ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ К РАСЧЁТУ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

В деятельности каждого инженера существенное значение имеют упрощенные методы расчета. Большинство инженерных задач можно упростить, используя математический аппарат. С этой целью в электротехнике применяют матричные методы расчёта сложных электрических цепей.

Существует несколько матричных методов расчёта. В данной статье мы разберём метод контурных токов в матричной форме, который применяется на практике. Для этого необходимо вспомнить, что представляет собой матрица.

Матрица является одним из основных понятий в вышей математике. Первые упоминания  о матрицах датируются 2200г. до н.э.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая  строк одинаковой длины (или  столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде:

или сокращённо, , где  (т.е. - номер строки,  (т.е. - номер столбца [3, с. 17].

Разберём основные действия над матрицами, которыми мы будем пользоваться в данной статье:

1. Транспонирование. Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается  [3, с. 17].
2. Сложение. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров. Суммой двух матриц  и  называется матрица  такая, что  [3, с. 17].
3. Произведение матриц. Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица  такая, что , где , т.е. элемент -й строки и -го столбца матрицы произведения  равен сумме произведений элементов -й строки матрицы  на соответствующие элементы -го столбца матрицы  [3, с. 18].

Рисунок 1. Получение элемента

Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике. Этот метод заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются на основании второго закона Кирхгофа так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах [1, с. 158]. Данный метод позволяет уменьшить число уравнений для расчёта сложной цепи. Если заданная электрическая схема содержит  независимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получается система из  уравнений:

Здесь - контурная э.д.с. в контуре , т.е. алгебраическая сумма э.д.с., действующая в данном контуре. - собственное сопротивление контура . -общее сопротивление контуров  и  [1, с. 159].

Математическая символика и правила матричной алгебры позволяют упростить запись данной системы уравнений. В этом отношении матричную алгебру можно сравнить со стенографией, которая облегчает и ускоряет запись. Приведённая система уравнений может быть представлена в матричной форме:

Где - матрица контуров, - матрица сопротивлений, - матрица токов связей, - матрица источников э.д.с., - матрица источников тока.

Разберём данный метод на конкретном примере. Дана схема электрической цепи (рис. 2), а также исходные данные (таблица 1.). Необходимо рассчитать токи.

Рисунок 2. Схема сложной электрической цепи.

Таблица 1.

Исходные данные

Для того чтобы решить задачу нам необходимо познакомится с основными топологическими понятиями схемы электрической цепи:

1. Ветвь - участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток [1, с. 41]. Количество ветвей обозначают буквой .
2. Узел - место соединения трех или большего числа ветвей [1, с.42]. - обозначение количества ветвей.
3. Контур – любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям [1, с. 42].
4. Граф – графическое изображение электрической цепи, учитывающее порядок включения элементов. В графе существует два типа ветвей: ветви дерева, ветви связи. Ветви дерева графа соединяют все узлы не образуя контура (количество определяется выражением ), все остальные ветви- ветви связи (количество определяется выражением ).

Построим граф, приняв за ветви связи ветви под номером 1,3,5.

Рисунок 3. Граф сложной электрической цепи.

Составим матрицу основных контуров . Определим размерность матрицы. Число строк определяется выражение . Число столбцов определяется числом ветвей .  Получается матрица порядка . Пронумеруем столбцы: сначала по порядку нумеруются ветви дерева (2, 4, 6), затем ветви связи (1,3,5). Строки нумеруются ветвями связи (1,3,5). Основные элементы матрицы: - если ветвь входит в контур, образованный данной связью, и совпадает по направлению,- если ветвь входит в контур и не совпадает по направлению, - если ветвь не входит в контур.

Рисунок 4. Матрица основных контуров.

Транспонируем матрицу :

Рисунок 5. Транспонированная матрица

Основных контуров .

Составим матрицу токов связей размерностью . Элементами матрицы являются токи в ветвях связей.

Рисунок 6. Матрица токов связи .

Составим матрицы источников э.д.с. и тока. Размерность матриц . Нумерация строк: сначала нумеруются ветви дерева, затем ветви связи. Элементами матрицы являются значения источников, причём это величина нулевая, если в данной ветви источник отсутствует, положительная, если направление источника совпадает с направление тока в ветви, отрицательная, если направление источника не совпадает с направлением тока в ветви.

Рисунок 7. Матрица источников э.д.с.

и матрица источников тока 

Матрица сопротивлений имеет размер . Диагональные элементы  равены сопротивлению -ой ветви, а недиагональные элементы равны нулю.

Рисунок 8. Матрица сопротивлений.

Умножим матрицу сопротивлений  на транспонированную матрицу :

Рисунок 9. Матрица

Умножим матрицу  на матрицу :

Рисунок 10. Матрица

Умножим получившуюся матрицу  на матрицу :

Рисунок 11. Матрица

Умножим матрицу сопротивлений на матрицу источников токов:

Рисунок 12. Матрица

Сложим матрицу  и матрицу :

Рисунок 13. Матрица

Умножим матрицу  на получившуюся матрицу .

Рисунок 14. Матрица .

Раскроем матричную запись  и получим систему линейных алгебраических уравнений:

Подставим исходные данные:

Решив данную систему уравнений, получили следующие значения:

Найдём токи во всех ветвях цепи:

Рисунок 15. Матрица токов ветвей.

Подставив значения найденных контурных токов, найдём оставшиеся токи:

Решаю данную задачу, мы убедились в том, что с помощью матриц можно составить и решить систему линейных алгебраических уравнений, тем самым существенно облегчить расчёт сложной электрической цепи.

Данным методом рассчитывают относительно сложные электрические схемы, используя ЭВМ.

Список литературы:

1. Атабеков Г.И.  Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи: Учеб. Пособ. 7-е изд., стер.-СПб.: Издательство «Лань», 2009.-592с.
2. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В. Л. Теоретические основы электротехники. Т.1. –СПб.: Питер, 2003.-463с.
3. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике, Айрис-пресс, - 2006, 4-е изд., 608с.