Телефон: +7 (383)-312-14-32

Статья опубликована в рамках: XXXIX Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов XXI столетия. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ» (Россия, г. Новосибирск, 24 февраля 2016 г.)

Наука: Технические науки

Секция: Машиностроение

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции

Библиографическое описание:
Баринов М.П. ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОРОБЧАТОГО СТЕРЖНЯ МИНИМАЛЬНОЙ МАССЫ В УСЛОВИЯХ КОСОГО ИЗГИБА // Научное сообщество студентов XXI столетия. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ: сб. ст. по мат. XXXIX междунар. студ. науч.-практ. конф. № 2(39). URL: http://sibac.info/archive/technic/2(38).pdf (дата обращения: 23.10.2020)
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Дипломы участников
Диплом лауреата
отправлен участнику

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОРОБЧАТОГО СТЕРЖНЯ МИНИМАЛЬНОЙ МАССЫ В УСЛОВИЯХ КОСОГО ИЗГИБА

Баринов Михаил Павлович

студент 2 курса, кафедра экологии технологических процессов  ЕТИ ФГБОУ ВО МГТУ «СТАНКИН», РФ, г. Егорьевск

Научный руководитель Фролова Галина Александровна

канд. техн. наук, ЕТИ ФГБОУ ВО МГТУ «СТАНКИН», РФ, г. Егорьевск

 

В конструкциях современных машин и грузоподъемных механизмов широко используются тонкостенные стержни. Самыми простыми примерами могут быть телескопические стрелы автокранов и несущие опоры линий высоковольтных передач (вспомните снимки разрушенных в Запорожской области опор высоковольтных линий электропередач). Тонкостенные стержни позволяют обеспечить прочность и необходимую жесткость конструкции при значительном снижении ее массы в сравнении с иными конструкторскими и технологическими решениями [3,4,5].

Общий случай такого нагружения стержня, рассматриваемый в сопротивлении материалов,- это косой изгиб с кручением [1].

В курсе сопротивления материалов не рассматриваются вопросы проектирования конструкций минимальной массы, но примеры простых задач привести можно.

Рассмотрим следующую задачу: Спроектировать стержень минимальной массы прямоугольного поперечного сечения в условиях косого изгиба, удовлетворив требованиям прочности по нормальным напряжениям.  Задача сводится к определению такого соотношения сторон  , при котором масса стержня минимальна, если задано соотношение изгибающих моментов  .

Введем обозначения:

Тогда из условия прочности



(1)

легко найти, что размер ;

Так как масса пропорциональна объему, а объем пропорционален площади поперечного сечения, целевую функцию определяем как площадь поперечного сечения

При заданных значениях   наилучшее решение следует искать, используя   минимум функции



(2)

С целью более наглядного представления результатов анализа воспользуемся относительной функцией   

где  - максимальное значение функции  при выбранном соотношении моментов .

 

Таблица 1.

Расчет относительной функции

β


1

0,691


0,712


0,737


0,767


0,805


0,855


0,922


1,000


1,000


1,000


1,000


0,9


0,692

0,711


0,735


0,763


0,799


0,846


0,909


0,982


0,977


0,972


0,965


0,8


0,694


0,712

0,734


0,760


0,794


0,837


0,896


0,964


0,954


0,942


0,928


0,7


0,699


0,715


0,735


0,759


0,790


0,830


0,884


0,946


0,930


0,911


0,888


0,6


0,706


0,721


0,739


0,761


0,788


0,824


0,874


0,928


0,905


0,877


0,843


0,5


0,719


0,732


0,747


0,766


0,790


0,822


0,865


0,912


0,880


0,841


0,794


0,4


0,740


0,750


0,763


0,779


0,799


0,825


0,862


0,898


0,855


0,802


0,737


0,3


0,775


0,783


0,793


0,805


0,820


0,840


0,868


0,892


0,833


0,761


0,669


0,2


0,841


0,846


0,851


0,859


0,868


0,880


0,896


0,904


0,822


0,719


0,585


0,1


1,000


1,000


1,000


1,000


1,000


1,000


1,000


0,982


0,855


0,691


0,464

При  функция  монотонно увеличивается при изменении формы сечения от квадратной на прямоугольную. Переход от квадратного сечения к прямоугольному когда  увеличивает площадь на 2,2%.

При  функция  имеет минимум при . Уменьшение площади сечения по отношению к квадратному сечению составляет 1,0% .

В целом можно сделать вывод - наилучшим при проектировании сечения будет такое соотношение сторон сечения, когда  Это иллюстрируют графики на рис.1 а), б), в), табл. 1 и анализ на экстремум функции (2).

Рис.1 а) Зависимость  функции  от соотношения сторон прямоугольного сечения стержня β при γ=(1; 0,9; 0,8; 0,7)

 

Рис.1 б) Зависимость функции  от соотношения сторон прямоугольного сечения стержня β при γ=(0,6; 0,5; 0,4; 0,3)

 

Рис.1в) Зависимость функции  от соотношения сторон прямоугольного сечения стержня β при γ=(0,2; 0,1; 0)

 

Исследуем функцию (2) на экстремум. Если функция f имеет минимум, то и функция  имеет минимум в той же точке. Для поиска минимума воспользуемся неравенством Коши о среднем геометрическом и среднем арифметическом [2], получаем

Наименьшее значение функции   достигается при , т.е. .

А теперь перейдем к задаче проектирования тонкостенного стержня прямоугольного сечения в условиях косого изгиба.

При решении этой задачи введем еще один параметр, характеризующий геометрию сечения - это параметр толщины стенки

где  - толщина стенки (см. рис. 2).


Рис. 2


Принятые обозначения  и ограничения:

Осевые моменты сопротивления изгибу для рассматриваемого сечения имеют выражения:

(3)

где

(4)

Условие прочности (1) с учетом (3) принимает вид



(5)

откуда следует



(6)

где


Используя для вычисления площади сечения формулу


получаем функцию, определяющую ее величину с точностью до постоянного сомножителя ,



(7)

Результаты численного анализа этой зависимости и представлены на рис.3,4 и таблице 2.

Рис. 3 Изменение функции .

 

Зависимость подтверждает, что функция пропорциональная площади поперечного сечения стержня, а следовательно и его массе, имеет минимум в области  .

 

Таблица 2

Результаты вычислений функции при m=(0,1; 0,2; 0,3; 0,4) и


β


f, m, γ)

при m=0,1


f, m, γ)

 при m=0,2


f, m, γ)

 при m=0,3


f, m, γ)

при m=0,4


0,1


0,628884615


0,83692576


1,014036283


1,18352924


0,2


0,574913811


0,75990641


0,913927029


1,05815551


0,3


0,561674306


0,73978923


0,886028999


1,02086319


0,4


0,560732295


0,73722449


0,880827478


1,01170241


0,5


0,5652237


0,74262201


0,886146565


1,01580228


0,6


0,572609832


0,75241393


0,897434164


1,02757698


0,7


0,581722534


0,76495191


0,912582362


1,04443436


0,8


0,591946772


0,77936565


0,930477877


1,06500469


0,9


0,602928038


0,79515267


0,950479036


1,0884987


1


0,614448489


0,81200418


0,97219312


1,11443322

 

Графически эти результаты представлены на рис. 4.

Рис.4 Изменение функции  при

 

Очевидно, что при увеличении толщины стенки  площадь сечения, а следовательно и масса стержня, растут, но оптимальное значение параметра  наблюдается.

Относительное изменение площади сечения при изменении соотношения сторон (параметр ) более выразительно характеризует задачу минимизации массы стержня и позволяет установить диапазон его изменения (см. рис. 5), обеспечивающий наилучшее решение. Под относительной площадью будем понимать отношение

 где максимальное значение функции при фиксированных параметрах  в исследуемом диапазоне параметра  ( (см.табл. 2):

·                       при

·                       при 0,836926

·                       при 1,014036

·                       при

Изменение относительной площади сечения при  представлено на рис. 5.

Рис. 5 Изменение функции  при γ=1

 

Анализ результатов, представленных на рис. 5 позволяет утверждать, что при выборе  снижение массы стержня составит не менее 8% от массы при , что кажется как бы очевидным при проектировании, так как   по условию.

Аналогичные графики изменения относительной площади, но при других значениях параметра , представлены на рис. 6, 7, 8, 9, 10.

Рис. 6 Изменение функции  при

 

Рис. 7 Изменение функции  при

Рис. 8 Изменение функции  при

 

Рис. 9 Изменение функции  при

Рис. 10 Изменение функции  при

 

Анализ результатов, представленных на рис.5, 6, 7, 8, 9, 10, позволяет констатировать, что оптимальное значение параметра  при уменьшении параметра  устремляется к значению  при одновременном сужении диапазона оптимального значения.

β=0,359…0,411 - при

β=0,311…0,361 - при

β=0,253…0,299 - при

β=0,178…0,221- при

β=0,09…0,115 - при

β=0,003…0,008 - при

Этот результат представлен графически на рис. 11.

Рис. 11 График определения размеров поперечного сечения стержня при заданной прочности (γ) в зависимости от β при m=(0,1;0,2;0,3;0,4)

 

Если нет иных оснований к определению размеров поперечного сечения тонкостенного стержня прямоугольного поперечного сечения, кроме требований прочности, то для снижения массы стержня следует руководствоваться результатами, представленными на рис. 11.

Пример. Пусть расчетные значения определяют . Тогда  надлежит выбрать в диапазоне от 0,25 до 0,34 , относя меньшее значение к меньшему значению .

 

Список литературы:

  1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – 2-е изд. испр. – М.: Высш. шк., 2000. – 560 с.
  2. Бухвалова В., Рогульская А. Введение в геометрическое программирование. Лекция 1. Неравенство Коши и его обобщения. [электронный ресурс] – Режим доступа. - URL: http://intuit.ru/studies/courses/539/395/lecture/9129 (дата обращения 04.02.2016).
  3. Лизин В.Т., Пяткин В.А. Проектирование тонкостенных конструкций: Учеб. пособие для студентов вузов – 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1994. – 384 с.
  4. Протасов Н. Стрела – исполнительный элемент КМУ (крано-манипуляторные установки). Электронное издание СДМ – "строительные дорожные машины и техника" №  03/2013. [электронный ресурс] – Режим доступа.  - URL: http://sdm.str-t.ru/publics/35 (дата обращения 04.02.2016).
  5. Хола Исса Оптимизация по массе параметров поперечного сечения балки мостового крана. Электронное издание СДМ – "строительные дорожные машины и техника". [электронный ресурс] - Режим доступа. - URL:  http://sdm.str-t.ru/publics/page_7  (дата обращения 04.02.2016).
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 0 голосов
Дипломы участников
Диплом лауреата
отправлен участнику

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом