.

Первоначально  это  преобразование  получило  название  обобщённого  Лоренц-преобразования  [6].  Но  это  преобразование,  записанное  в  окончательной  форме  Нэлсоном,  обобщает  исследования  его  предшественников:  Лоренца  и  Мёллера  (см.  далее  начало  п.  1)  и  по  справедливости  должно  носить  их  имя.  Таким  образом,  далее  для  краткости  оно  будет  именоваться  общим  преобразованием  Лоренца-Мёллера-Нэлсона  (ЛМН).  Относительно  термина  «форминвариантность»  можно  указать  следующее.  Условие  форминвариантности  при  некоторых  преобразованиях  координат  (неизменности  функциональной  зависимости  метрического  тензора  при  этом  преобразовании)  является  более  жестким,  чем  требование  ковариантности  уравнений.

Напомним,  и  это  важно  подчеркнуть,  что  ковариантность  и  слабая  и  сильная  форминвариантность  являются  разными  понятиями.  Преобразования,  обеспечивающие  ковариантность  уравнений  поля,  в  общем  случае  включают  преобразования  между  различными  допустимыми,  но  не  равноправными  для  описания  физических  явлений  и  нежёсткими  системами  отсчета.  Обобщённый  принцип  относительности  утверждает,  что  метрические  тензоры  эквивалентных  систем  отсчёта  имеют  полностью  одинаковую  форму  —  так  называемая  сильная  форминвариантность.  Преобразования,  обеспечивающие  сильную  форминвариантность  метрического  тензора  пространства-времени  (а,  следовательно,  и  форминвариантность  ковариантных  уравнений),  включают  преобразования  только  между  эквивалентными  системами  отсчета:  в  этих  системах  все  физические  явления  протекают  одинаковым  образом  при  соответствующих  начальных  и  граничных  условиях.  Слабая  форминвариантность,  по  требованиям,  налагаемым  на  метрический  тензор,  находится  между  этими  понятиями.  Она  включает  в  себя  преобразования  между  различными  (в  общем  случае  неэквивалентными)  системами  отсчёта.  Две  слабо  форминвариантные  метрики  для  различных  систем  отсчёта  отличаются  между  собой  только  значениями  параметров,  которые  характеризуют  эти  системы  отсчёта. 

Общее  преобразование  ЛМН  содержит  два  этапа.  В  первой  части  такого  преобразования  параметром,  связывающим  лабораторную  инерциальную  систему  отсчёта  S  и  неинерциальную  систему,  будет  всего  одна  величина  ,  поэтому  такое  орбитальное  движение  неинерциальной  системы  можно  называть  поступательным.  Однако  оказывается,  что  такая  система  отсчёта  s  имеет  ещё  и  некоторое  собственное  вращение  [6],  определённым  образом  связанное  с  её  орбитальным  движением.  Это  вращение  является  собственной  прецессией  Томаса.  При  этом  частота  этой  прецессии  системы  s  зависит  от  характера  её  орбитального  движения.  Преобразование,  соответствующее  этому  переходу,  далее  будет  называться  специальным  преобразованием  ЛМН,  чтобы  отличить  его  от  общего  преобразования,  в  математическую  форму  которого  входит  ещё  и  матрица  вращения.

Второй  этап  общего  преобразования  ЛМН  состоит  в  переходе  во  вращающуюся  с  дополнительной  угловой  скоростью  вокруг  начала  отсчёта  s  систему  отсчёта  s'  [7].  Это  позволяет  обеспечить  произвольность  собственной  угловой  скорости  системы  s',  т.  е.  её  независимость  от  параметра,  характеризующего  её  движение  по  орбите. 

Цель  данной  работы  заключается  в  доказательстве  форминвариантности  общего  преобразования  ЛМН.  Предварительно  необходимо  рассмотреть  изменение  специального  преобразования  ЛМН  при  бусте.  Забегая  вперёд,  укажем,  что  это  изменение  сводится  к  дополнительному  собственному  повороту.  Доказательство  этого  предполагает  вычисление  этого  угла  поворота.  Данный  угол  требуется  сравнить  с  вычисленным  углом  Вигнера  для  обычного  преобразования  Лоренца  [8],  [3],  [4,  формула  (20)].

1.  Преобразование  ЛМН

Специальное  преобразование  ЛМН  из  лабораторной  инерциальной  системы  отсчёта  S  в  жёсткую  неинерциальную  систему  s,  начало  которой  двигается,  произвольно  с  параметром  преобразования    выглядит  в  виде  [6]  (в  системе  единиц,  где  )

 

,  (1)

  (2)

 

Здесь  ,    —  соответственно  время  и  координаты  лабораторной  инерциальной  системы  отсчёта  S;      —  соответственно  время  и  координаты  неинерциальной  системы  s.

Общее  преобразование  ЛМН  получается  из  специального  заменой  [2]

 

,  (3)

 

где  обратная  к  матрице    матрица    является  матрицей  поворота  .  Очевидно  в  случае    это  преобразование  переходит  в  обычное  преобразование  Лоренца.  В  случае  же,  когда    расположена  вдоль  оси    и  по  величине  равна 

 

,  (4)

 

преобразование  (1),  (2)  перейдёт  в  преобразование  Мёллера  [5,  c.  23,  формула  (64)],  [1,  c.  206,  формула  (8.  160)]

 

,  (5)

 

Где

 

,  (6)

 

а    —  собственное  ускорение  системы  отсчёта.  Дифференцируя  (1),  (2)  получим

 

  (7)

,  (8)

 

где 

.

 

Если  подставить  дифференциалы  (7),  (8)  в  выражение  для  интервала  инерциальной  системы  в  прямоугольных  координатах

 

  (9)

 

то  получится  интервал  известной  формы  [2,  с.  404,  формула  (13.71)]  (с  поправкой  на  отсутствие  в  СТО  кривизны  пространства-времени),  [6],  [9]  для  жёсткой,  ускоренной  с  собственным  ускорением    и  вращающейся  системы  отсчёта  с  собственной  угловой  скоростью    

 

.  (10)

 

При  этом

 

,  (11)

 

а    есть  собственная  частота  прецессии  Томаса  и  равна

 

.  (12)

 

Эта  угловая  скорость  зависит  от  характера  орбитального  движения  системы  отсчёта.

2.  Изменение  специального  преобразования  ЛМН  при  бусте

При  подстановке  (3)  в  (1),  (2)  специальное  преобразование  ЛМН  становится  общим  и  принимает  вид  [5]

 

  (13)

.  (14)

 

Условимся,  что  неинерциальная  жёсткая  система  s':  движется  с  параметром  преобразования    относительно  некоторой  инерциальной  системы  отсчёта  S.  Если  инерциальная  система  s′  в  процессе  движения  всё  время  ориентирована  таким  образом,  что  преобразование  пространственно-временных  координат  из  S  в  s′  является  чистым  бустом,  то  условно  говорится  о  том,  что  система  s′  ориентирована  «без  поворота»  относительно  S.  Совершим  теперь  переход  из  системы  отсчёта  S  в  движущуюся  с  постоянной  скоростью    относительно  неё  «без  поворота»  инерциальную  систему  отсчёта  S*:.  Найдём  математическую  форму  преобразования,  связывающего  систему  s'  и  новую  систему  отсчёта  S*,  которую  можно  принять  за  лабораторную.  Координаты  и  время  в  системах  отсчёта  S,  S*  связаны  обычным  преобразованием  Лоренца

 

,  (15)

.  (16)

 

Подстановка  уравнений  (1),  (2)  в  уравнения  (15),  (16)  даёт

 

  (17)

.  (18)

 

Обозначим 

 ,  (19)

,  (20)

  (21)

 

Из  (19),  (20)  находим,  что

 ,  (22)

.  (23)

 

Возводя  эти  равенства  в  квадрат,  нетрудно  доказать,  что

 

.  (24)

 

Смысл    заключается  в  том,  что  эта  величина  является  скоростью  системы  отсчёта  s',  определённой  в  новой  лабораторной  системе  S*.  Смысл    будет  ясен  далее.

После  переобозначений  преобразование  (17),  (18)  приводится  к  виду

 ,  (25)

.  (26)

 

Примем  теперь    равным

 

,  (27)

 

где    есть  некоторая  величина,  подлежащая  определению.  Отсюда  видно,  что

   (28)

 

Следовательно,    в  (27)  будет  равно 

 .  (29)

 

С  другой  стороны,  перемножая    и    из  (22)  и  (21),  раскрывая  скобки  и  приводя  подобные  члены,  получим

 .  (30)

 

Подставляя  в  (29)  значение    из  (21)  и  используя  (30),  а  также  разложение

 

  (31)

 

Получим

 

  .  (32)

 

Приведём  все  члены  в  правой  части  (32)  кроме    к  знаменателю    и  раскроем  все  скобки  в  получившемся  выражении.  После  упрощения  окончательно  получим

 

  (33)

 

или  в  матричном  виде

 

,  (34)

 

где    определяется  из  (33).  Далее,  из  (30)  видно,  учитывая  значение    из  (20),  что 

 

.  (35)

 

Подставляя  (35)  в  (28),  получим,  что 

 

  (36)

 

Значит,  вектор    связан  с    соотношением

 

,  (37)

 

т.  е.  является  вектором  скорости  системы  s',  определённой  в  системе  координат  s',  имеющей  другую  ориентацию  относительно  S*.  С  учётом  (27)  и  равенства  (36)  преобразование  (25),  (26)  примет  вид

 

,  (38)

  (39)

 

Учитывая  (34),  это  преобразование  формально  имеет  вид  (13),  (14).  Возведём  (33)  в  квадрат.  Вычисление  даёт

 

.

 

Следовательно,    является  матрицей  поворота  и  преобразование  (38),  (39)  действительно  является  общим  преобразованием  ЛМН.  Угол  поворота,  который  получил  название  поворота  Вигнера,  находится  из  определения  векторного  произведения    и  .

 

,

 

где    есть  единичный  вектор  в  направлении  поворота.  Подставляя  сюда  (22)-(23)  получим,  учитывая  разложение  (31),  что

 

,  (40)

,  (41)

.  (42)

 

Можно  показать,  что  матрица  вращения  ,  определяемая  из  (33)  в  терминах:  угол  поворота  ,  ось  поворота    принимает  вид

 

.  (43)

 

Рассмотрим  теперь  общий  случай  движения  неинерциальной  системы,  когда  она  (обозначим  её  k)  имела  другую  ориентацию  относительно  первоначальной  лабораторной  системы  S,  чем  система  «без  поворота»  s.  Другими  словами,  пусть  компоненты  вектора    в  начальной  системе  s′  и  составляющие  этого  же  вектора    в  системе  k  связаны  равенством 

 

.  (44)

 

Подставив  (44)  в  (34)  получим,  что  результирующая  матрица  поворота    неинерциальной  системы  k  относительно  новой  лабораторной  системы  S*  есть

 

.  (45)

 

Выводы

Таким  образом,  при  переходе  из  лабораторной  инерциальной  системы  отсчёта  S  в  другую  инерциальную  систему  S*,  двигающуюся  со  скоростью    «без  поворота»,  система  s′,  которая  двигалась  «без  поворота»  относительно  S,  уже  относительно  S*  будет  двигаться  «с  поворотом».  Величина  угла  поворота  равна  (40)—(42).  При  этом  специальное  преобразование  Лоренца-Мёллера-Нэлсона  (ЛМН)  (1)—(2)  переходит  в  общее  преобразование  (13)—(14)  с  параметрами  преобразования  (22)  и  (43),  а  общее  преобразование  ЛМН  перейдёт  также  в  общее  преобразование  с  параметрами  (22)  и  (45).

В  рассматриваемой  работе  доказана  форминвариантность  преобразования  Лоренца-Мёллера-Нэлсона  при  изменениях  координат  в  виде  лоренцевского  буста.  Общее  преобразование  ЛМН  является  форминвариантным  относительно  произвольного  буста,  причём  параметры  преобразования  изменяются  согласно  формулам  (22),  (45).  При  таком  бусте  система  отсчёта  испытывает  дополнительное  собственное  вращение  Вигнера  ,  характеризующееся  матрицей    (43).  Для  нашего  частного  случая  из  вычисления  угла  поворота  Вигнера  (40)—(42),  полученного  при  доказательстве  форминвариантности,  вытекает  известное  выражение  [4,  формула  (20)]. 

 

Список  литературы

1.Мёллер  К.  Теория  относительности,  2-е  изд.,  М.:  Атомиздат,  1975.  —  400  с.

2.Мизнер  Ч.,  К.  Торн,  Дж.  Уилер.  Гравитация.  т.  1,  М.:  Мир,  1977.  —  480  c.

3.Ритус  В.И.    //  ЖЭТФ,  —  1961.  —  40.  —  С.  352.

4.Ритус  В.И.  О  различии  подходов  Вигнера  и  Мёллера  к  описанию  прецессии  Томаса  //  УФН  —  2007.  —  Т.  177.  —  №  1.  —  С.  105—112.

5.Miller  C.  On  Homogeneous  Gravitational  Fields  in  the  General  Theory  of  Relativity  and  the  Clock  Paradox  //  Trans.  Dan.  Acad.  Sci.  —  1943.  —  2,  19,  P.  3—25.

6.Nelson  R.A.  Generalized  Lorentz  transformation  for  an  accelerated,  rotating  frame  of  reference  //  J.  Math.  Phys.  —  1987.  —  28,  PP.  2379—2383.

7.Nelson  R.A.  Erratum:  Generalized  Lorentz  transformation  for  an  accelerated,  rotating  frame  of  reference  //  J.  Math.  Phys.  —  1994.  —  35,  PP.  6224—6225.

8.Stapp  H.P.    Relativistic  Theory  of  Polarization  Phenomena  //  Phys.Rev.  —  1956.  —  103,  2,  PP.  425—434.

9.Voytik  V.V.  The  general  form-invariance  principle  //Grav.  and  Cosm.  —  2011.  —  V.  17,  3,  —  PP.  218—223.