ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОРОБЧАТОГО СТЕРЖНЯ МИНИМАЛЬНОЙ МАССЫ В УСЛОВИЯХ КОСОГО ИЗГИБА

В конструкциях современных машин и грузоподъемных механизмов широко используются тонкостенные стержни. Самыми простыми примерами могут быть телескопические стрелы автокранов и несущие опоры линий высоковольтных передач (вспомните снимки разрушенных в Запорожской области опор высоковольтных линий электропередач). Тонкостенные стержни позволяют обеспечить прочность и необходимую жесткость конструкции при значительном снижении ее массы в сравнении с иными конструкторскими и технологическими решениями [3,4,5].

Общий случай такого нагружения стержня, рассматриваемый в сопротивлении материалов,- это косой изгиб с кручением [1].

В курсе сопротивления материалов не рассматриваются вопросы проектирования конструкций минимальной массы, но примеры простых задач привести можно.

Рассмотрим следующую задачу: Спроектировать стержень минимальной массы прямоугольного поперечного сечения в условиях косого изгиба, удовлетворив требованиям прочности по нормальным напряжениям.  Задача сводится к определению такого соотношения сторон  , при котором масса стержня минимальна, если задано соотношение изгибающих моментов  .

Введем обозначения:

Тогда из условия прочности

легко найти, что размер ;

Так как масса пропорциональна объему, а объем пропорционален площади поперечного сечения, целевую функцию определяем как площадь поперечного сечения

При заданных значениях   наилучшее решение следует искать, используя   минимум функции

С целью более наглядного представления результатов анализа воспользуемся относительной функцией   

где  - максимальное значение функции  при выбранном соотношении моментов .

Таблица 1.

Расчет относительной функции

При  функция  монотонно увеличивается при изменении формы сечения от квадратной на прямоугольную. Переход от квадратного сечения к прямоугольному когда  увеличивает площадь на 2,2%.

При  функция  имеет минимум при . Уменьшение площади сечения по отношению к квадратному сечению составляет 1,0% .

В целом можно сделать вывод - наилучшим при проектировании сечения будет такое соотношение сторон сечения, когда  Это иллюстрируют графики на рис.1 а), б), в), табл. 1 и анализ на экстремум функции (2).

Рис.1 а) Зависимость  функции  от соотношения сторон прямоугольного сечения стержня β при γ=(1; 0,9; 0,8; 0,7)

Рис.1 б) Зависимость функции  от соотношения сторон прямоугольного сечения стержня β при γ=(0,6; 0,5; 0,4; 0,3)

Рис.1в) Зависимость функции  от соотношения сторон прямоугольного сечения стержня β при γ=(0,2; 0,1; 0)

Исследуем функцию (2) на экстремум. Если функция f имеет минимум, то и функция  имеет минимум в той же точке. Для поиска минимума воспользуемся неравенством Коши о среднем геометрическом и среднем арифметическом [2], получаем

Наименьшее значение функции   достигается при , т.е. .

А теперь перейдем к задаче проектирования тонкостенного стержня прямоугольного сечения в условиях косого изгиба.

При решении этой задачи введем еще один параметр, характеризующий геометрию сечения - это параметр толщины стенки

где  - толщина стенки (см. рис. 2).

Осевые моменты сопротивления изгибу для рассматриваемого сечения имеют выражения:

где

Условие прочности (1) с учетом (3) принимает вид

откуда следует

где

Используя для вычисления площади сечения формулу

получаем функцию, определяющую ее величину с точностью до постоянного сомножителя ,

Результаты численного анализа этой зависимости и представлены на рис.3,4 и таблице 2.

Рис. 3 Изменение функции .

Зависимость подтверждает, что функция пропорциональная площади поперечного сечения стержня, а следовательно и его массе, имеет минимум в области  .

Таблица 2

Результаты вычислений функции при m=(0,1; 0,2; 0,3; 0,4) и

Графически эти результаты представлены на рис. 4.

Рис.4 Изменение функции  при

Очевидно, что при увеличении толщины стенки  площадь сечения, а следовательно и масса стержня, растут, но оптимальное значение параметра  наблюдается.

Относительное изменение площади сечения при изменении соотношения сторон (параметр ) более выразительно характеризует задачу минимизации массы стержня и позволяет установить диапазон его изменения (см. рис. 5), обеспечивающий наилучшее решение. Под относительной площадью будем понимать отношение

 где максимальное значение функции при фиксированных параметрах  в исследуемом диапазоне параметра  ( (см.табл. 2):

·                       при

·                       при 0,836926

·                       при 1,014036

·                       при

Изменение относительной площади сечения при  представлено на рис. 5.

Рис. 5 Изменение функции  при γ=1

Анализ результатов, представленных на рис. 5 позволяет утверждать, что при выборе  снижение массы стержня составит не менее 8% от массы при , что кажется как бы очевидным при проектировании, так как   по условию.

Аналогичные графики изменения относительной площади, но при других значениях параметра , представлены на рис. 6, 7, 8, 9, 10.

Рис. 6 Изменение функции  при

Рис. 7 Изменение функции  при

Рис. 8 Изменение функции  при

Рис. 9 Изменение функции  при

Рис. 10 Изменение функции  при

Анализ результатов, представленных на рис.5, 6, 7, 8, 9, 10, позволяет констатировать, что оптимальное значение параметра  при уменьшении параметра  устремляется к значению  при одновременном сужении диапазона оптимального значения.

β=0,359…0,411 - при

β=0,311…0,361 - при

β=0,253…0,299 - при

β=0,178…0,221- при

β=0,09…0,115 - при

β=0,003…0,008 - при

Этот результат представлен графически на рис. 11.

Рис. 11 График определения размеров поперечного сечения стержня при заданной прочности (γ) в зависимости от β при m=(0,1;0,2;0,3;0,4)

Если нет иных оснований к определению размеров поперечного сечения тонкостенного стержня прямоугольного поперечного сечения, кроме требований прочности, то для снижения массы стержня следует руководствоваться результатами, представленными на рис. 11.

Пример. Пусть расчетные значения определяют . Тогда  надлежит выбрать в диапазоне от 0,25 до 0,34 , относя меньшее значение к меньшему значению .

Список литературы:

1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – 2-е изд. испр. – М.: Высш. шк., 2000. – 560 с.
2. Бухвалова В., Рогульская А. Введение в геометрическое программирование. Лекция 1. Неравенство Коши и его обобщения. [электронный ресурс] – Режим доступа. - URL: http://intuit.ru/studies/courses/539/395/lecture/9129 (дата обращения 04.02.2016).
3. Лизин В.Т., Пяткин В.А. Проектирование тонкостенных конструкций: Учеб. пособие для студентов вузов – 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1994. – 384 с.
4. Протасов Н. Стрела – исполнительный элемент КМУ (крано-манипуляторные установки). Электронное издание СДМ – "строительные дорожные машины и техника" №  03/2013. [электронный ресурс] – Режим доступа.  - URL: http://sdm.str-t.ru/publics/35 (дата обращения 04.02.2016).
5. Хола Исса Оптимизация по массе параметров поперечного сечения балки мостового крана. Электронное издание СДМ – "строительные дорожные машины и техника". [электронный ресурс] - Режим доступа. - URL:  http://sdm.str-t.ru/publics/page_7  (дата обращения 04.02.2016).