ВОЗВРАЩЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА И ПОВОРОТ ВРЕМЕНИ

RESTITUTION OF SPACE AND TIME TURNING

Vladimir Korolev

candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor,

Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

АННОТАЦИЯ

Рассматриваются основные свойства фундаментальных понятий: время, пространство, движение, взаимодействие, энергия, кватернионы Гамильтона и возможное их применение в задачах аналитической и небесной механики или теории относительности.

ABSTRACT

The comparison are given of the basic properties of fundamental concepts: time, space, movement, interaction, energy, Hamilton’s quaternions and their possible application in problems of analytical and celestial mechanics or relativity theory.

Ключевые слова: преобразование пространства и времени; кватернионы; аналитическая и небесная механика.

Keywords: transformations of space and time; quaternions; analytical and celestial mechanics.

Введение

Эйнштейн, наверное, шутил, когда утверждал: «Воображение важнее, чем знания. Знания ограничены, тогда как воображение охватывает целый мир, стимулируя прогресс, порождая эволюцию» Математические истины выводятся из небольшого числа очевидных предположений или аксиом, определений и утверждений при помощи цепи логических рассуждений.

Физические науки основаны на наблюдениях, открытиях, экспериментах, методе индукции, когда ожидают повторения явлений при воспроизведении условий или обстоятельств, при которых они произошли в прошлый раз. Это может быть вероятно, но не всегда достоверно. Отсюда появление понятия вероятность и создание новых направлений в науке под названием квантовая и релятивистская механика после попыток обобщения классических результатов и теорий. Размышление о свойствах фундаментальных понятий и современных открытиях может стимулировать новые идеи для решения задач, методы исследования, свойства и ограничения, условия и утверждения, гипотезы, которые со временем превращаются в теории.

Многообразие и единство окружающего мира проявляется в разнообразных взаимодействиях таких понятий как материя и энергия, пространство и время, движение и покой, событие и состояние, информация и структура, случайное и закономерное. Математическое моделирование мироздания может менять наше представление о Солнечной системе или Вселенной. Воображение позволяет формировать, а компьютер может изображать на экране даже то, чего нет и не может быть.

Гипотезы о строении окружающего мира создавали еще в давние времена Платона и Птолемея: видимое движение звезд пытались представить вращением вокруг Земли хрустальной сферы, на которой они так красиво размещены. После работ Коперника [7] и Ньютона [15] центром стали считать Солнце. Пространство приобретало структуру и свойства геометрии Евклида, систему координат Декарта, особые возможности представления аффинного или векторного пространства Гамильтона, конструкцию «пространство-время» и специальные методы или алгоритмы для описания динамических процессов в рамках общей теории относительности Эйнштейна.

Пространство и свойства кватернионов.

В основах математики лежит понятие числа, которое позволяет описывать отношения изучаемых объектов к некоторому эталону. Первое обобщение понятия действительного числа получилось введением комплексных чисел с помощью мнимой единицы и правил алгебраических действий для упорядоченной пары разнородных элементов. Кватернионы являются обобщением комплексных чисел, которые состоят из двух связанных, но не взаимозаменяемых частей, а кватернионы – из четырех.

Они оказались удобным математическим средством, позволяющим решать многие проблемы. Дальнейшие обобщения привели к появлению гиперкомплексной системы чисел и кватернионов [1–3; 8; 9; 13; 17; 22]. Оказалось, что из точек q = (а, b, c, d) четырехмерного пространства R⁴ можно построить числовую систему. Важная особенность кватернионов состоит в том, что их подмножеством можно считать вещественные числа (r, 0, 0, 0), комплексные числа (r, s, 0, 0) или векторы в трехмерном пространстве (0, x, y, z). Открытие кватернионов показало плодотворность абстрактных обобщений понятия число. Это привело к появлению новых понятий в геометрии, физике и механике, в том числе к использованию четырехмерного векторного пространства Гамильтона Q⁴.

В 1843 году ирландский математик У.Р. Гамильтон сделал доклад на заседании Академии наук, где в качестве обобщения комплексных чисел дал определение кватерниона в следующем виде [23]

                                                              (1)

Здесь – вещественные числа,  – символы для особых мнимых единиц, свойства которых определяются следующими равенствами

                                     (2)

                  (3)

Сначала Гамильтон придумал слово «вектор», которым мы стали активно пользоваться. Так он назвал кватернионы, у которых первая компонента равна нулю. Сейчас такие кватернионы принято называть чисто мнимыми. Так как чисто мнимые кватернионы образуют пространство размерности три, то Гамильтон решил, что его теория включает в себя всю механику. Скорости, силы и многие другие физические величины описывали тройками чисел.

Над кватернионами можно выполнять арифметические действия сложения и умножения на число, что позволяет объединять их в линейное арифметическое пространство R⁴ или векторное специальное пространство Q⁴. Базис этого пространства определяют набором вещественной и мнимых единиц 1, i, j, k, которые называют базисными кватернионами. Таблица умножения [2; 3] позволяет выполнять алгебраические операции. Для суммы двух кватернионов

 ,                                 (4)

получают новый элемент пространства путем сложения компонент

.                    (5)

Произведение кватернионов (4) с учетом (2) и (3) можно вычислять по формуле

(6)

При этом вещественная часть произведения кватернионов обладает свойством коммутативности (перестановки), хотя мнимые части подобным свойством не обладают. Вещественную единицу базиса в векторной записи не используют.

Определяя умножение кватернионов, Гамильтон ввел две новые операции, каждая из которых в будущем оказалась очень полезной: векторное и скалярное умножения. Геометрическая интерпретация кватернионов привела к созданию векторной алгебры и анализа. Если  то сумма чисто мнимых кватернионов равносильна сумме векторов линейного пространства, где для элементов определены сложение и умножение на число. Вещественная часть для их произведения равна скалярному произведению со знаком минус, а мнимая эквивалентна векторному произведению.

Следует различать для кватернионов  операцию нормирования (вычисление нормы)

,                              (7)

и определение модуля (или длины) кватерниона

.                            (8)

Иногда используют запись для кватернионов в виде суммы скалярной и векторной части q = t +r или рассматривают бивектор (t, r). При умножении чисто мнимых кватернионов используют запись . Здесь скобки определяют скалярное и векторное умножение соответственно.

Необходимо различать множества точек аффинного или физического пространства и векторов, которые составлены из координат этих точек в виде тройки чисел (а, b, c), а также радиус-векторов . Это элементы разных пространств, которые предполагаются ассоциированными и могут передавать некоторые свойства. Кватернионы можно считать элементами арифметического пространства q = (а, b, c, d) ϵ R⁴, для которого может быть определено скалярное произведение (8), чтобы получить евклидово пространство, или в стандартном виде (1) образовывать из них специальное пространство Q⁴, которое при умножении элементов сочетает свойства скалярного и векторного произведения.

Понятие «пространство» получило много очевидных и дополнительных свойств. Геометрическое пространство математиками считается

·     непрерывным, то есть все точки можно разделить другими,

·     бесконечным, то есть не имеет видимых границ,

·     однородным, то есть все точки тождественны,

·     трехмерным, то есть имеет три возможных измерения,

·     изотропным, то есть все направления равноправны.

Визуальное пространство проявляется с помощью органов зрения, обладает только двумя измерениями, которые неоднородны и ограничены, а непрерывность можно считать нашей иллюзией. Наши личные опыты восприятия мира относятся не к пространству, а к реальным телам, положение и движение которых мы можем отслеживать относительно других тел или объектов.

Размерность пространства – это число параметров, составляющих систему координат и необходимых для локализации точки или объекта в некоторой ограниченной области. Координаты и время определяют главное: где происходили события и когда это случилось. Всякое реальное физическое событие происходит в точке трехмерного пространства с координатами x, y, z и в некоторый момент времени t. Множество точек составляет четырехмерное пространство событий. Пространство Эйнштейна представляет собой трехмерную поверхность в четырехмерном пространстве Эвклида или пространстве Римана с постоянной положительной кривизной. Поскольку ось времени не ограничена, то мир Эйнштейна можно трактовать как цилиндрический четырехмерный мир в пятимерном пространстве, хотя возможны другие варианты.

В теории относительности [4; 5; 18; 20] используется новое обобщенное понятие «пространство-время», которое можно считать расширенным четырехмерным пространством R⁴ векторов q = (t, x, y, z) или соответствующих элементов пространства кватернионов Q⁴. Вещественная часть в этом случае соответствует времени t, а мнимая часть определяет радиус-векторы r точек в физическом трехмерном пространстве. В космологических теориях также объединяют пространство и время в одну абстрактную Вселенную, которая является многообразием, состоящим из «событий», описанных новой системой координат.

В классической механике событиям отвечает одинаковый промежуток времени и остается одинаковым расстояние между точками во всех системах отсчета. При этом предполагается, что имеется мгновенная информация о положении начала и конца вектора перемещения от начального положения до конечного. Законы выполняются в соответствии с принципом относительности Галилея одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Другими словами, все системы отсчёта механически эквивалентны. Среди выделенной совокупности тел принципиально невозможно определить какие из них находятся «в движении», а какие «покоятся». Говорить о движении можно лишь относительно какой-либо системы отсчета.

В классической механике использование пространства Евклида, не зависящего от одномерного времени, вместо «пространства-времени» уместно, так как время рассматривается как всеобщее и непрерывное, будучи независимым от состояния движения наблюдателя. Ньютон [15] вводил понятие абсолютных пространства и времени. «Абсолютное пространство по самой своей сущности безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается одинаковым и неподвижным». «Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью». В астрономии или небесной механике такое время называют «эфемеридным».

На самом деле, мы не видим время, хотя научились отмечать промежутки или длительности с помощью различных явлений, процессов или приборов. Говорят, что время идет или даже летит вперед. Но время только уходит назад, в прошлое, а будущего пока нет. Движется весь мир, все материальное во Вселенной оставляет следы во времени в виде событий, которые состоялись или продолжаются. Впереди пока ничего нет, но может реализоваться при подходящих обстоятельствах. Как поется в известной песне: «Есть только миг между прошлым и будущим. Именно он называется жизнь.» Только в этот момент происходит превращение: «мнимое» время становится «действительным».

Радиус-векторы в четырехмерном пространстве можно записать [1] в виде

.                                                      (9)

Здесь базисные элементы равноправны, координаты x, y, z являются вещественными параметрами, которые определяют и возвращают действительное физическое пространство, c – скорость света, i – «мнимая единица», а момент времени t можно считать соответствующим мнимой воображаемой величине. Параметр  для выражения (9) имеет правильную размерность, но при вычислении модуля или длины кватерниона

,                                               (10)

мы получим слагаемые разного знака. Это выделяет в физическом пространстве ограниченную область, которая доступна для реальных преобразований.

Современные попытки построения новых моделей рождения и развития Вселенной лишь иллюстрирует процесс всеобщего внимания к изучению мира, рассматриваемого как единое целое. Единая субстанция проявляется в разных обстоятельствах в различных формах и свойствах материи-энергии. Все объекты Вселенной имеют общие корни по происхождению в соответствии с теорией Большого Взрыва [6; 10; 24]. Если необходимо учитывать не только текущее положение для материальных точек и тел, но и состояние движения, то следует добавить составляющие вектора количества движения и переменный параметр энергии для получения новых уравнений и дальнейшего использования.

Список литературы:

1. Алешков Ю.З. Замечательные работы по прикладной математике. – СПб: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 2006. – 311 с.

2. Арнольд В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. – М.: изд. МЦНМО, 2002. – 40 с.

3. Арнольд В.И. Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов. // Успехи математических наук. 1995, т. 50, вып. 1 (301). – С. 3–68.

4. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. – М: Наука, 1972.

5. Буфеев В.А. Кто и как создал теорию относительности. История создания и развития. – М., 2015. – 234 с.

6. Габсер С. Маленькая книга о большой теории струн. В поисках принципов устройства Вселенной. – СПб: Питер, 2015.

7. Коперник Н. О вращении небесных сфер. – М: Наука, 1964.

8. Голубев Ю.Ф. Алгебра кватернионов в кинематике твердого тела // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2013. № 39. – 23 с.

9. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука, 1973. – 144 с.

10. Королев В.С. Структура окружающего мира при образовании и развитии Вселенной // Актуальные направления научных исследований: от теории к практике. – Чебоксары: «Интерактив-плюс», 2014. – С. 188–192.

11. Королев В.С. Аксиомы и теории о бесконечности, вечности и непрерывности. // Наука, образование и инновации. Уфа, 2015. – С. 8–14.

12. Королев В.С. Размышления о колебаниях и волнах гравитации и деформации пространства – времени // Естественные и математические науки в современном мире. 2016. № 41. – С. 176–189.

13. Королев В.С., Новоселов В.С. Пространство, время и кватернионы. // Наука вчера, сегодня, завтра. 2016, № 2-1 (24). – С. 28–41.

14. Новоселов В.С., Королев В.С. Аналитическая механика управляемой системы. Учебное пособие. – СПб.: СПбГУ, 2005. – 298 с.

15. Ньютон И. Математические начала натуральной философии // Собр. трудов академика А.Н. Крылова / Перевод и комментарии А.Н. Крылова. – М. Наука. 1989. – 687 с.

16. Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1990. – 736 с.

17. Радыно Н.Я. Гиперкомплексные числа в задачах геометрии и алгебры. – Минск: БГУ, 2010. – 94 с.

18. Фридман А.А. Мир как пространство и время. – М: Наука, 1965.

19. Хокинг С. Краткая история времени. От большого взрыва до черных дыр. – СПб: Амфора, 2007.

20. Эйнштейн А. Собрание сочинений в 4-х томах. – М.: Наука, 1967.

21. Юрьев А.Г. Четырехмерный мир без фактора времени // Успехи современного естествознания. – 2011, № 2. – С. 115–118.

22. Altmann S.L. Rotations, Quaternions, and Double Groups. – Oxford: Clarendon Press, 1986. – 317 p.

23. Hamilton W.R. On quaternions; or a new system of imaginaries in algebra. Phil. Mag., 25, 1844, P. 489–495.

24. Korolev V.S. Thinking about the structure of the construction and the possible development of the Universe // Variety of Interaction Forms of Material Objects through a Prism of the Latest Analytical Concepts. – London, IASHE. P. 25–27.

25. Riesz M. Clifford Numbers and Spinors. Lecture Series, № 38, The Institute for Fluid Dynamics and Applied Mathematics, Maryland, 1958.