ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В ПОСТРОЕНИИ СЕРИЙНОЙ ОКТАВЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА

Серийная техника – это способ построения музыкальной композиции, в основе звуковысотной системы которой лежит разбиение произведения на серию звуков с неповторяющимися высотами.[3, с. 275] Суть этой техники состоит в том, что все звуки, на которые разбита октава, не повторяются во времени, до тех пор пока не будут исчерпаны. Под октавой понимается музыкальный интервал, в котором частота высокого звука в два раза больше частоты низкого.

Увеличение количества уникальных звуков в серии повлечет за собой появление новых жанров в музыке, а также сделает её более выразительной и уникальной.

Для разбиения октавы используется равномерно-темперированный строй, суть которого состоит в делении октавы на математически равные интервалы. Частота каждого члена звукоряда в таком случае будет вычисляться по формуле:

 (1) где:

 – порядковый номер звука в октаве;

 – опорная (начальная) частота октавы;

 – количество звуков в октаве.

Математически музыкальную серию удобно будет представить в виде виде неупорядоченного набора n-пар. Пара представляет собой упорядоченный набор из двух чисел, где первое число — это номер звука в серии, второе число — частота звука. Такую характеристику звука можно рассматривать как своего рода координаты.

Рассмотрим разбиение октавы – [440 Гц; 880 Гц) на 5 элементов, вычислив частоты по формуле (1). Представим его в виде неупорядоченного множества:  (2).

В таком виде с серией наиболее удобно проводить математические операции. Различают четыре классические операции над музыкальной серией:

1. построение ракохода – прочтение серии от последнего звука к первому;
2. инверсия – замена всех восходящих интервалов серии на нисходящие;
3. ракоход инверсии – прочтение инверсии от последнего звука к первому;
4. инверсия ракохода – совпадает с ракоходом инверсии с точностью до транспозиции (перемещения всей серии по высоте).[2]

Если серия задана в виде множества, состоящего из n элементов:  (3) где:

 – порядковый номер звука в октаве;

 – частота звука

- то её ракоход можно представить как  (4), а инверсию как  (5). Инверсия ракохода или ракоход инверсии запишутся в виде  (6). А транспозиция на а полутонов (вверх) определится формулой  (7).

Рассмотрим данные операции применительно к выбранному нами разбиению (2):

1. ;
2. ;
3. .

При помощи этих операций мы получили из одной музыкальной серии – три других (без учета транспозиции полутонов).

В общем случае количество вариантов исходной серии по формуле перестановок равно:  (8) где:

 – количество звуков в серии.

В большей части современной музыки используется октава, состоящая из двеннадцати полутонов, т.е. количество вариантов составленной серии  Но серийное построение музыки используется редко ввиду сложности построения. В большинстве современных музыкальных произведений используются серии не больше чем из 5 элементов, с количеством вариантов составления , из которых используются не все. Однако, если увеличить количество элементов в музыкальной серии хотя бы до 15, то будет использоваться  различных вариантов серий из 5 элементов. Таким образом, даже без учета более легкого составления длинных серий и увеличения общего количество вариантов серий в 2730 раз, мы видим увеличение разнообразия используемых серий почти в 4 раза.

Данный подход решает основную проблему использования серийной  техники – проблему её ограниченности. Учитывая то, что серия редко выступает в виде самой мелодии, звуки серии образуют одновременно звучащие созвучия, аккорды, кластеры. При увеличении количество используемых серий возрастет и многообразие их объединения, что откроет нам новые горизонты в музыкальном искусстве.

Для моделирования звучания октавы, состоящей из произвольного количества элементов была написана программа[1], принимающая на вход начальную частоту октавы, частоту дискретизации и количество полутонов в октаве. В качестве контрольного примера рассматривалось разбиение октавы – [440 Гц; 880 Гц) на 15 элементов с длительностью звучания каждого полутона равной 0.5 секунды.

Рисунок 1 Интерфейс программы моделирования октавы из произвольного числа элементов

Полученная октава представляется в виде упорядоченного множество пар, для которого составляется ракоход. А также в виде неупорядоченного множества пар. Для каждого варианта представления создается звуковой файл формата WAV с частотой дискретизации равной 8000 Гц. Звук в нем представляет из себя незатухающую синусоидальную волну.

На рисунке 2 мы можем видеть спектрограмму прямой последовательности звуков в полученной октаве, где каждой частоте (каждому элементу) соответствует свой пик. Остаточная часть звукового сигнала в низу спектра соответствует помехам.

Рисунок 2 Спектрограмма октавы [440 Гц; 880 Гц) с разбиением на 15 полутонов

При анализе полученного звука возникла проблема интонирования микроинтервалов. Суть её состоит в том, что хотя слух человека и способен различать микроинтервалы, они интерпретируются как «отклонения», т.е. производные от привычных интервалов хроматического звукоряда.[5] И чем больше порядок разбиения октавы, тем больше элементов имеют сильное отклонение от звуков хроматической системы. С другой стороны, при малом порядке разбиения отклонение некоторых элементов звукоряда очень велико.

Однако, при порядке разбиения в пределах [12; 20] наблюдается приятное и свежее звучание, близкое к хроматическому, но с вводом нескольких принципиально новых частот. Такая звуковысотная система обладает мощными преимуществами перед другими:

1. Не слишком малое и не слишком большое количество тонов позволяет создать музыкальный “организм” высокой сложности, но при этом тона можно систематизировать в произведении.
2. Органичная связь с традиционными отношениями: промежуточные тона уже давно используются в традиционной музыке, однако такая система будет привычка и любителями музыки современной.
3. Наличие целого ряда принципиально новых феноменов – новых мелодических оборотов, созвучий, а также специфических форм ладовой организации.
4. Математическая систематизированность, стройность и логическая обусловленность музыкальных отношений на самых разных уровнях.[4]

Великий писатель и композитор Амадей Гофман говорил: “Тайна музыки в том, что она находит неиссякаемый источник выражения там, где речь умолкает.” Чем больше мы сможем взять от музыки, тем больше сможем выразить. И в этом нам поможет техника построения серийной октавы произвольного порядка с использованием элементов теории множеств.

Список литературы:

1. Дмитрий М – Программный синтезатор [Электронный ресурс] – Режим  доступа. – URL: https://habrahabr.ru/post/178915/ (дата обращения: 22.03.2016)
2. Петелин Ю.В. Математика плюс музыка // Музыка – Компьютер [Электронный ресурс]. – Режим доступа. – URL: http://www.petelin.ru/pcmagic/math/math.htm/ (дата обращения: 15.04.2016)
3. Холопов Ю.Н. Додекафония // Музыкальная энциклопедия в 6 томах.  М.: БСЭ, 1973 – 1982. – Т. 2. (дата обращения: 02.04.2016)
4. Чернобривец П.А. Звуковысотные отношения и особенности системообразования в условиях двадцатитоновой равномерной темперации // Журнал Общества теории музыки – 2014. – № 8. – С. 23-24. (дата обращения: 12.04.2016)
5. Jordan, Daniel S. Influence of the diatonic tonal hierarchy at microtonal intervals // Perception and Psychophysics – 1987. – №41. – P. 482. (дата обращения: 02.04.2016)